4.3对数函数第二课时课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 4.3对数函数(第二课时) 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 理解对数函数的概念 01 掌握对数函数的图象，通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质 02 掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题 03 了解反函数的概念，会求指数函数或对数函数的反函数 04 探索新知 PART 02 探索新知 02 回顾 函数 底数 性质 x y –1 –2 –3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –1 –2 –3 2 3 4 5 6 7 8 9 O 上节课我们学习了与的图象和性质 探索新知 02 思考交流 更一般地，当时，，的图象是什么样的？有怎样的性质呢? 知识点1 对数函数a的图象和性质 新知探究 为了得到对数函数，(a＞1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察．选取底数a(a＞1)的若干个不同的值，例如a＝2，a＝3，a＝4， a＝5，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？对数函数是否也像指数函数一样，过某个定点？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出对数函数，(a＞1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等． 探索新知 02 知识点1 对数函数a的图象和性质 新知探究 认真观察下列函数图象填写表格 函数 (a＞0，且) 底数 图象 定义域 值域 奇偶性 定点 单调性 函数值符号 a＞1 (0，) R 非奇非偶函数 (1，0) 在(0，)上是增函数 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0； y=log2x y=log3x y=log4x y=log5x 探索新知 02 知识点1 对数函数a的图象和性质 新知探究 认真观察下列函数图象填写表格 函数 (a＞0，且) 底数 图象 定义域 值域 奇偶性 定点 单调性 函数值符号 0＜a＜1 (0，) R 非奇非偶函数 (1，0) 在(0，)上是减函数 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0； 探索新知 02 总结出对数函数(a>0，且a≠1)的图象和性质.   图象     性质 （1）定义域：(0，) （2）值域：R （3）过定点：(1，0)，即时，0 （4）当时，；当时，． （4）当时，；当时，． （5）在定义域(0，)上是增函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 （5）在定义域(0，)上是减函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大 知识点1 对数函数a的图象和性质 探索新知 02 深挖探究 对数函数图象的“两不论” (1)无论还是，对数函数(a＞0，且)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交 (2)无论还是，对数函数(a＞0，且)的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数(a＞0，且)的大致图象. 知识点1 对数函数a的图象和性质 探索新知 02 例6 设，且，求下列函数的定义域： （1）；（2）． 解： (1)为使函数有意义，只需，即， 所以函数定义域为； (2)为使函数有意义，只需>0，即， 所以定义域为． 探索新知 02 例7 比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2），; （3），；（4），． 解：(1)因为2>1，在定义域(0，)上是增函数． 由5.3>4.7，得 . (2)因为0<0.2<1，在定义域(0，)上是减函数． 由7<9，得 ． (3)因为3>1，在定义域(0，)上是增函数． 由，得 同理可得．因此． 探索新知 02 例7 比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2），; （3），；（4），． 解：(4)对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是大于0且小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此需要对底数分类讨论： 当a>1时，在定义域(0，)上是增函数，此时由3.1<5.2，得 当0<a<l时，在定义域(0，)上是减函数，此时由3.1<5.2，得 ． 探索新知 02 思考交流 对数函数，当时，讨论a的变化对函数图象的影响． 知识点2 底数对函数图象的影响 当时，越大，对数函数的图象在向右的方向越接近x轴．当x越趋近于0时，图象越趋近于y轴． 当时，越小，对数函数的图象向右的方向越接近x轴．当x越趋近于0时，图象越趋近于y轴． x x y y 探索新知 02 总结归纳 在同一平面直角坐标系中作出几个常见对数函数的图象，如图所示，观察此图，我们有如下结论： 知识点2 底数对函数图象的影响 1.底数的大小关系决定了对数函数图象的“升降”： 当时，对数函数的图象“上升”； 当时，对数函数的图象“下降” 2.函数与(a＞0，且)的图象关于x轴对称． 探索新知 02 总结归纳 在同一平面直角坐标系中作出几个常见对数函数的图象，如图所示，观察此图，我们有如下结论： 知识点2 底数对函数图象的影响 3.底数的大小关系决定了图象相对位置的高低： 不论还是当，在第一象限内，取相同的函数值时，不同的图象对应的对数函数的底数自左向右逐渐变大. (1)上下比较：在直线x＝1的右侧， 当时，a越大，图象越靠近x轴； 当时，a越小，图象越靠近x轴 (2)左右比较： 比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大 底大图低 探索新知 02 常见的对数函数的图象变换 (1)的图象 的图象 左移m(m＞0)个单位长度 知识点3 常见的对数函数的图象变换 (2)的图象 的图象 右移m(m＞0)个单位长度 探索新知 02 常见的对数函数的图象变换 (3)的图象 的图象 关于x轴对称翻折 知识点3 常见的对数函数的图象变换 (4)的图象 的图象 关于y轴对称翻折 探索新知 02 常见的对数函数的图象变换 (5)的图象 的图象 并与原图象合并 知识点3 常见的对数函数的图象变换 关于y轴对称翻折过去 探索新知 02 常见的对数函数的图象变换 (6)的图象 的图象 并与原图在x轴上及x轴上方的部分合并 知识点3 常见的对数函数的图象变换 将x轴下方的部分关于x轴对称翻上去 以上所示图象仅以a＞1为例，0＜a＜1时的情形类似可得. 探索新知 02 例8 人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律： ， 其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量. 为计算衰减的年代，通常给出该物质衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5730年.人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比. 1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min). 请估算出汉漠拉比王朝所在的年代. 探索新知 02 例8 解：因为14C的半衰期大约是5730年，所以由衰减规律，得. 解得.因此14C的衰减规律服从指数型函数C(t). 设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年.因为放射性物质的衰减速度与其质量正比，所以，于是. 两边取以2为底的对数，得log2. 解得log2. 所以该木炭已衰减了约4055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年. 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 比较大小 例1. 比较大小： (1)log0.31.8，log0.32.7； (2)log67，log76； (3)log3π，log20.8； (4)log712，log812. 【解析】(1)∵0<0.3<1，∴函数y=log0.3x在(0，+∞)上是减函数，∴log0.31.8>log0.32.7. (2)∵log67>log66=1，log76<log77=1，∴log67>log76. (3)∵log3π>log31=0，log20.8<log21=0，∴log3π>log20.8. (4)(法一)在同一坐标系中作出函数y=log7x与y=log8x的图象(图略)，由图象易知，log712>log812. (法二)∵log712－log812==>0，∴log712>log812. 题型突破 03 解题通法 比较幂式、对数式大小的方法： 1.在单独比较对数式大小时，若： (1)同底不同真型，一般由相应对数函数的单调性直接比较大小； (2)同真不同底型，可取倒数，化为同底的对数式后进行比较，也可以画出函数的图象，利用“底大图低”进行判断. (3)既不同底也不同真型，常借助中间量(0或±1等)或利用换底公式化为同底的对数式后进行比较. 2.综合比较对数式、幂式大小，常用中间值法. 3.若所比数式在结构上存在某些共同点，考虑构造函数. 题型1 比较大小 题型突破 03 题型2 值域的逆向问题 题型突破 03 解题通法 若已知的值域为R，则必须取遍(0，+)内的所有值(一个也不能少)，则对于函数t而言，必须有t的值域包含(0，+). 反之，若≥m(m＞0)，则当a＞1时，有≥； 当0＜a＜1时，有≤， 因此，其值域一定不为R.特别是当(a0)时， 要使的值域为R，则有a＞0，且Δ≥0. 题型2 值域的逆向问题 题型突破 03 题型3 解对数不等式 题型突破 03 解题通法 常见的对数不等式有三种类型： (1)形如＞的不等式，借助函数的单调性求解，如果a的取值不确定，那么需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论; (2)形如＞b的不等式，应将b化以a为底数的对数式的形式(即b)，再借助函数的单调性求解； (3)形如＞的不等式，可利用换地公式化为同底的对数进行求解，或利用图象求解. 题型3 解对数不等式 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 D 当堂检测 04 A 当堂检测 04 A 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 老师名字 谢谢观看 Learn to report 例2.已知函数（且）在上的值域是，则a的值为_______. 解析：由题意得，当时，在上单调递减，无解； 当时，在上单调递增， 解得. 例3(多选).下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 解析：对于A，因为在上递增，且，所以，所以A正确， 对于B，因为在R上递减，且，所以，所以B错误，对于C，因为在上递减，且，所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误，故选:AC 1.已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间； (3)求不等式的解集. 解析：（1）函数中，由，解得， 所以的定义域为. 1.已知函数. (2)求的单调区间； (3)求不等式的解集. 解析：（2）函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递减， 所以的递减区间是，递增区间是. 1.已知函数. (3)求不等式的解集. 解析：（3）由，得函数为偶函数， 由（2）知，在上单调递增，则， 因此，即，解得， 所以原不等式的解集是. 2.函数的图像为( ) A. B. C. D. 解析：函数的定义域为，可以排除选项B、C；由， 可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D. 故选：A. 3.已知，，设，，，则( ) A. B. C. D. 解析：方法一：已知.因为，且，所以，即.由，得，故，故； 由，故，故，所以.综上，. 3.已知，，设，，，则( ) A. B. C. D. 解析：方法二： ，故. 由，得，故； 由，得，故，所以. 综上，.故选A. 4.已知正数a，b满足，，则函数的定义域为_____. 解析：因为，则，可得， 则，解得或(舍去)， 所以，可得，解得， 所以函数的定义域为. 5.已知函数(且)，. （1）求使成立的x的值； 解析：（1）因为，则，解得，所以，得， 即，解得或. 5.已知函数(且)，. （2）若，求实数m的取值范围. 解析：（2）由（1）知是上的增函数， 又，则，解得. 故实数m的取值范围是. 6.已知定义在R上的函数，且是偶函数. （1）求的解析式； 解析：（1）记，为偶函数，恒成立， 即恒成立， 恒成立， 恒成立，即恒成立，，. 6.已知定义在R上的函数，且是偶函数. （2）当时，记的最大值为M.，若存在，使，求实数m的取值范围. 解析：（2）和都是单调递增函数，在是单调递增的， ，在上有解，在上有解， 在上有解，在上单调递增，，，. $$