4.2对数的运算课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 4.2对数的运算 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行化简、求值和证明 01 学习用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 02 了解对数在简化运算中的作用 03 探索新知 PART 02 探索新知 02 知识回顾 1.对数式与指数式的互化 底数 底数 指数 对数 幂 真数 2.对数的基本性质 ① ② ③ ④ ⑤ 探索新知 02 回顾 指数幂的运算性质： 为正实数，为实数 . 思考：对数是否也具有类似的运算性质 探索新知 02 知识点1 对数的运算性质 思考探究 第一组 第二组 第三组 式 log28 log232 log2(8×32) lg1000 lg100000 lg log3 5log33 值 猜想性质 总结 3 5 8 3＋5＝8 log28＋log232＝log2(8×32) loga(M·N)＝logaM＋logaN 3 5 5 5 －2 3－5＝－2 lg1000－lg100000＝lg loga＝logaM－logaN 5＝5 log3＝5log33 loga＝blogaM 怎样证明猜想成立呢？ 探索新知 02 思考交流 证明1：当，且1，，时等式 知识点1 对数的运算性质 由指数与对数之间的关系，我们可以利用指数运算推出对数运算． 取，则，． 所以 指数幂的运算性质：． 两边取对数，得：， 探索新知 02 思考交流 证明2：当，且1，时等式 知识点1 对数的运算性质 设，且1，，取， 则， ，等式两边同时取对数： ． 即． 探索新知 02 思考交流 证明3：当，且1，时等式 知识点1 对数的运算性质 设，，且1，取，则． 指数幂的运算性质：， 得，等式两边同时取对数， 所以， 即． 探索新知 02 总结 1.，即积的对数等于对数的和. 推广： (N+) 2.，即商的对数等于对数的差. 设，且1，，b∈R，则对数运算具有如下运算性质： 3.，即指数幂的对数等于该幂的底数的对数的指数倍. 知识点1 对数的运算性质 探索新知 02 思考交流 成立吗？成立吗？如果不成立，请举一个反例． 知识点1 对数的运算性质 不成立，如：． 　　　　　 ． 说明：只有式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立. 如：log2[(－3)·(－5)]是存在的， 但log2(－3)与log2(－5)均不存在， 故不能写成log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)+log2(－5) 把复杂的运算变成简单的计算: 把复杂的乘法运算变成简单的加法计算； 把复杂的乘方运算变成简单的乘法计算． 讨论：对数的运算性质有什么优势? 探索新知 02 例1 计算：(1)；(2)；(3)． 解：（1）； （2）； （3）． 探索新知 02 例2 已知用，表示下列各数： （1）；（2）；（3）． 解：（1）； （2）； （3） . 探索新知 02 问题提出 有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)．对一般的底数，且和，要计算 ，必须将它转换成常用对数或自然对数． 如何转换呢? 知识点2 对数的换底公式 探索新知 02 分析理解 知识点2 对数的换底公式 用计算器中的常用对数键“LOG”算出的值: 用计算器求的值． 操作步骤： 设， 则5， 等式两边取常用对数： 得，所以． 同理可得．这就同样可以用计算器中的自然对数键“LN”算出的值． (计算器显示的数位是有限的，所以得到的结果一般是近似值)． 探索新知 02 换底公式：一般地，如果＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则.这个结论称为对数的换底公式. 常见的有：或 注意：(1)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义； (2) 换底公式用于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算及证明； 知识点2 对数的换底公式 探索新知 02 思考交流 你能用其他方法证明对数的换底公式吗？ 知识点2 对数的换底公式 证明：令，则，， 计算，故，等式两边同时取对数： ， 所以． 探索新知 02 推导证明 换底公式在对数的计算与证明中应用广泛，要注意理解与活用.具体应用如下： (1)(a>0且，b>0且 (2)且，b>0 知识点2 对数的换底公式 探索新知 02 例3 计算：(1)；(2)；(3)（0，0，且，）． 解： 根据对数的换底公式，得 （1）； （2）； （3）． 探索新知 02 例4 计算：(1)；(2)． 解： 根据对数的换底公式，得 （1） （2） 探索新知 02 解对(指)数方程就是将其转化为同底数对(指)数方程(或通过换元进行转化)后再求解. 知识点4 对(指)数方程的求解方法 指数方程的常见类型与解法 名称 类型 解法 基本型 取以a为底的对数得 同底数型 转化为 不同底数型 取常用对数得 需代换型 换元，令，转化为关于t的方程 探索新知 02 解对(指)数方程就是将其转化为同底数对(指)数方程(或通过换元进行转化)后再求解. 知识点4 对(指)数方程的求解方法 对数方程的常见类型与解法 名称 类型 解法 基本型 将对数式转化为指数式 同底数型 转化为(必须验根) 需代换型 换元，令，转化为关于t的方程 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 对数的运算性质 例1. 求下列各式的值. (1)；(2)；(3)； (4). 【解析】(1)原式. (2)原式. (3)原式 . (4) 题型突破 03 解题通法 对数式化简或求值的常用方法和技巧 (1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是： ①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式； ②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成对数的和(差). (2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题. (3)当真数是形如“”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数” 题型1 对数的运算性质 题型突破 03 题型2 换底公式的应用 例2. 已知，，试用，表示. 【解析】(法一)∵，∴，又， ∴ (法二)∵，∴，同理得， ∴ 题型突破 03 题型2 换底公式的应用 例2. 已知，，试用，表示. 【解析】(法三)∵，∴， ∴.∵，∴，∴. (法四)∵，∴.又，∴. 令，则，即，. ∵，∴. ∴，∴，即 题型突破 03 题型2 换底公式的应用 例3. 求值： (1) ；(2). 【解析】(1). (2)原式 题型突破 03 解题通法 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧 原则：化异底为同底 技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底 技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数(自然对数)，再化简、通分、求值 技巧三：利用对数恒等式或常用结论，这样能够提高解题效率 题型2 换底公式的应用 题型突破 03 题型3 解与对数方程有关的问题 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 C 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 ACD 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 老师名字 谢谢观看 Learn to report 例4.解方程. 解析：设，则， ∴原方程化为，解得或. ∵，∴. ∴， ∴， ∴，∴. 经检验知，是原方程的根. 故原方程的根是. 1.若，，，则下列各式中恒等的是( ) A. B. C. D. 解析：，与不一定相等，该式不恒等； ，与不一定相等，该式不恒等； ，该式恒等，该选项正确； ，与不一定相等，该式不恒等.故选C. 2.(多选)以下运算中正确的是( ) A.若，，则 B.若，则 C. D. 2.(多选)以下运算中正确的是( ) A.若，，则 B.若，则 解析：A项：由，，， 故A项正确； B项：由，得，所以：，得：，故B项错误； 2.(多选)以下运算中正确的是( ) C. D. 解析：C项：，故C项正确. D项：，故D项正确.故选：ACD. 3.关于x的二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_________. 解析：因为关于x的二次方程有两个相等的实数根， 则，解得或， 所以或.故答案为：1或16. 4.已知实数a，b满足，则的最小值为______ 解析：若，则不成立； 若， 则，，， 所以，时取得. 5.______ 解析：原式 . 6.数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养,因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算的值； 解析：（1）原式； 6.数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养,因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （2）已知x,y,z为正数,若,求的值． 解析：（2）由题意知,令,则, 所以,,, 所以； 7.设，且，x，y满足，用表示，并求当x取何值时，取得最小值. 证明：由换底公式得， 整理得， . 当，即时，取得最小值. $$