1.1 菱形的性质、判定与其他知识的综合（第3课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 第三课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法.(重点、难点) 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法. 如图所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式1：_________________ . 添加方式2：_________________ . 一组邻边相等 AC⊥ BD ☆回忆：菱形有哪些判定？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 情景导入 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢? 能.过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. E 1.菱形的面积 问题1 新知探究 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC = AC·BO+ AC·DO = AC(BO+DO) = AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半. 问题2 例1：如图,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对 角线BD长10 cm. 求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. 解:(1) ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=90°, (2)菱形ABCD的面积 ∴AC=2AE=2×12=24(cm). D B C A E 7 概念归纳 菱形的面积计算方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半． 例2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）. A　 B　 C　 D　 O　 解：∵花坛ABCD是菱形， 典例剖析 变式:如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8 cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2， ∴∠ABC= ×180°=60°， ∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形. ∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB=2cm， ∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm， ∴BD=2OB= cm； （2）S菱形ABCD= AC•BD = ×2× = （cm2）． 归纳总结：菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形. 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的高DE为（　　） A.2.4 cm B.4.8 cm C.5 cm D.9.6 cm B 练一练 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 2.菱形的判定与性质的综合问题 做一做 新知探究 证明：∵等宽纸条对边平行， ∴AD∥BC， AB∥CD，∴□ABCD 是平行四边形， 从 A点作AM⊥DC 交于点 M, 作AN⊥BC交于点 N, ∵是两张等宽的纸，∴AM = AN. ∵□ABCD 是平行四边形，∴∠ABN=∠ADM， ∵AM⊥DC ，AN⊥BC，∴∠ANB =∠AMD = 90°， ∴△ABN≌△ ADM，∴AB = AD, ∴四边形 ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 例3.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形； 典例剖析 (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 归纳总结： 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 1.已知菱形的周长是24 cm，那么它的边长是______. 2.如图，菱形ABCD中∠BAC＝120°， 则∠BAC＝_______. 6 cm 60° 3.如图，菱形的两条对角线长分别为10 cm和24 cm，则菱形的边长是（ ） C A.10 cm B.24 cm C. 13 cm D.17 cm A B C D O 练一练 4.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8． 练一练 1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm. （1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长. 解：（1）∵菱形 ABCD 的周长为 40 cm， ∴AB = BC = CD = DA = 10（cm）, 又∵BD = 10（cm）， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD = 60°，∴∠BCD = 60°， ∠ABC =∠CDA = 120°. 随堂练习 1.菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线BD 长 10 cm. （1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长. （2）∵△AEB是直角三角形， AB =10（cm），BE = 5（cm）， AE = = = （cm）. AC = 2AE = （cm） 随堂练习 已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE=BF. 求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠DEF=∠DFE. 1. 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠C. ∵BE=BF, ∴AB-BE=BC-BF,即AE=CF. 习题1.3 知识技能 在△ADE和CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）. （2）∵△ADE≌△CDF, ∴DE=DF. ∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）. 证明：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半. 2. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线. 求证：S菱形ABCD= AC∙BD. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. 知识技能 ∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD= AO·BO. ∴S菱形ABCD=4× AO∙BO= ×2AO∙2BO= AC·BD,即菱形的面积等于 其对角线长的乘积的一半. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH. 3. 解：在菱形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°, AO= AC= ×16=8， BO= BD= ×12=6. 在Rt△AOB中，由勾股定理， 知识技能 得AB= =10. ∵S菱形ABCD= AC∙BD= ×16×12=96， 又∵DH⊥AB, ∴S菱形ABCD=AB∙DH=96,即96=10DH. ∴DH=9.6. ∴菱形ABCD的高DH为9.6. 已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点.求证：四边形EGFH是菱形. 4. 证明：∵点E,F,G,H分别是AB,CD, AC,BD的中点， ∴GF是△ADC的中位线，EH是 △ABD的中位线. ∴GF∥AD,GF= AD,EH∥AD,EH= AD, 知识技能 ∴GF∥EH,GF=EH.∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 同理FH是△BDC的中位线,∴FH= BC. 又∵AD=BC,∴GF=FH. ∴平行四边形EGFH是菱形 （一组邻边相等的平行四边形是菱形）. 5.如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？ 先沿着红色线对折，使AB与AC重合； 再沿着蓝色线对折； 最后沿着绿色线对折。 问题解决 一半 96 分层练习-基础 2.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点.已知BD=4，求菱形ABCD的周长和面积. 【思路分析】 分层练习-基础 【解题策略】 菱形面积的两种计算方法要灵活运用，若已知菱形两条对角线的长，则常利用两条对角线长的积的一半来进行计算.由于菱形的两条对角线互相垂直，因此常常和勾股定理综合计算. 解：∵DE⊥AB，且E为AB的中点，∴AD=BD=4. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴菱形 ABCD的周长为4AD=4×4=16，DO=BD=×4=2，AO=CO，AC⊥BD. 在Rt△DAO 中，， ∴AC= 2AO=2× = ， ∴菱形 ABCD的面积为BD.AC= ×4× = . 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 知识点二 菱形的性质与判定的综合运用（难点） 4.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E，求线段 BE 的长. 【思路分析】 隐含条件： 等边三角形ABD，可求BD 隐含条件： 隐含含30°角的直角三角形BOE，可求BE 分层练习-基础 解：在菱形 ABCD 中， ∵AB =AD，∠A=60°， ∴△ABD 为等边三角形∴∠ABD= 60°，BD=AB=4. ∵O为 BD的中点，∴OB=BD=×4=2. ∵OE ⊥AB，∠ABD = 60°， ∴∠BOE = 90°-∠ABD = 90°-60°=30° ∴在 Rt△BOΕ中，BE=OB=1 分层练习-基础 5.[遵义中考]如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ） 分层练习-巩固 D 【思路分析】 分层练习-巩固 解析：∵四边形 ABCD 是菱形，AC=6， AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB. ∵AB=5，∴OB= ∴BD=2OB=8. ∵ 分层练习-巩固 6.[泰安泰山区期末]如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点 E，连接 EF. （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AE=6，BF=8，CE=3，求平行四边形ABCD的面积. 分层练习-巩固 【思路分析】 分层练习-巩固 解（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC，即 AF//BE. ∵EBF = ∠AFB，∠FAE =∠ BEA. ∵BF 平分 ∠ABC，.∠ABF= ∠CBF， ∵∠ABF= ∠AFB，∴AB=AF. ∵AE 1 BF，∴AE 垂直平分 BF， ∴BE = EF，∠BAE = ∠FAE. ∴∠ΒAΕ = ΒΕA，∴BΕ =AΒ. ∴AB = BE = EF = FA. ∴四边形 ABEF 是菱形. 分层练习-巩固 （2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G. ∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8， 在 Rt△BOE 中， 分层练习-巩固 7.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点 C 落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数为（ ） 【解题策略】 有60°的特殊角，可由菱形的性质构造等边三角形解决问题. A.60° B.65° C.75° D.80° C 分层练习-巩固 【思路分析】 8.如图①，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是由△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，BE，AC和BE相交于点O. （1）判断四边形ABCE是什么四边形，并说明理由. （2）如图②，P是线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出四边形PQED的面积. 利用菱形的性质或判定解决动点问题 分层练习-拓展 解：（1）四边形ABCE是菱形理由如下： ∵△ECD是由△ABC沿BC方向平移得到的， ∴EC//AB，EC=AB. ∴四边形 ABCE 是平行四边形. 又∵AB = BC， ∴□ABCE 是菱形. 【思路分析】 分层练习-拓展 （2）四边形PQED的面积不发生变化. ∵四边形 ABCE 是菱形， ∴BE ⊥AC，OB=OE， AO=AC=×6=3，AΕ//BC. ∵∠OВР= ∠OEQ. 在△ΡΒΟ 和△QΕO 中， ∵∠OBP= ∠OEQ，OB =OE，∠BOP= ∠EOQ， ∴△ΡΒΟ≌ΔQΕO（ASA）. ∴= ∵△ECD 是由△ABC平移得到的， ∴ED//AC，ED=AC = 6. 又∵BE⊥AC，∴BE ⊥ ED，△AOB是直角三角形. ∴BE=2BO=2/AB'-A0 =2x/52-32=8. ∴=+ = + = =BEED= ×8×6=24. 分层练习-拓展 D 课堂反馈 47 菱形的性质与判定的综合性问题 菱形的面积 综合运用 面积=底×高=两条对角线乘积的一半 课堂小结 知识点一：菱形的面积 菱形的面积等于两对角线之积的 ． 1．已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为 cm2. 3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是8cm.求： (1)两条对角线的长度； (2)菱形的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∵∠ABC与∠BAD的度数之比是1∶2，∴∠ABC＝eq \f(1,3)×180°＝60°，∴∠ABO＝eq \f(1,2)∠ABC＝30°.∵菱形ABCD的周长是8cm，∴AB＝2cm，∴OA＝eq \f(1,2)AB＝1cm，∴OB＝eq \r(AB2－OA2)＝eq \r(3)cm，∴AC＝2OA＝2cm，BD＝2OB＝2eq \r(3)cm. (2)S菱形ABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)(cm2)． 会求菱形的面积． 【例】如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点D和点A恰好重合．若AB＝4，则菱形ABCD的面积为( ) A．2eq \r(3) B．4eq \r(3) C．8eq \r(2) D．8eq \r(3) 【思路分析】如图中第一个图，连接AC(请你自己添加辅助线)．将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，则AC＝CD，AE＝ED＝2.∴AE⊥CE.在Rt△CDE中，由勾股定理可得CE＝2eq \r(3).∴菱形ABCD的面积＝4×2eq \r(3)＝8eq \r(3). 【方法归纳】菱形的面积等于两对角线长的乘积的一半． $$