1.3 证明 （教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第一章 三角形的初步认识 1.3 证明 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解证明的概念，掌握证明的步骤.（重点） 2.理解并掌握三角形的外角的概念． 3.能够在能够复杂图形中找出三角形的外角.（难点） 4.掌握三角形的一个外角的性质．（重点） 5.会利用三角形的外角性质解决问题. 一、目测（直观） 错觉！ 二、列举 当n＝6时， n2－3n+7＝25不是素数 当n＝0，1，2，3，4时，代数式n2－3n＋7的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，那么命题“对于自然数n，代数式n2－3n＋7的值都是质数”是真命题吗? 举不胜举！ 三、测量 存在误差！ 四、判定一个命题是真命题的方法: 从条件出发，根据已知的定义、基本事实（公理）、定理（推论）推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。 情景导入 1.证明的概念 新知探究 思 考 （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2+1=3， 2×3+1=7， 2×3×5+1=31， 2×3×5×7+1=211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数.他的结论正确吗？ 试一试： 计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？ （2）如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞ b时，a2＞ b2.这个命题是真命题吗？ （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n边形的内角和等于（n-2）×180°.这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 不正确，因为3>-5,但是32<(-5)2 . 这是一个正确的结论. 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 定义：要判定一个命题是否是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做证明． 例1.结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？ 已知：b∥c， a⊥b ． 求证：a⊥c． 典例剖析 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）． 又∵ b∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∴∠2=∠1=90º（等量代换） ∴ a⊥c（垂直的定义）． 证明几何命题的基本思路： 顺推分析 从条件 结论 逆推分析 从结论 条件 证明几何命题时，表述的一般格式： （1）根据题意画出图形 （2）分清命题中的条件、结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”写出结论 （3）在“证明”中写出推理过程 概念归纳 课本例1已知：如图，DE∥BC，∠1=∠E，求证：BE平分∠ABC。 证明 ∵ DE∥BC （ ） 已知 ∴ ∠2=∠E（ ） 两直线平行，内错角相等 ∵ ∠1=∠E（ ） 已知 ∴ ∠1=∠2 ∴ BE平分∠ABC（ ） 角平分线的定义 2.证明的规范步骤 新知探究 ∴ ∠PEF+∠PFE= ∠BEF+ ∠DFE = （∠BEF+∠DEF）=90° 例2 已知：如图，AB∥CD，EP,FP分别平分∠BEF，∠DFE。 求证：∠PEF+∠PFE=90°。 证明： ∵EP,FP分别平分∠BEF，∠DFE（ ） ∴ ∠PEF= ∠BEF，∠PEF= ∠DEF（ ） ∵AB∥CD（ ） ∴∠BEF+∠DEF=180°（ ） 已知 角平分线的定义 已知 两直线平行，同旁内角互补 课本例题 已知 GH 180° 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 垂线的定义 垂线的定义 课本练习 1.如图，∠B＝∠C，AB∥EF.求证：∠BGF＝∠C. 证明：∵∠B＝∠C， ∴AB∥CD， ∵AB∥EF， ∴CD∥EF. ∴∠BGF＝∠C 练一练 2.如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°.求证：BC∥DE. 证明：∵AB∥CD，∠B＝40°， ∴∠B＝∠C＝40°， 又∵∠D＝40°， ∴∠C＝∠D， ∴BC∥DE 练一练 将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式 已知：∠1 与∠2 是对顶角， 求证：∠1 =∠2 如果 某两个角是对顶角， 那么 这两个角相等 3 证明： 由∠1 与∠2 是对顶角， 可知直线AB与直线CD相交, ∴∠1+∠3=180° ∠2+∠3=180° ∴ ∠1 =∠2 如何证明它是真命题? 3.几何图形的证明 新知探究 言必有“据” 1 1 2 A B D 2 3 C 1 2 实验1： 将纸片三 角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。 课本例3.证明命题：“三角形三个内角的和等于180º.”是真命题。 A B C E A B C D 法一 : 过A 作 AE // BC 已知：∠A , ∠B, ∠C是三角形的三个内角 求证： ∠A ＋∠B＋ ∠C＝180° 证明: 法三 : 在BC上任取一点D 1 2 3 证明命题“三角形三个内角的和等于180º.”是真命题 1 过D 作 DE // AB, 作 DF // AC E F 法二 : 过A 作 AE // BC 延长CA到F点 A B C E 1 F ２ 三角形三个内角的和等于180°. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. A B C D 1 ∠1=∠A+∠B 三角形外角的概念： 如图，把△OPQ的一边BC延长，得到∠OQE，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠OQE是△OPQ的一个外角 Q P O E 4.三角形的外角的概念 新知探究 问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 如下图，请画出△ABC的所有外角，数一数共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 画一画 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角， C B A D 每一个三角形都有6个外角． 概念归纳 F A B C D E 如图,∠ AEC是哪个三角形的外角？∠BEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角. ∠AEC是△BEC的外角. ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角 ∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 5.三角形的外角的性质 新知探究 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D 证明：过C作CE∥AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 概念归纳 课本例4.已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB//DE. 证明 如图，延长BC，交DE于点F. ∠B+∠D=∠BCD（已知）， 又∵∠BCD=∠D+∠CFD（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠B+ ∠D=∠D+∠CFD， ∴∠B=∠CFD. ∴AB//DE（内错角相等，两直线平行）. 课本例题 说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 练一练 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 除此之外你还有其他解法吗？ 6.三角形的外角和 新知探究 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 °， ① ∠CBF +∠2=180 ° ，② ∠ACD +∠3=180 ° .③ 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+ (∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法三：过A作AM平行于BC， 所以∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4 A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°. M 所以∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于360°. 思考：你能从题目中总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 1.如图所示，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于(　　) A．100°　　　B．60°　　　C．40°　　　D．20° A 随堂练 2.如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝72°，求∠4的度数 解：∠4＝72° 随堂练 1．下列能作为证明的依据的是( ) A．已知条件 B．定义和基本事实 定理和推论 以上三项都可以 D 随堂练 2.在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°，∠B=50°，则∠C= °. 70 3.如图，已知AD∥BE，∠1＝∠2.求证：∠A＝∠E. 　　　　　　 证明：∵AD∥BE， ∴∠A＝∠EBC， ∵∠1＝∠2， ∴AC∥DE， ∴∠E＝∠EBC， ∴∠A＝∠E 随堂练 4.如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE.求证：∠1＝∠2. 证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB， ∴CD∥GF， ∴∠DCB＝∠2. ∵∠B＝∠ADE， ∴DE∥BC， ∴∠1＝∠DCB， ∴∠1＝∠2 随堂练 证明：∵∠1=∠2（ ） ∴EF// （ ） ∠FAB+∠HBA= （ ） AB⊥GH（已知）， HBA=90°（ ） ∠FAB=180°-∠HBA=180°-90°=90°，AB⊥EF（ ） 已知 GH 180° 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 垂线的定义 垂线的定义 5.已知：如图，直线EF，GH被直线MN所截，AB⊥GH，B为垂足，∠1=∠2.求证：AB⊥EF（填空）. 随堂练 分层练习-基础 1．如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝(　 　) A.55° B.35° C.125°　 　D.65° 2．如图，已知直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(　　) A．30° B． 60° C．120° D．150° A C 3．如图，已知AB∥CD，AE平分∠CAB，且交CD于点D，∠C＝110°，则∠EAB为(　　) A．30° B．35° C．40° D．45° 4.如图，用火柴摆上系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时(即n=10)时，需要的火柴棒总数为( )根 A.165 B.65 C.110 D.55 分层练习-基础 B A 7.已知∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=125°，∠A=75°，则 ∠B=_________度. 8. 如图，已知AB∥CD,则（1）∠B＝∠2，（2）∠1＝∠3，（3）∠3＝∠B， （4）∠A＝∠2，其中正确的是 . 分层练习-基础 5.证明文字命题的第一步是 . 6. 如图， 已知∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4＝ ． 审题换图 120° 50° （3）；（4） 分层练习-基础 9.如图，AB∥CD，∠A＝∠1,∠C=100º，∠2= . 80° 分层练习-巩固 10.如图，已知AD∥BE，∠1＝∠2.求证：∠A＝∠E. 证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC. ∵∠1＝∠2，∴AC∥DE， ∴∠E＝∠EBC，∴∠A＝∠E. 分层练习-巩固 11.如图，已知BE是一条直线，∠ABD＝∠CDE，BF平分∠ABD， DG平分∠CDE. 求证：BF∥DG. ∵∠ABD＝∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE， ∴ ∠FBD＝∠ABD，∠GDE＝∠CDE， ∴∠FBD＝∠GDE，∴BF∥DG. 分层练习-巩固 12.如图，AB∥DE，∠1＝∠2，试判断AE与DC的位置关系，并说明理由． 解：AE∥DC.理由：∵AB∥DE， ∴∠1＝∠AED. ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠AED， ∴AE∥DC. 分层练习-巩固 13.如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由． 证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC. ∵∠1＝∠2，∴AC∥DE， ∴∠E＝∠EBC，∴∠A＝∠E. 14．如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠B＝∠ADE.求证：∠1＝∠2. 分层练习-巩固 证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB， ∴CD∥GF，∴∠DCB＝∠2. ∵∠B＝∠ADE，∴DE∥BC， ∴∠1＝∠DCB，∴∠1＝∠2. 2．下列说法不正确的是( ) A．证明是说明命题是真命题的过程 B．要判定一个命题是真命题常常通过推理的方式 C．要说明一个命题是假命题通常采用举反例的方式 D．真命题与假命题都可以通过举反例来说明 D 课堂反馈 知识点一：证明的概念 已知：如图， △ABC.求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180° A B C 1 2 D E 证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则 ∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等） ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等） ∠1+∠2+∠ACB＝180° ∠A+∠B+∠ACB＝180° 课堂反馈 知识点二：几何题证明 解决证明问题的思路 （1）从题目已知出发，利用已知条件推导出最后的结论。即综合法----由因导果 （2）从证明的结论出发，寻找使结论成立的某个条件，再以这个条件为出发点，逆向寻找直至已知条件或由已知条件推出的某一结论。即分析法----执果索因 课堂小结 三角形的外角 定义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的外角和 三角形的外角和等于360 ° 课堂小结 $$