3.3指数函数课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 3.3指数函数 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 理解指数函数的概念和意义 01 掌握指数函数的图象和性质，并利用图象解题 02 会利用指数函数的性质解决简单的问题 03 探索新知 PART 02 探索新知 02 情境导学 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎么的关系？ 由上面的对应关系，我们可以归纳出第x次折叠后对应的层数为(x∈N+)，对折后的面积(x∈N+) 折叠次数 对应层数 对折后的面积S x x x ······ ······ ······ 探索新知 02 情境导学 假定现在获取的知识量是1，学习的知识按照每天1%的速度增长，那么，若干天后会怎样?一年后会怎样?怎么计算? 一天后是1.01，两天后是，三天后是，一年后是． 我们用变量x表示天数，那么你获取的知识量y与天数工之间的关系可以用一个什么样的式子来表示呢? ． 假设知识的减少量也按照每天1%计算，将“辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”翻译成数学的式子，得到什么? ． 根据上面四个函数的共同特征，你能抽象、概括出这类函数的表达式吗? ，，， 探索新知 02 指数函数：根据指数幂的定义，当给定正数，且≠1时，对于任意的实数x，都有唯一确定的正数与之对应.因此，是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数. 性质①：定义域是R，函数值大于0 知识点1 指数函数的概念 性质②：图象过定点(0，1) 系数为1 只有一个自变量 底数大于0， 且不等于1 探索新知 02 思考交流 为什么规定底数a＞0，且a≠1？ 1.若a＝0，则当x＞0时，；当x≤0时，无意义. 知识点1 指数函数的概念 2.若a＜0，则对于x的某些数值，可使无意义.如，当时，函数值不存在. 3.若a＝1，则对任意的x∈R，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况的发生，规定a＞0，且a≠1.有此规定后，对任意的x∈R， 都有意义，且＞0. 探索新知 02 回答 知识点1 指数函数的概念 底数不是常数,指数不是变量,故不是指数函数; 中3x的系数不为1,故不是指数函数 中底数-3<0,故不是指数函数 中底数x不是常数,故不是指数函数 指出下列函数哪些是指数函数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 探索新知 02 探究 知识点2 指数函数的图象和性质 如何讨论一个函数的性质，用什么方法?从什么角度? 华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，我们需要结合函数图象，利用数形结合法研究函数的性质． 指数函数的图象是怎样的?有怎样的性质呢? 首先让我们研究一下底数大于1的情形． 按照列表、描点、连线的步骤，借用所给的部分数据，先分别画出函数的图象，再把两个图象画在同一平面直角坐标系中进行比较． 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 先分析一个具体的指数函数． 列表、描点、连线，画出函数的图象 x －3 －2 －1 0 1 2 3 1 2 4 8 从图象可以看出： 函数的图象位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷． 由此得到函数的性质：函数在R上是增函数，且值域是(0，)． 实例分析 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 实例分析 再分析函数.列表、描点﹑连线，画出函数的图象． x －2 －1 0 1 2 1 3 9 从图象可以看出： 函数的图象也是位于x轴的上方；从最左侧贴近x轴的位置逐渐上升，过点(0，1)，继续上升，函数值越来越大，图象越来越陡，直至无穷． 由此得到函数的性质：函数y在R上是增函数，且值域是(0，+oo)． 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 由此可见函数与的性质是完全一样的．在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，可以看出： 在y轴左侧，函数的图象在函数的图象下方；在y轴右侧，函数的图象在函数的图象上方． 思考：当时，指数函数的图象从左向右是怎样的趋势呢? 是上升的还是下降的呢? 当底数时，指数函数的图象从左向右看是上升的， 而且底数越大，图象在y轴右侧的部分就越靠近y轴． 对于函数和： 当时，；当时，； 当时，． 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 抽象概括 观察图象得出性质如下表： 的范围 定义域 （左、右无限延伸）R 值域 （在x轴上方）(0，) 图象上的点 都过定点（0，1），即当时， 单调性 (从左向右上升)在R上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，y值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，y值趋近于0  “一撇” 探索新知 02 例1 比较下列各题中两个值的大小：（1）；（2），； 解：(1)因为函数在R上是增函数，且0.80.7，所以； (2)因为函数在R上是增函数，且，所以； 探索新知 02 例2 (1)求使不等式成立的实数的集合； (2)已知方程，求实数的值． 解：(1)因为，所以原不等式可化为． 又函数在R上是增函数，所以，即， 因此，使不等式成立的实数的集合是( )． （2）因为，所以原方程可化为． 因为在R上是增函数，所以，即． 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 实例分析 先分析一个具体的指数函数． 列表、描点、连线，画出函数的图象 x －2 －1 0 1 2 1 观察图象可得： 函数的图象位于x轴的上方；从最左侧无穷远处逐渐下降，过点(0，1)， 继续下降，越来越逼近x轴. 函数的性质：函数在R上是减函数，过点(0，1)，且值域是(0，)． 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 实例分析 再分析函数.列表、描点﹑连线，画出函数的图象． x －2 －1 0 1 2 1 观察图象可得： 函数的图象也是位于x轴的上方；从最左侧无穷远处逐渐下降， 过点(0，1)，继续下降，越来越逼近x轴. 函数的性质：函数y= 在R上是减函数，过点(0，1)，且值域是(0，+oo)． 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象， 可以看出： 在y轴左侧，函数的图象在函数的图象上方；在y轴右侧，函数的图象在函数的图象下方. 函数与的性质完全相同． 思考：函数和()，它们是怎样的大小关系？ 对于函数和()， 当时，；当时，；当时，. 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 抽象概括 观察图象并总结，当0<a<1时，指数函数的性质： 的范围 定义域 （左、右无限延伸）R 值域 （在x轴上方）(0，) 图象上的点 都过定点（0，1），即当时， 单调性 (从左向右下降)在R上是减函数； 当x值趋近于正无穷大时，y值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，y值趋近于正无穷大  “一捺” 探索新知 02 总结出指数函数(且)的图象和性质：   图象     性质 （1）定义域：R （2）值域：(0，) （3）过定点：(0，1)，即时，1 （4）当时，；当时，.  （4）当时，；当时，.  （5）在R上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0. （5）在R上是减函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大. 知识点2 指数函数的图象和性质 探索新知 02 特别提醒 1.由指数函数(a＞0，且a≠1)的性质知，指数函数(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),(－1,)，且图象都在x轴上方，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数(a＞0，且a≠1)的大致图象. 知识点2 指数函数的图象和性质 2.当底数a的大小不确定时，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论函数的图象和性质. 探索新知 02 例3 比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2）， 解：(1)因为函数在R上是减函数，且1.82.8，所以； (2)因为函数在R上是减函数，且，所以. 探索新知 02 例4 求下列函数的值域：（1）；（2）， (1)因为 ，而函数的值域是， 所以函数的值域为 （2）因为，而函数在R上是减函数，所以函数的值域为(]，即(0，27] 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 思考探究 我们分别研究了函数和的图象和性质. 那么像这样底数互为倒数的两个指数函数，它们的图象与性质有什么区别和联系呢? 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 实例分析 同一个坐标系中画出函数和的图象你能发现什么？ 由图象可知：函数的图象与函数的图象关于y轴对称． x －3 －2 －1 0 1 2 3 1 2 4 8 8 1 由函数解析式：记为，则可以记为 函数的图象与函数的图象关于y轴对称． 探索新知 02 知识点2 指数函数的图象和性质 提问1：函数与函数的单调性有什么关系呢? 与的单调性相反． 提问2：你能总结出指数函数和(，且)之间的关系吗？ 一般地，指数函数和(，且)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反. 探索新知 02 例5 比较下列各题中两个数的大小：（1）；（2） (1)设，则函数在R上是增函数，函数在R上是减函数， 由指数函数的性质可知， 而，所以 (2)设，则函数在R上是减函数，函数在R上是增函数，由指数函数的性质可知，而，所以 利用指数函数的性质对两个数进行比较. 探索新知 02 例6 已知，比较和的大小，并说明理由. 解： 设， 当时，函数在R上是减函数．因为，所以． 当a时，函数，所以． 当a时，函数在R上是增函数．因为，所以． 根据指数函数的性质，要判断大小，需对分类讨论. 探索新知 02 在同一平面直角坐标系中画出和，和的图象，如图所示.观察图象我们有如下结论： (1)当a＞1时，指数函数图象是“上升”的，且当x＞0时，底数a的值越大，函数图象越“陡”； 当0＜a＜1时，指数函数图象是“下降”的，且当x＜0时，底数a的值越小，函数图象越“陡” 知识点3 指数函数的底数a对图象的影响 (2)在y轴右侧，“底大图高”(底数越大，图象越高) 在y轴左侧，“底大图低”(底数越大，图象越低) 探索新知 02 “底大图高(y轴右侧)，底大图低(y轴左侧)”的依据 在同一直角坐标系中作出直线x＝1和x＝－1与指数函数(a＞0，且a≠1)的图象，则交点坐标分别为(1,a)，(－1,). a越大，(1,a)的位置越高，(－1,)的位置越低. 知识点3 指数函数的底数a对图象的影响 探索新知 02 “底大图高(y轴右侧)，底大图低(y轴左侧)”在函数值上的体现 对于函数(a＞0，且a≠1)和(b＞0，且b≠1) 知识点3 指数函数的底数a对图象的影响 a＞b＞1 0＜a＜b＜1 x＜0(y轴左侧) ＜1 ＞＞1 x＞0(y轴右侧) ＞＞1 ＜1 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 求指数型函数的定义域或值域 例1. 求下列函数的定义域： (1)； (2). 【解析】(1)由题意可得，即，又指数函数单调递增，得. 所以函数的定义域为[0，+∞). (2)由题意，得得 又指数函数单调递减，所以且. 所以函数的定义域为(∞，3)∪(3，2]. 题型突破 03 题型1 求指数型函数的定义域或值域 例2. 求下列函数的定义域与值域： (1)； (2)； (3). 【解析】(1)因为，所以，故定义域为. 设，因为，所以. 因为，，所以且，故值域为且. (2)函数 ，R，所以定义域为R. 设，因为，，所以，故值域为. (3)因为，所以，解得，故定义域为. 因为，所以，即，故值域为. 题型突破 03 解题通法 求指数型函数的定义域或值域的一般方法 1.求指数型函数的定义域时，先观察函数是型还是型. (1)由于指数函数的定义域是R，所以函数的定义域与的定义域相同. (2)对于函数的定义域，关键是找出的值域的哪些部分在的定义域中. (3)求型函数的定义域中，往往转化为解指数不等式(组). 题型1 求指数型函数的定义域或值域 题型突破 03 解题通法 求指数型函数的定义域或值域的一般方法 2.求指数型函数的值域时，要注意指数函数的值域为，还需注意： (1)在求形如的函数值域时，先求得的值域(即函数中的范围)，再根据的单调性，即可求出的值域； (2)求型函数的值域时，先求出的值域，再求的值域. 题型1 求指数型函数的定义域或值域 题型突破 03 题型2 指数函数的图象及应用 题型突破 03 题型2 指数函数的图象及应用 题型突破 03 解题通法 利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法——变换作图法 对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质.利用变换作图法作图要注意：(1)选择哪个指数函数作为起始函数；(2)平移的方向及单位长度. 常用的变换作图法主要有： 1.平移变化 的图象 题型2 指数函数的图象及应用 题型突破 03 解题通法 利用指数函数图象作有关函数图象的基本方法——变换作图法 2.对称变换 的图象 3.翻折变换 的图象 的图象 题型2 指数函数的图象及应用 保留y轴上及其右侧的图象， 将y轴右侧的图象翻折到y轴左侧 题型突破 03 题型3 指数函数的单调性及其应用 例4. 比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)与(且). 【解析】(1)，可看作函数的两个函数值，因为底数， 所以函数在R上是增函数.因为2.5<3.2，所以. (2)，可看作函数的两个函数值， 因为函数在R上是减函数，且-1.2>-1.5，所以. (3)由指数函数性质得，，， 所以. (4)当时，在R上是增函数，故； 当时，在R上是减函数，故. 题型突破 03 题型3 指数函数的单调性及其应用 例5.比较下列各值的大小：，，，. 【解析】先根据幂的特征，将这4个数分类： (1)负数：；(2)大于1的数：，；(3)大于0且小于1的数：. 在(2)中，(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出，的图象，再分别取，，比较对应函数值的大小，如图)， 故有. 题型突破 03 解题通法 指数幂的大小比较问题的三种类型及解法 ①底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断 ②底数不同，指数相同：利用幂函数的单调性或利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断 ③指数不同，底数不同：通过中间量来比较(特别是利用0或1作为中间量来比较大小) 说明：介值法(中间量法)除了用0或1作为中间量，还可以用以其中一个指数式的底数为底数，另一个指数式的指数为指数的指数式作为中间量.如要比较(a＞0)与(b＞0)的大小，可取为中间量，与利用指数函数的单调性比较大小，与利用幂函数或指数函数的图象变化规律比较大小. 题型3 指数函数的单调性及其应用 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 A 当堂检测 04 当堂检测 04 D 当堂检测 04 B 当堂检测 04 当堂检测 04 ABD 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 老师名字 谢谢观看 Learn to report 例3.(多选)函数（，且）的大致图象可能为( ). A. B. C. D. 解析：当时，的大致图象如图1，故B正确.当时，不妨取，则的图象如图2，故C正确. 1.已知函数，则的增区间为( ) A. B. C. D. 解析：函数定义域为R， 令，又在R上单调递增，的增区间为，所以的增区间为. 故选：A. 2.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：：函数，令， 因为，所以是偶函数， 其图象关于y轴对称，且在上递减，在上递增， 2.已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：所以的图象关于对称，且在上递减，在上递增， 若使得不等式成立，则， 即，解得，所以实数m的取值范围是.故选D. 3.已知，，，则a，b，c的大小关系是 A. B. C. D. 解析：在定义域上单调递减， 所以， 又， ， 故选：B. 4.(多选)已知函数，则( ) A.函数的定义域为R B.函数的值域为 C.函数在上单调递增 D.函数在上单调递减 解析：令，则． 对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确； 对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确； 4.(多选)已知函数，则( ) A.函数的定义域为R B.函数的值域为 C.函数在上单调递增 D.函数在上单调递减 解析：对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 5.已知函数，若，则实数a的取值范围是___________. 解析：由，且定义域为R， 所以为奇函数，则， 根据，，在R上均为减函数，故也为减函数， 所以，则. 6.已知函数为R上的奇函数. （1）求函数的解析式； 解析：（1）因为函数为R上的奇函数， 所以，即， 此时，， 所以，即函数为奇函数， 所以符合题意.故. 6.已知函数为R上的奇函数. （2）判断函数在R上的单调性并加以证明； 解析：（2）函数在R上的单调递减.证明如下： 由（1）知，. 任取，且， 则， 6.已知函数为R上的奇函数. （2）判断函数在R上的单调性并加以证明； 解析：因为，且， 所以，，， 所以，即， 因此函数在R上的单调递减. 6.已知函数为R上的奇函数. （3）解关于x的不等式. 解析：（3）由（2）知， 由，即， 即，即， 即，即 所以，所以等式的解集为. 7.已知函数是定义在R上的偶函数. （1）求函数的解析式； 解析：（1）函数是定义在R上的偶函数， ，可得恒成立， 即，， 因为在R上不恒成立， ， 所以的解析式为. 7.已知函数是定义在R上的偶函数. （2）对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 解析：（2）由（1）知，当时，令，. 不等式恒成立，等价于恒成立， 恒成立，则， 令，，任取， 则 7.已知函数是定义在R上的偶函数. （2）对于任意的，不等式恒成立，求a的取值范围. 解析：， 因为，，所以， 所以，为增函数， 所以当时，. 所以a的取值范围为. $$