数学竞赛基础培优第1-9讲（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学通用版

第2讲 等差数列3等差数列的应用：求末项，求首项，求和(应用题型) 思维启航 一、训练目标 知识传递：掌握数列、等差数列的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。 能力强化：观察能力、分析能力、理解能力、计算能力。 思想方法：列举思想、归纳思想、整体观察思想。 二、知识与方法归纳 按一定次序排列的一串数叫做数列。数列里的每一个数叫做数列的一项，从左起第一个数叫做第一项，也叫首项，第二个数叫做第二项，……，最后一个数叫做末项。数列里项的个数叫做项数。 在1,2,3，…，100这个数列里，具有如下特点：2－1=1,3－2=1,4－3=1，…，100－99=1。也就是说，这个数列有一个特点，就是前后两个相邻的数的差都相等，这个相等的差叫做公差。具有这种特点的数列，我们就把它叫做等差数列。 首先我们复习一下等差数列的求和公式：和 = （首项＋末项）×项数÷2 接着我们复习一下等差数列中首项、末项、项数和公差之间的关系，请观察下图： +公差 +公差 +公差 +公差 …… +公差 首项 → 第2项 → 第3项 → 第4项 → 第5项 → …… → 末项 在上图中，第4项比第1项大（ 3 ）个公差；第7项比第1项大（ 6 ）个公差；第17项比第9项大（ 8 ）个公差；第n项比第m项大（ n-m ）个公差。 因此可得：末项 =首项+(项数-1)×公差 首项 =末项-(项数-1)×公差 项数 =（末项-首项）÷公差＋1 公差 =（末项-首项）÷（项数-1） 思维进阶 例1.已知一个等差数列2，4，6，8，10，22， （1）22应该在第几项？ （2）将这个数列里的所有数相加，和是多少？ 【答案】（1）11；（2）122 【解析】解：（1）求项数：（22-2）÷2+1=11 （2）求和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=122 答：（1）22应该在第11项；（2）将这个数列里的所有数相加，和是122。 例2.小龙学习英语单词，他制定了月计划，从这个月第一天起，以后每天都要比前一天多学2个，已知他第10天学了28个单词， （1）小龙这个月第一天学了多少个单词？ （2）小龙这个月第20天应该学了多少个单词？ 【答案】（1）10；（2）48。 【解析】解：（1）求首项：28-（10-1）×2=10（个） （2）求末项：0+（20-1）×2=48（个） 答：（1）小龙这个月第一天学了10个单词；（2）小龙这个月第20天应该学了48个单词。 体验训练1.有等差数列：3，8，13，18，48，那么3+8+13+18++48等于多少？ 【答案】255 【解析】解：3+8+13+18++48 =（3+48）×10÷2 =255 例3.大胃餐厅推出了一种新菜式，用萝卜砖摆成如图形状： （1）想一想从上往下数第8层有多少块萝卜砖？ （2）从第1层到第8层一共用了多少块萝卜砖？ 【答案】（1）16；（2）71 【解析】解：由图可以看出，从第二行到第五行是公差为2的等差数列。 （1）第8行有：4+（8-1-1）×2=16（块） （2）第1层到第8层一共用：1+4+6+8+10+12+14+16=71（块） 答：（1）从上往下数第8层有16块萝卜砖；（2）第1层到第8层一共用71块萝卜砖。 例4.大胃餐厅的经理把20把锁的钥匙弄乱了，在最不利的情况下： （1）最少要试多少次，才能使每把锁都配上自己的钥匙？ （2）最少要试多少次，才能使把锁都打开？ 【答案】（1）190；（2）210 【解析】解：等差数列的应用 （1）19+18+17+…+1+0=190（次） （1）20+19+18+…+1+0=210（次） 答：（1）最少要试190次才能使每把锁都配上自己的钥匙。（2）最少要试210次，才能使把锁都打开。 体验训练2.把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由。 【答案】不能。 【解析】解：等差数列的应用1+2+3+4+5+6+7=28，因为27<28，所以不能。 答：不能办到。 例5.某班有51个同学，毕业时每人都和班上其他同学握一次手。那么共握了多少次手？ 【答案】1275. 【解析】解：等差数列的应用50+49+48+……+1=1275（次） 答：共握了1275次手。 例6.在一次同学聚会中，一共到20位同学和2位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？ 【答案】230 【解析】解：等差数列的应用 共有：2+20=22（人） 如果每两人都要握一次手：21+20+……+1=231（次） 实际：231-1=230（次） 答：共握了230次手。 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。（每小题20分，共40分） （1）口算。 51÷3＝ 250÷50＝ 60÷5＝ 240÷12＝ 210÷3－69＝ 1200÷20＝ 270÷9＝ 60÷15＝ 360÷40×8＝ 1000÷8－46＝ 【答案】17，5，12，20，1 60，30，4，72，79 （2）脱式计算，能简算的要简算。 1+2+3+4+…+50 1×5＋5×2＋5×3＋5×4＋5×5 【答案】1275 【答案】75 【解析】解：原式=（1+50）×50÷2 【解析】解：原式=（1+2+3+4+5）×5 =2550÷2 =15×5 =1275 = 75 100－99＋98－97＋96－95＋…＋4－3＋2－1 1－2＋3－4＋…＋47－48＋49 【答案】50 【答案】25 【解析】解：原式=1×100÷2 【解析】解：原式=49-48+47-46+…+3-2+1 =50 =1×50÷2 =25 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）已知数列5，8，11，14，17，……，50，按照前几项的规律，该数列的第10项是（ ），这个数列的和是（ ）。 【答案】32；440 【解析】解：第10项：5+（10-1）×3=32， 项数：（50-5）÷3+1=16，和（5+50）×16÷2=440。 （2） 君君某个月存50元，以后每月比上一月多存2元，那他一年共存（ ）元。 【答案】444 【解析】解：末项：50+（12—1）×2=72，和：（2+72）×12÷2=444 （3） 阳光电影院的一个放映厅安排了20排座位，第20排有77个，往后每一排比前一排多3个座位，这个放映厅共有座位（ ）个。 【答案】970 【解析】解：第1项：77-（20-1）×3=20，总和：（77+20）×20÷2=970 （4）两位数乘两位数，积可能是（ ）位数。 【答案】三或四 【解析】解：最大：99×99=9801，是个四位数；最小：10×10=100，是个三位数。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场，若有10人参赛，那么一共要进行多少场选拔赛？ 【答案】45 【解析】解：共赛：9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45（场） 答：一共要进行45场选拔赛。 （2）某队接受了修一条长500千米的河堤任务，已经修了25天，每天修5千米，还有多少千米没修？ 【答案】375 【解析】解：500-25×5=375（千米） 答：还有375千米没修。 思维体操 损失多少钱？ 狐狸用50元的假钞买走了老山羊店里一件45元的皮衣，老山羊还找给狐狸5元钱，那么你知道老山羊损失了多少元？ 【答案】50 【解析】解：损失45元的皮衣和找出去的5元：45+5=50（元） 答：老山羊损失了50元。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 平均数问题1 思维启航 一、训练目标 知识传递：掌握平均数的相关知识，并能用总数、份数、平均数的关系解题。 能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、观察能力、推算能力、综合能力。 思想方法：平均思想、行程思想、比较思想。 二、知识与方法归纳 在日常生活中，我们常能遇到平均数问题，比如，唱歌比赛的最后得分等。 平均数是一个重要统计量，应用十分广泛，用同年龄不同地区儿童的平均身高、平均体重来分析儿童的生长发育的区域差异等，它是一组数据平均水平的代表。 平均数应用题的基本特点是，把几个大小不等的数量，在总量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少。解题时关键要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。 求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。 反过来，已知平均数，我们又可以求出总数量，即：总数量=总份数×平均数。 思维进阶 例1.（1）老师把240本练习本平均分给40个同学，每个同学分得几本练习本？ （2）在“夺星”活动中，甲、乙、丙三个小朋友分别得了5枚、9枚、7枚小星星，平均每个小朋友得多少枚？ 例2.甲、乙、丙三数的平均数是20，甲、乙两个数的平均数是18，乙、丙两数的平均数是23，甲、乙、丙三数各是多少？ 体验训练1.某公司，第一季度卖出300台产品，第二季度卖出350台产品，第三季度卖出400台产品，第四季度卖出150台产品，该公司平均每月卖出多少台产品？ 例3.某足球队十名队员的身高分别是：182厘米、180厘米、184厘米、190厘米、178厘米、180厘米、178厘米、178厘米、174厘米、176厘米。这十名队员的平均身高是多少厘米？ 例4.有2千克奶糖，3千克水果糖，5千克巧克力糖混合成什锦糖，已知奶糖每千克20元，水果糖每千克30元，巧克力糖每千克50元，什锦糖每千克多少元？ 体验训练2.甲、乙两块棉田共有11亩，平均每亩产棉185斤。甲棉田有5亩，平均每亩产棉203斤，乙棉田有6亩，乙棉田平均亩产棉多少斤？ 例5.一个运动员进行爬山训练，从某地出发，上山路长12千米，每小时行3千米；爬到山顶后，沿着原路下山，下山每小时行6千米。这位运动员上山、下山平均每小时行多少千米？ 例6.已知八个连续单数的和是144，这八个连续单数中最大的数是多少？ 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。（每小题20分，共40分） （1）口算。 14×300= 8800÷40= 9600÷800= 7500÷500= 650÷13= 750－290= 5×490= 760×20= 370×20= 8600－4200= （2）脱式计算，能简算的要简算。 （657-638）×13 528-（196+328） (55+36)×6 96×7+448 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）气象站在某一天的1点，7点，13点，19点测得温度分别是11℃、14℃、23℃、16℃，这一天这四个时间点的平均温度是（ ）℃。 （2）甲班有6个组，每组7人，乙班有40人，甲、乙两班平均每班有（ ）人。 （3）二（2）班数学期中测验，第一组同学中得98分的有两人，得97分的有两人，得95分的有6人。这个小组的平均成绩是（ ）分。 （4）最大的七位数是（ ），比它多1的数是（ ）。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）有三个小朋友去测体重，小华和小新的平均体重是50千克；小华、小新和小琳3人的平均体重是48千克。小琳体重是多少千克？ （2）小刚和小红玩跳绳，小刚每分钟跳150次，小红每分钟比小刚多跳30次，小红5分钟跳多少次？ 思维体操 能喝多少瓶汽水？ 一个商店有这样一条规定，喝完汽水后，用5个空汽水瓶可以换1瓶汽水，小明家买了20瓶汽水，他最多能喝到多少瓶汽水？ 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 平均数问题1找准份数解决问题；调和平均数(基础教材四年级下册六单元《数据的表示和分析》) 思维启航 一、训练目标 知识传递：掌握平均数的相关知识，并能用总数、份数、平均数的关系解题。 能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、观察能力、推算能力、综合能力。 思想方法：平均思想、行程思想、比较思想。 二、知识与方法归纳 在日常生活中，我们常能遇到平均数问题，比如，唱歌比赛的最后得分等。 平均数是一个重要统计量，应用十分广泛，用同年龄不同地区儿童的平均身高、平均体重来分析儿童的生长发育的区域差异等，它是一组数据平均水平的代表。 平均数应用题的基本特点是，把几个大小不等的数量，在总量不变的情况下，通过移多补少，使它们成为相等的几份，求其中的一份是多少。解题时关键要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。 求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。 反过来，已知平均数，我们又可以求出总数量，即：总数量=总份数×平均数。 思维进阶 例1.（1）老师把240本练习本平均分给40个同学，每个同学分得几本练习本？ （2）在“夺星”活动中，甲、乙、丙三个小朋友分别得了5枚、9枚、7枚小星星，平均每个小朋友得多少枚？ 【答案】（1）6；（2）7 【解析】解：平均分与平均数的区别 （1）240÷40=6（本） （2）（5+9+7）÷3=7（枚） 答：（1）每个同学分得6本练习本。（2）平均每个小朋友得7枚。 例2.甲、乙、丙三数的平均数是20，甲、乙两个数的平均数是18，乙、丙两数的平均数是23，甲、乙、丙三数各是多少？ 【答案】甲14，乙22，丙24。 【解析】解：算术平均数 丙：20×3-18×2=24 甲：20×3-23×2=14 乙：20×3-24-14=22 答：甲、乙、丙三数分别是14，22，24。 体验训练1.某公司，第一季度卖出300台产品，第二季度卖出350台产品，第三季度卖出400台产品，第四季度卖出150台产品，问该公司平均每月卖出多少台产品？ 【答案】100 【解析】解：算术平均数 （300+350+400+150）÷12=100（台） 答：该公司平均每月卖出100台产品。 例3.某足球队十名队员的身高分别是：182厘米、180厘米、184厘米、190厘米、178厘米、180厘米、178厘米、178厘米、174厘米、176厘米。这十名队员的平均身高是多少厘米？ 【答案】180 【解析】解：基准数平均数 182+180+184+190+178+180+178+178+174+176 =180×10+2+4+10-2-2-2-6-4 =1800（厘米） 1800÷10=180（厘米） 答：这十名队员的平均身高是180厘米。 例4.有2千克奶糖，3千克水果糖，5千克巧克力糖混合成什锦糖，已知奶糖每千克20元，水果糖每千克30元，巧克力糖每千克50元，问什锦糖每千克多少元？ 【答案】28 【解析】解：加权平均数 （20×2+30×3+50×5）÷（2+3+5）=28（元） 答：什锦糖每千克28元。 体验训练2.甲、乙两块棉田共有11亩，平均每亩产棉185斤。甲棉田有5亩，平均每亩产棉203斤，乙棉田有6亩，乙棉田平均亩产棉多少斤？ 【答案】170 【解析】解：加权平均数 （185×11-203×5）÷6 =（2035-1015）÷6 =1020÷6 =170（斤） 答：乙棉田平均亩产棉170斤。 例5.一个运动员进行爬山训练，从某地出发，上山路长12千米，每小时行3千米；爬到山顶后，沿着原路下山，下山每小时行6千米。这位运动员上山、下山平均每小时行多少千米？ 【答案】4 【解析】解：调和平均数 上山时间：12÷3=4（小时） 下山时间：12÷6=2（小时） 上、下山平均速度：12×2÷（4+2）=4（千米） 答：这位运动员上山、下山平均每小时行4千米。 例6.已知八个连续单数的和是144，这八个连续单数中最大的数是多少？ 【答案】25 【解析】解：连续数平均问题 首尾配对，可分成4组，每组和为：144÷4=36 中间两数：36÷2=18，即：17和19， 以此类推，最大数为：19+2+2+2=25。 答：这八个连续单数中最大的数是25。 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。（每小题20分，共40分） （1）口算。 14×300= 8800÷40= 9600÷800= 7500÷500= 650÷13= 750－290= 5×490= 760×20= 370×20= 8600－4200= 【答案】4200，220，12，15，50 460，2450，1520，7400，4400 （2）脱式计算，能简算的要简算。 （657-638）×13 528-（196+328） 【答案】247 【答案】4 【解析】解：原式=19×13 【解析】解：原式=528-328-196 =247 =4 (55+36)×6 96×7+448 【答案】546 【答案】1120 【解析】解：原式=（90+1）×6 【解析】解，原式=672+448 =90×6+6 =1120 =546 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）气象站在某一天的1点，7点，13点，19点测得温度分别是11℃、14℃、23℃、16℃，这一天这四个时间点的平均温度是（ ）℃。 【答案】16 【解析】解：（11+14+23+16）÷4=16（摄氏度） （2）甲班有6个组，每组7人，乙班有40人，甲、乙两班平均每班有（ ）人。 【答案】41 【解析】解：（7×6+40）÷2=41（人） （3）二（2）班数学期中测验，第一组同学中得98分的有两人，得97分的有两人，得95分的有6人。这个小组的平均成绩是（ ）分。 【答案】96 【解析】解：（98×2+97×2+95×6）÷（2+2+6）=96 （4）最大的七位数是（ ），比它多1的数是（ ）。 【答案】9999999；10000000 【解析】解：最大七位数，各位都是9即9999999，比它多1：9999999+1=10000000。 3.解答题。（每小题10分，共40分） （1）有三个小朋友去测体重，小华和小新的平均体重是50千克；小华、小新和小琳3人的平均体重是48千克。问小琳体重是多少千克？ 【答案】44 【解析】解：48×3-50×2=44（千克） 答：小琳体重是44千克。 （2）小刚和小红玩跳绳，小刚每分钟跳150次，小红每分钟比小刚多跳30次，小红5分钟跳多少次？ 【答案】900 【解析】解：(150+30)×5=900(（次） 答：小红5分钟跳900次。 思维体操 能喝多少瓶汽水？ 一个商店有这样一条规定，喝完汽水后，用5个空汽水瓶可以换1瓶汽水，小明家买了20瓶汽水，他最多能喝到多少瓶汽水？ 【答案】24 【解析】解：不需要考虑向老板借20+20÷5=24 答：他最多能喝到24瓶汽水。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 图形计数(三) 思维启航 一、训练目标 知识传递：学习复杂图形的计数方法。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、推算能力。 思想方法：条理思想、比较思想、举例思想、类比思想。 二、知识与方法归纳 几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等，通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力。数图形的方法一般有两种：①按顺序数；②分类数。 1.数线段：有n条基本线段，线段总条数=1+2+3+4+5+……+n 2.数角：有n个基本角，角的总个数=1+2+3+4+5+……+n 3.数三角形：三角形的个数就是底边上的线段数（基本类型时） 4.数长方形：长边有m条基本线段，宽边有n条基本线段， 长方形总个数=（1+2+3+……+m）×（1+2+3+……+n） 5.数正方形：正方形各边被分成n等份，正方形的总个数=1×1+2×2+3×3+……+n×n 思维进阶 例1.小朋友们，回顾下我们以前学过的数线段，数角，数三角形，你还记得它们的计数方法和算法吗？让我们一起来复习下吧！ 图1 【答案】21 【解析】线段：6+5+4+3+2+1=21（条） 图2 【答案】10 【解析】角：4+3+2+1=10（个） 图3 【答案】6 【解析】三角形：3+2+1=6（个） 例2.小朋友们，让我们再来回顾下图这样的长方形和正方形的数法吧！ 【答案】63 【解析】长方形：(6+5+4+3+2+1)×(2+1)=63(个） 图2 【答案】20 【解析】正方形：4×3=12(个） 3×2=6(个） 2×1=2(个） 12+6+2=20(个） 思维训练1 （1）你们知道图中有多少个平行四边形吗？ （数长方形变形） 图1 【答案】100 【解析】（4+3+2+1）×（4+3+2+1）=100（个） 答：图中有100个平行四边形。 （2）你们知道图中有多少个三角形吗？（数多层三角形） 图2 【答案】12 【解析】3+2+1=6（个） 6×2=12（个） 答：图中有12个三角形。 例3.请数一数图中有多少个三角形？ （数多层三角形变形，分部分数，对称）图1 5+4+3+2+1=15 15×2+5=35 【答案】35 【解析】5+4+3+2+1=15 15×2+5=35 答：图中有35个三角形。 图2 【答案】35 【解析】4+3+2+1=10 10×2+4=24个 答：图中有24个三角形。 例4.请问图中有多少个三角形？（分类枚举） 【答案】23 【解析】分类数：由1个三角形组成（8个），由2个组成（5个），3个组成（2个），4个组成（7个），8个组成（1个）。一共为：8+5+2+7+1=23（个） 答：图中有23个三角形。 思维训练2 请问图中有多少个三角形？ （分部分数，对称） 【答案】10 【解析】可以对称数：左边4个， 右边：4个， 从上往下数：2个。 一共为：4+4+2=10（个） 答：图中有10个三角形。 例5. 请数一数图中有多少个长方形？（分部分数，有重叠） 【答案】18 【解析】左边：6个，右边6个， 整体从上往下数：6个， 一共为：6+6+6=18（个） 答：图中有18个长方形。 例6.（1）请问图中有多少个正方形？ （分类数，有重叠） 【答案】20 【解析】我们将图中的正方形分成两大类：（1）正向；（2）斜方向。 （1）正向： ①边长为1：3×4=12（个） ②边长为2：只有1（个） ③边长为3:有1×4=4（个） ④边长为4：只有1（个） （2）斜方向：只有2个 所以图中一共有正方形：12＋1+4+1+2=20（个）。 答：图中一共有正方形20个。 （2）请问图中有多少个三角形？ （按方向分类计数） 【答案】27 【解析】我们将图中的三角形分成两大类：（1）尖角向上的三角形；（2）尖角向下的三角形。 （1）尖角向上的三角形： ①边长为1的三角形：1＋2＋3＋4=10（个）； ②边长为2的三角形：1＋2＋3=6（个）； ③边长为3的三角形：1＋2=3（个）； ④边长为4的三角形：只有1个。 尖角向上的三角形共有：10＋6＋3＋1=20（个）。 （2）尖角向下的三角形： ①边长为1的三角形：1＋2＋3=6（个）； ②边长为2的三角形：只有1个； 向下的三角形共有： 6＋1=7（个）。 （3）所以图中一共有等边三角形：20＋7=27（个）。 答：共27个三角形。 思维深化 （训练时间： 满分：80分，训练得分： ） 1.计算题。 （1）口算 200×30＝ 42×4＝ 63×7＝ 130×3＝ 60×50＝ 36×20＝ 150÷3＝ 260×2＝ 75×26＝ 35×20＝ （2）能简算的要简算 490-154-46 =290 885-（195+185）=505 【答案】290 505 13×12 +13×8 12×125×5×8 【答案】260 60000 【解析】 =13×（12+8） =（125×8）×（12×5） =260 =60000 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）两个数相除，余数是6，商是6，除数是57，被除数应是（ ）。 【答案】348 【解析】略 （2）如图1所示，一共有（ ）个三角形。 图1 【答案】16 【解析】略 （3）请数一数图2中有（ ）个带★的长方形。 图2 【答案】8 【解析】1+3+1+2+1=8 （4）如图3所示，一共有（ ）个三角形 图3 【答案】15 【解析】:6+6+3=15(个) 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）下图中共有几个三角形？ 【答案】16 【解析】6+3+6+1=16(个) 答：下图有16个三角形 （2）商店从工厂批发了80台复读机，每台进价150元。现以每台170元的价格卖出70台之后开始降价销售，售价为148元一台，结果全部卖出。你认为商店是赢利还是亏损？ 【答案】赢利 【解析】170×70+10×148=13380（元） 80×150=12000（元） 13380元＞12000元，赢利。 答：商店是盈利。 思维体操 辛赛的奥妙 　1982年，有一种称为“辛赛的奥妙”(Shinsei Mystery)的数学玩具上市，它是由两个相同的部分组成的，每一部分又是由8个互相连接的多面体构成。它可以组合成许多奇妙的形状，其中包括立方体和12个顶点的星状体。 　　这个模型的基础是半个立方体(如图1)，可以把它看成是3个角锥体(6个这样的角锥体构成立方体)，向内折使其顶点会合于立方体的中心。这个半立方体的展开图见图2。展开图中有一个三角形的面出现两次，可以粘合在一起，以增加强度。 “辛赛的奥妙”每一半都有8个这样的半立方体，彼此以巧妙的方式连接在一起。它可以叠成如图3所示有12个顶点的星状体。为了说明连接的方法，我们可以把星状体水平分成两半，再把相同的两半并排在一起，用比较平面的方式表现。 垂直粘贴 粘贴底部 图3上方是俯视的示意图，A、B、C对应于立方体展开图(图2)的标示。将8个半立方体的底面DEF按图所示置于平面上，并用胶带纸粘贴。现在你也拥有一个奇妙的模型了，任何把玩它的人都会觉得趣味盎然。用不同颜色的纸板再做一个相同的模型，你会发现它们可以组合在一起，而且可以使其中一个消失在另一个之中。 喜欢做手工的同学，欢迎你动动手，来试一试哦！自己做的数学玩具一定很酷炫哦！ 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 还原问题（2） 思维启航 一、训练目标 知识传递：当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，当我们改变思考的顺序，以问题叙述的终点为起点，一步一步从后向前推理，并在往回算的过程中按照加减互为逆运算、乘除互为逆运算的原则改变原有的运算方式，使问题得到解决的解题方法叫还原法。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、估算能力、推理能力。 思想方法：逆推思想、还原思想。 二、知识方法与归纳 解还原问题的精髓是找原运算的逆运算。即：一步一步倒推回去。 也就是说：原来加的，退回去用减； 原来减的，退回去用加； 原来乘的，退回去用除； 原来除的，退回去用乘； 遇到比较复杂的还原问题，还可以借助画图和列表来解决。 思维进阶 例1. 小玲问小青她今年的年龄是几岁,小青说：“我3年前的年龄的5倍是30岁”，问小青今年多大？ 【答案】小青今年9岁 小青今年 ×5 30 -3 ？ 30÷5+3=9 答：小青今年9岁 （画线段完整一半）例2. （1）粮店里有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩余下的一半，还剩4吨，粮库原有大米多少吨？ 【答案】原有大米22吨 （4×2+3）×2=22（吨） 答：粮库原有大米22吨。 （2） 农业站有一批化肥，第一天卖出一半多15吨。第二天卖出余下的一半少3吨,还剩80吨。这批化肥原来有多少吨？ 【答案】原来有338吨 化肥 -15 ？ +3 80吨 ÷2 ？ ÷2 ？ 【（80-3）×2+15】×2= 338（吨） 答：这批化肥原来有338吨。 思维训练1 学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 【答案】全长60米 根据题意，画图倒推分析： 15+9=24（米） （24-10）×2=28（米） （28+2）×2=60（米） 所以，这根绳子全长60米． （加法求解）例3.丹丹在计算加法时，把一个加数十位上的5错写成3，把另一个加数个位上的6错写成2，所得的和是374，正确的和应该是多少？ 【答案】416 374+(5-3)+（60-20）=416 答：正确的和应该是416。 （减数变化的）例4. （1）淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢? 【答案】188 164+（73-49）=188 （2） 哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？ 【答案】544 被减数十位上的6变成9，使被减数增加90-60=30，差也增加了30；减数个位上的9错写成6，使减数减少了9-6=3，这样又使差增加了3，这道题可以说成：正确的差加上30后又加上3得577，求正确的差．所以列式得： 577-（9-6）-（90-60）=544．这题的正确答案应该是544． （被减数变化）思维训练2丹丹做题时，把被减数313错写成375，这样算的差是201，正确的差是多少？ 【答案】139 375-313=62 201-62=139 答:正确的差是139。 （画表格）例5. A、B两个化肥仓库共贮存化肥480吨，由于A仓库漏水，需要维修，移出140吨化肥放入B仓库，待修好后又从B仓库运回90吨化肥。这时A仓库的化肥是B仓库化肥的3倍。A、B两仓库原有化肥各多少吨？ 【答案】410、70吨 现B:480÷（3+1）=120（吨） 现A：120×3=360（吨） 原A：360-90+140=410（吨） 原B:480-410=70（吨） 答：A、B两仓库原有化肥各410、70吨。 （画表格）例6. 甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 【答案】35 21 1. 如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28÷2=14（棵），乙班有28+14=42（棵），如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42÷2=21（棵），甲班原有树14+21=35（棵）．列表倒推如下: 甲班 乙班 35 21 14 42 28 28 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题（每题20分，共40分） （1）口算（每小题2分，共20分） 540÷60=9 170＋150 =320 52÷4=13 76÷2=38 170×3=510 280－190=90 840÷70= 12 50×19= 950 70－23=47 28+68=96 （2）能简便的简便计算。（每小题5分，共20分） （1）125×32×30 （2）49999+3999+299+19+6 =125×8×（4×30） =50000+4000+300+20+2 =1000×120 =54322 =120000 （3）345×102 - 345×2 （4）147×1005 - 147×4 - 147 =345×（102-2） =147×（1005-4-1） =345×100 =147×1000 =34500 =147000 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）兰兰问皮皮几岁了，皮皮说：“6年前我年龄的一半是8岁。”那么皮皮今年（ 22）岁。 （2）有一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，筐中还有20个。问筐中原有苹果（76）个。 （3）小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，把个位上的3看作了6，结果得到的差是342，正确的差是（ 375）。 （4）如果商是24，除数是35，则余数最大是（ 34 ），当余数是这个最大数时，则被除数是（ 874 ）。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）一辆卡车12次运了840袋水泥。照这样计算，694袋水泥10次能全部运完吗？ 【答案】694袋水泥10次能全部运完 一次：/840÷12=70（袋） 10次：70×10=700（袋） 700>694 答：694袋水泥10次能全部运完。 （2） 一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？ 【答案】78 42 24 我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示： 一班 二班 三班 结果 48 48 48 第三次 24 24 96 第二次 12 84 48 第一次 78 42 24 。 思维体操 神奇的钱袋 每次往钱袋有一只神奇的钱袋，里面的钱就会比原来的2倍还多4元。小明星期一往钱袋里存钱，星期三又往里存钱，周末存钱后，全部拿出来一看，钱袋里正好有52元钱。小朋友，你知道小明第一次往这只神奇的钱袋里放了多少钱吗？ 第一步：从周末全部拿出来的钱52元反过来还原出周末存入的钱数。（52-4）÷2=24（元） 第二步：顺藤摸瓜还原周三存入的钱数。 （24-4）÷2=10（元） 第三步：还原出周一存入的钱数 （10-4）÷2=3（元） 答：小明第一次往这只钱袋里放 了3元钱。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶梯数学能力检测3 （训练时间：满分：120分，训练得分：） 1.计算题，能简便计算的要简便计算。（每小题5分，共20分） （1）8000÷125 （2）125×[(273+962)÷5-215] =（8000×8）÷（125×8） =125×[1235÷5-215] =64000÷1000 =125×[247-215] =64 =125×32 =4000 （3）1999+999×999（4）64×25＋35×25＋25 =1999+(1000-1)×999 =25×（64+35+1） =1999+99000-999 =25×100 =1999-999+99000 =2500 =1000+99000 =100000 2.填空题。（每小题6分，共60分） （1）3台织布机1小时织布750米，照这样计算，1台织布机6小时可以织布（ 1500 ）米。 （2）张奶奶养了16只母鸡，两个月共产蛋832个。平均每只母鸡每个月产（ 26）个蛋。 （3）1筐苹果等于2筐梨,2筐梨等于4筐樱桃,2筐苹果等于（ 8 ）筐樱桃。 （4）爷爷比小霞大52岁，爷爷的年龄比小霞的7倍少2岁。爷爷（ 61）岁。 （5）一捆电线，第一次用去全长的8米，第二次用去余下的一半，最后还剩7米，这捆电线原有（ 22）米。 （6）一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍，这个四位数是（ 1993 ）。 （7）数学测试中，一组学生的最高分为98分，最低分是86分，其余5名学生的平均分为92分，这一组的总分是（ 644）。 （8）有红、白、蓝、黄、黑5个盒子，其中红盒比白盒大；蓝盒比黄盒大比黑盒小；黄盒比白盒大；黑盒比红盒小，那么（ 红）盒子最大，（ 白）盒子最小。 （9）小丁在计算加法时，把加数个位上的0错写成8，十位上的1错写成7，所得的和是123，正确的和应该是（ 59）。 （10）一群蚂蚁搬家，原存一堆食物，第一次运出一半少120克，第二次运出剩下的一半多100克，第三次运出480克，这时窝里还有280克，问窝内原有( 3200 )克食物。 3.解答题。（每小题10分，共40分） （1）群众影院的观众席有75排座位，每排45个。放映一场电影最多可收入多少元？（票价：8元/张） 座位：75×45=3375（个） 收入：3375×8=27000（元） 答：放映一场电影最多可收入27000元。 （2）有20个朋友聚会，见面时如果每个人都和其他人握手1次，这20个人，一共握手多少次？ 19+18+17+……+1 =（19+1）×19÷2 =20×19÷2 =190（次） 答：一共握手190次。 （3）求下面图形的面积（单位：厘米） 6×3=18（） 4×(10-7)=12（） 10×3=30（） 18+12+30=60（） 答：下面图形的面积为60。 （4）甲、乙、丙共有24张画片，甲把自己的一半平分给乙、丙，然后乙把自己的一半平分给了丙、甲，最后丙也把自己的一半平分给了甲、乙．这时甲、乙、丙三人的画片数完全相同，问他们三人原有画片各多少张？ 24÷3=8（只） 丙将自己的一半平分给甲、乙之前：丙有画片8×2=16张,甲、乙各有画片8-（16÷2÷2）=4（张） 乙将自己的一半平分给丙、甲之前：乙画片4×2=8（张）,丙有画片16-（8÷2÷2）=14（张） 甲有画片4-（8÷2÷2）=2（张） 甲将自己的一半平分给乙、丙之前：甲有画片2×2=4张,乙有画片8-（4÷2÷2）=7（张）,丙有画片14-（4÷2÷2）=13（张） 答：原来甲有4张,乙有7张,丙有13张。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 逻辑推理（二） 思维启航 一、训练目标 知识传递：逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断。数学是思维的体操，逻辑是思维的核心。 能力强化：分析能力、推理能力、判断能力、综合能力。 思想方法：条理思想、列表思想、假设思想、排除思想、比较思想。 二、知识与方法归纳 在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论，这类判断、推理问题，就叫做逻辑推理问题，简称逻辑问题。逻辑推理是小学数学中一项十分重要的内容。在解决此类问题时，不需要做过多的计算，甚至一点也不需要计算，它是依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 1.直接推理法 从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，找到正确答案。 2.列表推理法 逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错。如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键。因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了。 3.假设推理法 用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立。 解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设。 4.排除法 逻辑推理中其他方法也融入了排除法的知识，而排除法的典型应用是在立方体的知识中，突破口：“相邻不相对”。 思维进阶 例1.李叔叔、王叔叔和张叔叔是好朋友。他们中一位是教师，一位是司机，一位是医生。请你根据下面三句话，猜猜他们的职业各是什么。 ①李叔叔不是教师； ②王叔叔不是司机； ③李叔叔和王叔叔正在听一位当医生的叔叔讲笑话。 例2.三年级有三个班举行数学竞赛，分别从三个班中选一名选手。小军、小明、小强参加了比赛，知道：小军比三（1）班的选手得分低，小明与三（1）班的选手得分同样多，又比三（3）班选手得分高。问小军、小明、小强各是哪班的选手？ 三（1） 三（2） 三（3） 小军 小明 小强 思维训练1.小王、小张、小李在一起，一个是农民，一个是工人，一个是战士。他们都穿着便装，现在知道：小李比战士的年龄大；小王和农民不同岁；农民比小张的年龄小。请问：三人的职业各是什么？ 例3.甲、乙、丙、丁与小明五位同学参加羽毛球比赛，每两个人都要比赛一场。到现在为止，甲已经赛了4场，乙赛了3场，丙赛了2场，丁赛了1场。那么小明已经赛了几场？ 例4.有一个正方体，每个面上分别写上字母A、B、C、D、E、F。有三个人 从不同角度观察的结果如下图，则这个正方体上的A、C、D的对面分别是什么字母？ 思维训练2.明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手，兰兰握了3次手，静静握了2次，思思握了1次手。问毛毛握了几次手？ 例5.一个岛上住着说谎的人和说真话的人两种人。说谎的人句句是谎话，说真话的人句句是实话。如果有一天，你碰到了岛上的三个人： 王、李和张，相互交谈中，有这样一段话： 王说：“李和张两人都说谎”。 李说：“我没有说谎”。 张说：“李确实在说谎”。 小朋友，你能知道他们三人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？ 例6.一天，某校的运动会还未开始，甲、乙、丙三位同学就预测名次： 甲说：“张聪第一，游波第三。” 乙说：“黄强第一，代红第四。” 丙说：“代红第二，张聪第三。” 竞赛结果公布后，甲乙丙三人所说的四位同学分别获第一、第二、第三和第四名，而三位同学的预测，每人只说对了一半，请你猜一猜，这次竞赛的前四名的排列顺序如何？ 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。 (1)口算。（每小题2分，共20分） 16×3＝ 14×7＝ 34×3＝ 22×7＝ 24×4＝ 500÷2＝ 360÷3＝ 500÷20＝ 360÷30＝ 480÷12＝ （2）能简算的要简算。（每小题5分，共20分） 1999＋999×999 36×45＋36×55 150÷8 + 228÷8 + 22÷8 254 + 247 + 249 + 253 + 255 + 246 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）最大的两位数与最小的三位数相乘，积是（ ）。 （2）有甲、乙、丙、丁4人同住在一座四层的楼房里，已知甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层底，丁住四层。试问甲住在（ ）层，乙住在（ ）层，丙住在（ ）层。 （3）A、B、C三个男孩都有一个妹妹,六人在一起打乒乒球,进行男女混合双打.事先规定,兄妹不能搭档. 第一盘:A和小萍对C和小英; 第二盘:C和小红对A和B的妹妹. 小萍是（ ）的妹妹,小红是（ ）的妹妹,小英是（ ）的妹妹. （4）A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A、B、C、D、E五人已经分别赛过5．4、3、2、l盘。请问这时F已赛过（ ）盘。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛，赛后，他们四人预测名次，谈话如下： 甲说：“丙第一名，我第三名”； 乙说：“我第一名，丁第四名”； 丙说：“丁第二名，我第三名”； 丁没有说话，最后公布结果时，发现他们的预测都只对了一半，请你说出这次竞赛的甲、乙、丙、丁四人的名次。 （2）下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有、请白、黄、黑、绿、红、蓝六种颜色，判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？ 思维体操 猜心游戏 让我们来玩一个好玩的数学小游戏吧： 请先随便写一个五位数（每个数字不能重复，例如：37415。），然后再把这五个数字重新组合成一个新的五位数。（例如：75314），再把这两个数字相减（大数减小数，75314-37415=37899），所得的差，请你的朋友记住37899中的任何一个数字，然后让他把剩下的数字告诉你，例如，我记住了“7”，把3899告诉你，你就把3899作一个简单的处理，3+8+9+9=29，所得的和还是一个两位数，你就继续处理2+9=11，继续处理1+1=2，最后得到一位数2以后，用最大的一位数9去减，9-2=7，那么你就猜到他心里记住的是7了，是不是即简单又神秘呢，快去跟你的朋友们玩吧。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 巧算面积（二） 思维启航 一、训练目标 知识传递：了解与掌握如何运用各种方法去解决看似复杂的求面积问题。 能力强化：观察能力、分析能力、综合能力、空间想象能力、操作能力。 思想方法：条理思想、比较思想、对应思想、转化思想、平移思想、割补思想、公式思想。 二、知识与方法归纳 我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。 在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。 思维进阶 例1.求图中的阴影部分的面积。(单位：厘米)． 20cm 例2.如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 思维训练1.有一块钢板，如图，中间是一个大正方形，边长是6分米，每次正中向外凸出一个小正方形，边长都是2分米，小朋友，试试看，你能用巧妙的办法计算出下图这块钢板的面积么？这个机器零件的面积是多少？ 例3.如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 例4.如图所示，一个花园一面靠墙。篱笆一共长36米。求花园的占地面积。 思维训练2.张大伯靠一面墙用篱笆围成一个面积是72平方米的梯形养鸡场，至少需要多少米的篱笆？ 例5.下图中重叠在一起的两个正方形，大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少？ 例6.三个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起，顶点A、B与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是32厘米，那么这个图形覆盖的面积是多少平方厘米？ A B 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。 (1)口算。（每小题2分，共20分） 70÷14＝ 28×3＝ 18×2＝ 26×30＝ 76÷19＝ 312－239＝ 894-673＝ 824-763＝ 9+87＝ 656-39＝ （2）能简算的要简算。（每小题5分，共20分） 421＋（126+179） 375＋（125－90） 65×499 105×34-5×34 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）如果增产60千克记作＋60千克，那么－80千克表示（ ）80千克。 （2）如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。那么图中阴影部分的面积总和为（ ）平方厘米。 （3）如图所示，图中阴影部分的面积是（ ）cm2。 （4）图中空白部分的面积是100cm2，那么阴影部分的面积是（ ）。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）如图所示，已知大正方形的边长为8厘米．求阴影部分的面积。 （2）食堂运来3588千克面粉，每天用去52千克，多少天用完？如果每天多用17千克，比每天用52千克少用多少天？ 思维体操 坐困愁城 在市中心一个小型地下停车场里，车子像沙丁鱼一样挤在一起。由于车子停得太靠近了，所以只能向前或向后移动。图中1号车的车主急着要开出停车场，请你协助停车场的管理员，以车辆移动次数最少的方式，使1号车离开它所陷入的车阵。解题时可以利用骨牌作为视觉上的辅助工具哦。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 等量代换（2） 思维启航 一、训练目标 知识传递：学会认真审题，掌握数量关系，用等量代换的思想来解决生活中的实际问题。 能力强化：分析能力、综合能力、判断能力、推理能力。 思想方法：比较思想、验证思想、等量代换思想。 二、知识方法与归纳 等量代换是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，可以互相代换。当年曹冲称象时，就是运用了这种方法。因为只有当大象与一船石重量相等时，两次船下沉后被水面所淹没的深度才一样，所以称大象的体重只要称出一船石的重量就可以了。 在有些问题中，存在着两个相等的量，我们可以根据已知条件与未知数量之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法，这就是等量代换的基本方法。 思维进阶 例1.根据图，想一想，一只猫=( )只小甲壳虫的重量？ （2）下面和各表示几呢？ 例2.假若10只兔子可换1只羊，3只羊可换1头猪，那么用1头猪可换多少只兔子？ 思维训练1.假若1只羊可换10只兔子，1头猪可换3只羊，1头牛可换4头猪，那么用1头牛可换多少只兔子？ 例3.12支铅笔可换4支钢笔，5支钢笔可换多少支铅笔？ 例4.20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？ 思维训练2.假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只兔子？ 例5.已知2只鸡的重量和1只鸭的重量等于2300克，2只鸡的重量和3只鸭的重量等于3900克，那么1只鸡、1只鸭各多少克？ 例6.可爱多期末买奖品，第一次买回5个篮球和3个排球，用去318元。第二次又买回7个篮球和6个排球，用去510元。聪明昊见了，和可爱多说，你买一个篮球42元，一个排球的36元对吗?可爱多很疑惑，聪明昊是怎么知道的呢？ 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题（每题20分，共40分） （1）口算。（每题2分，共20分） 26×30= 250×4= 290＋53= 40×17= 96÷8= 810÷90= 61－22= 17×2= 16+46= 60×500= （2）能简便的简便计算。（每题5分，共20分） （1）270÷5÷6 （2）96÷24+1440÷240 （3）700－89－11－78－22－67－33－56－44 （4）58×143＋41×143＋143 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1） （2） 陶瓷厂生产2400个茶杯，每12个装一盒，每8盒装一箱，一共要装（ ）箱。 （3）1个菠萝的重量等于2个梨的重量,1个梨的重量等于2个苹果的重量。1个苹果重100克,1个菠萝重（ ）克。 （4）2头猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换（ ）只兔子。 3.解答题。（每题10分，共20分） （1）聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元。帅气铮问：“你买的梨和荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，”如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元。”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？ （2）北京到天津的铁路大约长138千米，一列火车从北京开往天津，休息2小时后又返回北京，共用了8小时。这列火车平均每小时行了多少千米？ 思维体操 外星人卡卡奇1（巧遇外星人） 阿星，一位UFO迷，成天梦想着自己能和外星人对话，为此他收藏许多飞碟模型，一有空就摆弄他的飞碟的模型，一天放学回家，他在路边的草丛中捡到一个造型奇特的飞碟，一到家他什么作业也不做，就研究起捡到的飞碟，这个飞碟虽然小，但很沉，而且有门有窗，透过窗，隐隐约约还能见到里面有各种摆设，阿星研究的正入迷时，妈妈走进来怒吼道：“阿星，你还玩飞碟！看看你的数学成绩都不及格了，下次你考不到八十分，我就把你的飞碟全扔掉！” 阿星赶紧打开数学书，摇头晃脑的读起题目：学校买来一批书，故事书和连环画共有70本，连环画和科技书共有82本，科技书和故事书共有76本，三种书各有多少本？正当阿星绞尽脑汁解题时，从飞碟里传出：“科技书44本，故事书32本，连环画38本。”阿星吓了一大跳，自言自语道：“奇怪了，不会是自动解题机吧！” 这时飞碟的门打开了，走下来一位全身绿色的小人，个头只有大拇指那么大，对着阿星说：“地球人阿星你好，我是数学星球的卡卡奇，我的飞碟途径地球时，发生故障，被地球引力吸了下来，我必须要花几天时间才能把飞碟修好，还得找到新的能量，才能回到我的星球上去，希望你能保守秘密，并帮助我找到新的能量。” 阿星终于见到了外星人，兴奋的说道：“行，我一定保守秘密！并帮你找到新的能量！不过，你刚才听到了，我妈妈叫我用功读书，下次数学考试成绩达不到八十分，就会把你的飞碟扔了。”卡卡奇：“学数学对于我们数学星球的人来说，就是小菜一碟！你帮我找能量石，我辅导你学数学，保证你能考到九十分！”阿星高兴的说：“太好了，你先说说刚才那题怎样解？” 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶梯数学能力检测1 （训练时间：70分钟，满分：120分） （教练 姓名 电话 得分 ） 1.计算题，能简便计算的要简便计算。（每小题5分，共20分） （1）285+74+115+226 （2）69×101 （3）65×4×25 （4）320×25×125 2.填空题。（每小题6分，共60分） （1）10个一千是（ ），一百万包含有（ ）个万。 （2） 从右边个位数起，第五位是（ ）位，计数单位是（ ）。 （3）78010060是由（ ）个千万、8个（ ）、（ ）个十万和（ ）个十组成的。 （4） 两位数乘三位数，积可能是（ ）位数，也可能是( )位数。 （5） 已知等差数列5，9，13，17，…，它的第15项为（ ）。 （6） 已知等差数列2，7，12，…，52，这个等差数列共有（ ）项。 （7） 从25往后数10个连续的单数，最后一个单数是( )。 （8） 某小组有4名同学，他们的身高分别是142厘米，139厘米，148厘米，143厘米。平均每人身高( )厘米。 （9） 小明，小华，小丽三人平均体重是43千克，小丽和小华体重相等，小华重40千克。小明的体重( )千克。 （10） 在一次考试中，小雨参加了语文，数学，英语三门课的考试，其中语文，数学两门课的平均成绩是93分，要使平均分为95分，英语要考（ ）分。 3.解答题。（每小题10分，共40分） （1）小玲从一月一日开始写大字。第一天写了2个，以后每天比前一天多写3个大字，小玲一月总共写多少个大字？ （2）有10个同学聚会，见面时如果每人都和其余的每个人握一次手，那么共握手多少次？ （3）一个两位数，在它的末尾写上0，得到一个三位数，这个三位数比原数多360，原数是多少？ （4）四个人植树，甲、乙、丙三人平均每人植树13棵，乙、丙、丁三人平均每人植树14棵，已知丁植树15棵，请问甲植树多少棵？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 巧算面积（二） 思维启航 一、训练目标 知识传递：了解与掌握如何运用各种方法去解决看似复杂的求面积问题。 能力强化：观察能力、分析能力、综合能力、空间想象能力、操作能力。 思想方法：条理思想、比较思想、对应思想、转化思想、平移思想、割补思想、公式思想。 二、知识与方法归纳 我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。 在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。 思维进阶 例1.求图中的阴影部分的面积。(单位：厘米)． 20cm 【答案】100 【解析】20×20=400(平方厘米) 400÷2÷2=100(平方厘米) 答：阴影部分面积为100平方厘米。 例2.如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 【答案】50 【解析】旋转法，将图形里面的4个三角形分别向后翻转，则把阴影图形面积可变为大正方形面积减小正方形面积，可观察出阴影图形面积占整个大正方形面积的一半，即：10×10÷2=50（平方厘米） 答：阴影部分面积为50平方厘米。 思维训练1.有一块钢板，如图，中间是一个大正方形，边长是6分米，每次正中向外凸出一个小正方形，边长都是2分米，小朋友，试试看，你能用巧妙的办法计算出下图这块钢板的面积么？这个机器零件的面积是多少？ 【答案】52 【解析】大面积加小面积：6×62×2×4=52 dm2 答：面积是52 dm2 例3. 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 【答案】8 【解析】我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A、B之间有什么联系？ 大三角形面积：36÷2×4=72平方厘米 正方形B：72÷9=8平方厘米 答：正方形B的面积是8平方厘米。 例4.如图所示，一个花园一面靠墙。篱笆一共长36米。求花园的占地面积。 【答案】72 【解析】在对面画一个一样的梯形拼成长方形。 拼成的长方形长：36×2÷2-18=18米 面积：18×8÷2=72平方米 答：花园占地面积是72平方米。 思维训练2.张大伯靠一面墙用篱笆围成一个面积是72平方米的梯形养鸡场，至少需要多少米的篱笆？ 【答案】15 【解析】72×2÷6=24米 （24+6）÷2=15米 答：至少需要15米。 例5.下图中重叠在一起的两个正方形，大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少？ 【答案】 【解析】如图分割。小正方形面积： 增加的2块长方形面积：（96-4×4）÷2=40 cm2 小正方形边长：40÷4=10 cm 则小正方形面积：10×10=100 cm2 大正方形面积：100+96 =196 cm2 答：小正方形=100平方厘米，大正方形=196平方厘米。 例6.三个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起，顶点A、B与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是32厘米，那么这个图形覆盖的面积是多少平方厘米？ A B 【答案】40 cm2 【解析】图形的周长为16个小正方形的边长，即边长为32÷16=2 cm ，那么覆盖的面积为10个小正方形的面积，2×2×10=40cm2。 答：这个图形覆盖的面积是40 cm2 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。 (1)口算。（每小题2分，共20分） 70÷14＝ 28×3＝ 18×2＝ 26×30＝ 76÷19＝ 312－239＝ 894-673＝ 824-763＝ 9+87＝ 656-39＝ （2）能简算的要简算。（每小题5分，共20分） 421＋（126+179） 375＋（125－90） 【答案】426 410 65×499 105×34-5×34 【答案】326855 3400 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）如果增产60千克记作＋60千克，那么－80千克表示（ ）80千克。 【答案】减少 【解析】略 （2）如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。那么图中阴影部分的面积总和为（ ）平方厘米。 【答案】50 【解析】利用对称和旋转，变成正方形的一半：10×10÷2=50平方厘米。 （3）如图所示，图中阴影部分的面积是（ ）cm2。 【答案】4 【解析】风车的4个角切割下来正好可以将阴影部分填补成占有4个小正方形面积，即：4×4×÷4=4（平方厘米） （4）图中空白部分的面积是100cm2，那么阴影部分的面积是（ ）。 【答案】80 【解析】略 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）如图所示，已知大正方形的边长为8厘米．求阴影部分的面积。 【答案】32 【解析】阴影部分的面积为：     8×8÷16÷2×16=32(平方厘米) 答：阴影部分的面积为32平方厘米.。 （2）食堂运来3588千克面粉，每天用去52千克，多少天用完？如果每天多用17千克，比每天用52千克少用多少天？ 【答案】17 【解析】（1）3588÷52=69（天） （2）3588÷（52+17)=52(天） 69-52=17（天） 答：比每天用52千克少用17天。 思维体操 坐困愁城 在市中心一个小型地下停车场里，车子像沙丁鱼一样挤在一起。由于车子停得太靠近了，所以只能向前或向后移动。图中1号车的车主急着要开出停车场，请你协助停车场的管理员，以车辆移动次数最少的方式，使1号车离开它所陷入的车阵。解题时可以利用骨牌作为视觉上的辅助工具哦。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 还原问题（2） 思维启航 一、训练目标 知识传递：当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，当我们改变思考的顺序，以问题叙述的终点为起点，一步一步从后向前推理，并在往回算的过程中按照加减互为逆运算、乘除互为逆运算的原则改变原有的运算方式，使问题得到解决的解题方法叫还原法。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、估算能力、推理能力。 思想方法：逆推思想、还原思想。 二、知识方法与归纳 解还原问题的精髓是找原运算的逆运算。即：一步一步倒推回去。 也就是说：原来加的，退回去用减； 原来减的，退回去用加； 原来乘的，退回去用除； 原来除的，退回去用乘； 遇到比较复杂的还原问题，还可以借助画图和列表来解决。 思维进阶 例1.小玲问小青她今年的年龄是几岁,小青说：“我3年前的年龄的5倍是30岁”，那么小青今年多大？ 例2.（1）粮店里有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩余下的一半，还剩4吨，粮库原有大米多少吨？ （2）农业站有一批化肥，第一天卖出一半多15吨。第二天卖出余下的一半少3吨,还剩80吨。这批化肥原来有多少吨？ 思维训练1.学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？ 例3.丹丹在计算加法时，把一个加数十位上的5错写成3，把另一个加数个位上的6错写成2，所得的和是374，正确的和应该是多少？ 例4.（1）淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢? （2）哪吒是个小马虎，他在做一道减法题时，把被减数十位上的6错写成9，减数个位上的9错写成6，最后所得的差是577，那么这道题的正确答案应该是多少呢？ 思维训练2.丹丹做题时，把被减数313错写成375，这样算的差是201，正确的差是多少？ 例5.A、B两个化肥仓库共贮存化肥480吨，由于A仓库漏水，需要维修，移出140吨化肥放入B仓库，待修好后又从B仓库运回90吨化肥。这时A仓库的化肥是B仓库化肥的3倍。A、B两仓库原有化肥各多少吨？ 例6.甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，甲、乙两班原来各有树多少棵？ 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题（每题20分，共40分） （1）口算（每小题2分，共20分） 540÷60= 170＋150 = 52÷4= 76÷2= 170×3= 280－190= 840÷70= 50×19= 70－23= 28+68= （2）能简便的简便计算。（每小题5分，共20分） 125×32×30 49999+3999+299+19+6 345×102 - 345×2 147×1005 - 147×4 - 147 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）兰兰问皮皮几岁了，皮皮说：“6年前我年龄的一半是8岁。”那么皮皮今年（ ）岁。 （2） 有一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，筐中还有20个。筐中原有苹果（ ）个。 （3） 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，把个位上的3看作了6，结果得到的差是342，正确的差是（ ）。 （4） 如果商是24，除数是35，则余数最大是（ ），当余数是这个最大数时，则被除数是（ ）。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）一辆卡车12次运了840袋水泥。照这样计算，694袋水泥10次能全部运完吗？ （2）一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？ 思维体操 神奇的钱袋 每次往钱袋有一只神奇的钱袋，里面的钱就会比原来的2倍还多4元。小明星期一往钱袋里存钱，星期三又往里存钱，周末存钱后，全部拿出来一看，钱袋里正好有52元钱。小朋友，你知道小明第一次往这只神奇的钱袋里放了多少钱吗？ 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 等量代换（2） 思维启航 一、训练目标 知识传递：学会认真审题，掌握数量关系，用等量代换的思想来解决生活中的实际问题。 能力强化：分析能力、综合能力、判断能力、推理能力。 思想方法：比较思想、验证思想、等量代换思想。 二、知识方法与归纳 等量代换是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，可以互相代换。当年曹冲称象时，就是运用了这种方法。因为只有当大象与一船石重量相等时，两次船下沉后被水面所淹没的深度才一样，所以称大象的体重只要称出一船石的重量就可以了。 在有些问题中，存在着两个相等的量，我们可以根据已知条件与未知数量之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法，这就是等量代换的基本方法。 思维进阶 例1. 根据图，想一想，一只猫=( 24 )只小甲壳虫的重量？ 24 （2）下面和各表示几呢？ 【答案】绿叶为3，红叶为5. 这道题是通过比较上下两个算式来推理其中一个表示几的，具体分析如下： 首先我们来比较这两个算式，为了便于比较我们可以把第二个算式变成右上图所示，这样进行对比我们发现上面的算式比下面的算式多加了一个，而得数多了19-16=3，因此我们就可以得出=3，把=3代入到第二个算式中可得：，想10+6=5，5+5=10， 那么=5. 答：绿叶为3，红叶为5. （直接文字转换）例2.假若10只兔子可换1只羊，3只羊可换1头猪，那么用1头猪可换多少只兔子？ 【答案】1头猪可换30只兔子 解：3只羊换：103=30（只） 1头猪=3只羊=30只猪 答：那么用1头猪可换30只兔子。 思维训练1假若1只羊可换10只兔子，1头猪可换3只羊，1头牛可换4头猪，那么用1头牛可换多少只兔子？ 【答案】1头牛可换120只兔子 解：4头猪换羊：43=12（只） 12只羊换兔子：1210=120（只） 1头牛=120只兔子 答：那么用1头牛可换120只兔子。 （先归一再转换）例3.12支铅笔可换4支钢笔，5支钢笔可换多少支铅笔？ 【答案】5支钢笔可换15支铅笔 解：1支钢笔换铅笔：124=3（支） 5支钢笔换铅笔：3 5=15（支） 答： 5支钢笔可换15支铅笔。 （两个量的归一再转换）例4.20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？ 【答案】8只西瓜可换240只桃子 解：1只西瓜换香瓜：93=3（只） 1只香瓜换桃子：202=10（只） 3只香瓜换桃子：103=30（只） 1只西瓜=30只桃子 8只西瓜换桃子：830=240（只） 答：8只西瓜可换240只桃子。 思维训练2假若20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么用5头牛可换多少只兔子？ 【答案】5头牛可换600只兔子 解：1头牛换猪：82=4（头） 1头猪换羊：93=3（只） 1只羊换兔子：202=10（只） 1头牛=120只兔子 5头牛换兔子：5120=600（只） 答：那么用5头牛可换600只兔子 （对比消元）例5.已知2只鸡的重量和1只鸭的重量等于2300克，2只鸡的重量和3只鸭的重量等于3900克，求1只鸡、1只鸭各多少克？ 【答案】1只鸡、1只鸭各750克、800克 解：2只鸡+1只鸭=2300克 2只鸡+3只鸭=3900克（） 2只鸭：3900-2300=1600（克） 1只鸭：16002=800（克） 2只鸡：2300-800=1500（克） 1只鸡：15002=750（克） 答：1只鸡、1只鸭各750克、800克。 （较难对比消元）例6.可爱多期末买奖品，第一次买回5个篮球和3个排球，用去318元。第二次又买回7个篮球和6个排球，用去510元。聪明昊见了，和可爱多说，你买一个篮球42元，一个排球的36元对吗?可爱多很疑惑，聪明昊是怎么知道的呢？ 【答案】正确 解：5篮球+3排球=318 7篮球+6排球=510 转换：10篮球+6排球=636 3篮球：639-510=126（元） 1篮球：129÷3=42（元） 1排球：318-42×5=108（元）108÷3=36（元） 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题（每题20分，共40分） （1）口算。（每题2分，共20分） 26×30= 780 250×4=1000 290＋53= 343 40×17= 680 96÷8=12 810÷90=9 61－22=39 17×2=34 16+46=62 60×500= 30000 （2）能简便的简便计算。（每题5分，共20分） （1）270÷5÷6 （2）96÷24+1440÷240 =270÷（56） =96÷24+144÷24 =270÷30 =（96+144）÷24 =9 =240÷24 =10 （3）700－89－11－78－22－67－33－56－44 （4）58×143＋41×143＋143 =700-（89+11+78+22+67+33+56+44） =143×（58+41+1） =700-400 =143×100 =300 =14300 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1） （2）陶瓷厂生产2400个茶杯，每12个装一盒，每8盒装一箱，一共要装（ 25）箱。 （3）1个菠萝的重量等于2个梨的重量,1个梨的重量等于2个苹果的重量。1个苹果重100克,1个菠萝重（400）克。 （4）2头猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换（ 12 ）只兔子。 3.解答题。（每题10分，共20分） （1）聪明昊买水果回来，他买4千克梨和5千克荔枝，正好花掉了58元。帅气铮问：“你买的梨和荔枝各多少钱一千克？”聪明昊一脸神秘，”如果我买6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元。”帅气铮笑了，“昊昊，我知道答案啦！”小朋友们，你知道答案吗？ 【答案】荔枝25元，梨2元 解：4千克梨+5千克荔枝=58元 6千克梨+5千克荔枝=62元 2千克梨：62-58=4元 1千克梨：4÷2=2元 5千克荔枝：58-4×2=50元 1千克荔枝：50÷2=25元 （2） 北京到天津的铁路大约长138千米，一列火车从北京开往天津，休息2小时后又返回北京，共用了8小时。这列火车平均每小时行了多少千米？ 【答案】平均每小时行了46千米 路程：138×2=276（千米） 时间：8-2=6（时） 速度：276÷6=46（千米） 答：这列火车平均每小时行了46千米。 思维体操 外星人卡卡奇1（巧遇外星人） 阿星，一位UFO迷，成天梦想着自己能和外星人对话，为此他收藏许多飞碟模型，一有空就摆弄他的飞碟的模型，一天放学回家，他在路边的草丛中捡到一个造型奇特的飞碟，一到家他什么作业也不做，就研究起捡到的飞碟，这个飞碟虽然小，但很沉，而且有门有窗，透过窗，隐隐约约还能见到里面有各种摆设，阿星研究的正入迷时，妈妈走进来怒吼道：“阿星，你还玩飞碟！看看你的数学成绩都不及格了，下次你考不到八十分，我就把你的飞碟全扔掉！” 阿星赶紧打开数学书，摇头晃脑的读起题目：学校买来一批书，故事书和连环画共有70本，连环画和科技书共有82本，科技书和故事书共有76本，三种书各有多少本？正当阿星绞尽脑汁解题时，从飞碟里传出：“科技书44本，故事书32本，连环画38本。”阿星吓了一大跳，自言自语道：“奇怪了，不会是自动解题机吧！” 这时飞碟的门打开了，走下来一位全身绿色的小人，个头只有大拇指那么大，对着阿星说：“地球人阿星你好，我是数学星球的卡卡奇，我的飞碟途径地球时，发生故障，被地球引力吸了下来，我必须要花几天时间才能把飞碟修好，还得找到新的能量，才能回到我的星球上去，希望你能保守秘密，并帮助我找到新的能量。” 阿星终于见到了外星人，兴奋的说道：“行，我一定保守秘密！并帮你找到新的能量！不过，你刚才听到了，我妈妈叫我用功读书，下次数学考试成绩达不到八十分，就会把你的飞碟扔了。”卡卡奇：“学数学对于我们数学星球的人来说，就是小菜一碟！你帮我找能量石，我辅导你学数学，保证你能考到九十分！”阿星高兴的说：“太好了，你先说说刚才那题怎样解？” 卡卡奇：“用（70＋82＋76）÷2=114本，求出故事书、连环画和科技书一共有114本，然后用114－70=44本就可求出科技书，用114－82=32本就求出故事书有32本，用114－76=38本求出连环画。”就这样，阿星与外星人卡卡奇达成了互助协议。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 等差数列3 思维启航 一、训练目标 知识传递：掌握数列、等差数列的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。 能力强化：观察能力、分析能力、理解能力、计算能力。 思想方法：列举思想、归纳思想、整体观察思想。 二、知识与方法归纳 按一定次序排列的一串数叫做数列。数列里的每一个数叫做数列的一项，从左起第一个数叫做第一项，也叫首项，第二个数叫做第二项，……，最后一个数叫做末项。数列里项的个数叫做项数。 在1,2,3，…，100这个数列里，具有如下特点：2－1=1,3－2=1,4－3=1，…，100－99=1。也就是说，这个数列有一个特点，就是前后两个相邻的数的差都相等，这个相等的差叫做公差。具有这种特点的数列，我们就把它叫做等差数列。 首先我们复习一下等差数列的求和公式：和 = 接着我们复习一下等差数列中首项、末项、项数和公差之间的关系，请观察下图： +公差 +公差 +公差 +公差 …… +公差 首项 → 第2项 → 第3项 → 第4项 → 第5项 → …… → 末项 在上图中，第4项比第1项大（ ）个公差；第7项比第1项大（ ）个公差；第17项比第9项大（ ）个公差；第n项比第m项大（ ）个公差。 因此可得：末项 =首项+(项数-1)×公差 首项 =末项-(项数-1)×公差 项数 =（末项-首项）÷公差＋1 公差 =（末项-首项）÷（项数-1） 思维进阶 例1.已知一个等差数列2，4，6，8，10，22， （1）22应该在第几项？ （2）将这个数列里的所有数相加，和是多少？ 例2.小龙学习英语单词，他制定了月计划，从这个月第一天起，以后每天都要比前一天多学2个，已知他第10天学了28个单词， （1）小龙这个月第一天学了多少个单词？ （2）小龙这个月第20天应该学了多少个单词？ 体验训练1.有等差数列：3，8，13，18，48，那么3+8+13+18++48等于多少？ 例3.大胃餐厅推出了一种新菜式，用萝卜砖摆成如图形状： （1）想一想从上往下数第8层有多少块萝卜砖？ （2）从第1层到第8层一共用了多少块萝卜砖？ 例4.大胃餐厅的经理把20把锁的钥匙弄乱了，在最不利的情况下： （1）最少要试多少次，才能使每把锁都配上自己的钥匙？ （2）最少要试多少次，才能使把锁都打开？ 体验训练2.把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由。 例5.某班有51个同学，毕业时每人都和班上其他同学握一次手。那么共握了多少次手？ 例6.在一次同学聚会中，一共到20位同学和2位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？ 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。（每小题20分，共40分） （1）口算。 51÷3＝ 250÷50＝ 60÷5＝ 240÷12＝ 210÷3－69＝ 1200÷20＝ 270÷9＝ 60÷15＝ 360÷40×8＝ 1000÷8－46＝ （2）脱式计算，能简算的要简算。 1+2+3+4+…+50 1×5＋5×2＋5×3＋5×4＋5×5 100－99＋98－97＋96－95＋…＋4－3＋2－1 1－2＋3－4＋…＋47－48＋49 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）已知数列5，8，11，14，17，……，50，按照前几项的规律，该数列的第10项是（ ），这个数列的和是（ ）。 （2） 君君某个月存50元，以后每月比上一月多存2元，那他一年共存（ ）元。 （3） 阳光电影院的一个放映厅安排了20排座位，第20排有77个，已知后一排比前一排多3个座位，这个放映厅共有座位（ ）个。 （4）两位数乘两位数，积可能是（ ）位数。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛1场，若有10人参赛，那么一共要进行多少场选拔赛？ （2）某队接受了修一条长500千米的河堤任务，已经修了25天，每天修5千米，还有多少千米没修？ 思维体操 损失多少钱？ 狐狸用50元的假钞买走了老山羊店里一件45元的皮衣，老山羊还找给狐狸5元钱，那么你知道老山羊损失了多少元？ 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 数字与数位（应用题型转化为算式谜、和差倍问题） 思维启航 一、训练目标 知识传递：掌握数字、数位、位数的相关知识，并能用之分析、解决一些数论基本问题。 能力强化：分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。 思想方法：列举思想、和倍思想、算式谜思想。 二、知识与方法归纳 数字是一种用来表示数的书写符号。数字分好几种，阿拉伯数字是最普遍的一种。阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明的而是印度人发明的，实际应该列为印度语言，只是先传播到阿拉伯，然后传向世界的，所以称之为“阿拉伯数字”。 在日常语言中，许多人都将“数字”等同“数”。但是，“数字”是指0～9这10个阿拉伯数字，而“数”则是指多位数和所有的“数字”。 数位是指一个数的每个数字所占的位置。自然数的计数方法是十进制计数法，相邻的两个计数单位之间的进率都是十。十进制数位顺序表从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。同一个数字，由于所在的数位不同，它所表示的数值也就不同。例如，在用阿拉伯数字表示数时，同一个“6”，放在十位上表示6个十，放在百位上表示6个百，放在亿位上表示6个亿等等。 位数是指一个自然数中含有数位的个数。比如，458这个数由三个数字组成，每个数字占了一个数位，我们就把它叫做三位数。 今天我们就来研究数字与数位的奥秘。 思维进阶 例1.一个四位数，百位和十位上的数字相同，且都是个位数字的3倍，千位上的数字是个位上数字的9倍，这个四位数是多少？ 【答案】9331 【解析】解：（根据各个数位上数字的倍数关系，求出这个多位数） 由“千位上的数字是个位上数字的9倍”得：个位上数字只能为1，则千位上数字是9， “百位和十位都是个位数字的3倍”得百位上数字为3，十位上数字为3， 答：这个四位数是9331。 例2.一个两位数，个位和十位上的数字之和为9，个位数字是十位数字的2倍，这个两位数是多少？ 【答案】36 【解析】解：（可用枚举法，也可用和倍思想） 十位数字看做一倍数，十位数字看做2倍数。 十位数字：9÷（1+2）=3； 个位数字：3×2=6； 答：这个两位数为：36。 思维训练1.一个三位数，各个数位上的数字之和为8，它十位上的数字是个位数字的2倍，百位上的数字比十位上数字多3，这个数是多少？ 【答案】521 【解析】解：（可用枚举法，也可用和倍思想，但若用和倍思想的话，数量关系较复杂） 个位上数字：（8-3）÷（1+2+2）=1； 十位上数字：1×2=2； 百位上数字：2+3=5. 这个数为：521。 例3.一个两位数，在它末尾写一个0，得到一个新的数，新数与原数差90，原数是多少？ 【答案】10 【解析】解：（可用差倍思想，也可用算式谜思想） 原数：90÷（10-1）=10。 答：原数是10。 例4.一个一位数，在它前面写一个2，得到一个新的两位数，新数是原数的6倍，原数是多少？ 【答案】4 【解析】解：（可用差倍思想，也可用算式谜思想） 原数：20÷（6-1）=4。 答：原数是4。 思维训练2.一个三位数，去掉百位数字2，得到一个新的两位数，原数是新数的9倍，原数是多少？ 【答案】225 【解析】解：（可用差倍思想，也可用算式谜思想） 新数：200÷（9-1）=25； 原数：25×9=225。 答：原数是225。 例5.有2个两位数，已知两数和为79，其中一个数的个位数字为6，另一个数的十位数字为2，这两个数分别是多少？ 【答案】56,23。 【解析】解：（算式谜思想） □ 6 + 2 □ 7 9 答：这两数分别为56，23。 例6.一个两位数，把十位数字和个位数字对换后，得到一个新的两位数，新两位数比原来的数大72，原来的两位数是多少？ 【答案】91 【解析】解：（算式谜思想） A B - B A 7 2 答：原来的两位数是91。 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。（每小题20分，共40分） （1）口算。 63×7＝ 130×3＝ 60×50＝ 36×20＝ 230×20－46＝ 260×2＝ 75×24＝ 150÷3＝ 80÷5＝ 490÷70＋58＝ 【答案】441，390，3000，720，4554， 520，1800，50，16，65 （2）脱式计算，能简算的要简算。 2014+92-14 823-92+177 【答案】2092 【答案】908 【解析】解：原式=2014-14+92 【解析】解：原式=823+177-92 =2000+92 =1000-92 =2092 =908 12×67+67×38 287×101-287 【答案】3350 【答案】28700 【解析】解：原式=67×（12+38） 【解析】解：原式=287×（101-1） =67×50 =287×100 =3350 =28700 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）一个三位数，十位数字比百位数字大5，个位数字比百位数字大7，这个三位数在100~200之间，这个三位数是（ ）。 【答案】168 【解析】解：（根据各个数位上数字的数量关系，求出这个多位数） 在100~200之间，百位数字：1， 十位数字：1+5=6； 个位数字：1+7=8， 这个数：168。 （2） 一个两位数，它的个位数字是十位数字的3倍，且这两个数位上的数字之和是12，这个两位数是（ ）。 【答案】39 【解析】解：（和倍思想） 十位：12÷（1+3）=3， 个位:3×3=9， 这个数：39。 （3） 一个两位数，在它的末尾写上0，得到一个三位数，这个三位数比原数多360，原数是（ ）。 【答案】 【解析】解：（差倍思想） 原数：360÷（10-1）=40。 （4） 按规律填数8、15、10、13、12、11、（ ）。 【答案】14 【解析】解：数列有增有减，应隔一个观察，8,10,12（14）。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）一个三位数，个位上数字是十位上数字的3倍，十位上数字是百位上数字的一半，各数字之和为18，这个三位数是多少？ 【答案】639 【解析】解：（和倍思想） 十位：18÷（1+2+3）6=3 个位：3×3=9 百位：3×2=6 答：这个三位数是639。 （2）学校买来52套桌椅，每套桌椅包含一张桌子和一把椅子，每张桌子45元，每把椅子18元，一共用去多少元？ 【答案】3276 【解析】解：买桌子：45×52=2340（元） 买椅子：18×52=936（元） 共用：2340+936=3276（元） 答：一共用去3276元。 思维体操 数字的种类 一、表示数目的文字。 汉字的数字有小写大写两种，“一二三四五六七八九十百千万亿”等是小写，“壹贰叁肆伍陆柒捌玖拾佰仟万亿”等是大写。 二、表示数目的符号。 苏州码子：〡、〢、〣、〤、〥、〦、〧、〨、〩、十 阿拉伯数字：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、表示数目的字母。 罗马数字：Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ…… 英文数字：A B C D E F （在十六进制中用到） 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 逻辑推理（二） 思维启航 训练目标 知识传递：逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断。数学是思维的体操，逻辑是思维的核心。 能力强化：分析能力、推理能力、判断能力、综合能力。 思想方法：条理思想、列表思想、假设思想、排除思想、比较思想。 知识与方法归纳 在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论，这类判断、推理问题，就叫做逻辑推理问题，简称逻辑问题。逻辑推理是小学数学中一项十分重要的内容。在解决此类问题时，不需要做过多的计算，甚至一点也不需要计算，它是依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。 1.直接推理法 从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，找到正确答案。 2.列表推理法 逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错。如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键。因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了。 3.假设推理法 用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设。如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立。 解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设。 4.排除法 逻辑推理中其他方法也融入了排除法的知识，而排除法的典型应用是在立方体的知识中，突破口：“相邻不相对”。 思维进阶 例1.李叔叔、王叔叔和张叔叔是好朋友。他们中一位是教师，一位是司机，一位是医生。请你根据下面三句话，猜猜他们的职业各是什么。 ①李叔叔不是教师； ②王叔叔不是司机； ③李叔叔和王叔叔正在听一位当医生的叔叔讲笑话。 【答案】张叔叔是医生,王叔叔是教师，李叔叔是司机。 【解析】从“李叔叔和王叔叔正在听一位当医生的叔叔讲笑话”这句话中推想出李叔叔和王叔叔不可能是医生，这样就知道张叔叔一 定是医生，其余两位叔叔，一个是教师，一个是司机。从“李叔叔不是教师”可知，王叔叔一定是教师，这样也就知道了李叔叔是司机。 本题也可以用填表的方法找答案。 答：张叔叔是医生,王叔叔是教师，李叔叔是司机。 例2.三年级有三个班举行数学竞赛，分别从三个班中选一名选手。小军、小明、小强参加了比赛，知道：小军比三（1）班的选手得分低，小明与三（1）班的选手得分同样多，又比三（3）班选手得分高。问小军、小明、小强各是哪班的选手？ 【答案】小军是三（3）班的选手，小明是三（2）班的选手，小强是三（1）班的选手。 三（1） 三（2） 三（3） 小军 × × √ 小明 × √ × 小强 √ × × 【解析】 答：小军是三（3）班的选手，小明是三（2）班的选手，小强是三（1）班的选手。 思维训练1.小王、小张、小李在一起，一个是农民，一个是工人，一个是战士。他们都穿着便装，现在知道：小李比战士的年龄大；小王和农民不同岁；农民比小张的年龄小。请问：三人的职业各是什么？ 【答案】小李是农民，小王是战士，小张是工人 【解析】由后两个条件可得：小李是农民。又因为小李比小张的 年龄小，小李比战士的年龄大，推出小王是战士，则小张就是工人。 答：小李是农民，小王是战士，小张是工人。 例3.甲、乙、丙、丁与小明五位同学参加羽毛球比赛，每两个人都要比赛一场。到现在为止，甲已经赛了4场，乙赛了3场，丙赛了2场，丁赛了1场。那么小明已经赛了几场？ 【答案】小明一共赛了2场 【解析】（1）甲已经赛了4场，则一定与乙、丙、丁、小明各赛了一场； （2）乙已经赛了3场，其中1场与甲比赛，但另2场不能确定与丙、丁、小明中的谁赛； （3）丙已经赛了2场，其中1场与甲比赛，但另1场不能确定与丙、丁、小明中的谁赛； （4）丁已经赛了1场，一定与甲比赛；不可能与乙、丙、小明比赛。 （5）则乙一定与小明和丙比赛。 （6）则丙一定与小明和乙比赛。 综上：小明一共赛了2场 答：小明一共赛了2场。 例4.有一个正方体，每个面上分别写上字母A、B、C、D、E、F。有三个人 从不同角度观察的结果如下图，则这个正方体上的A、C、D的对面分别是什么字母？ 【答案】A对E,C对F,D对B. 相邻的面 相对的面 A F D B C E C A B D E F D A E C F B 【解析】 答：A对E,C对F,D对B. 思维训练2.明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手，兰兰握了3次手，静静握了2次，思思握了1次手。问毛毛握了几次手？ 【答案】毛毛握手3次 【解析】略 答：毛毛握手3次。 例5. 一个岛上住着说谎的人和说真话的人两种人。说谎的人句句是谎话，说真话的人句句是实话。如果有一天，你碰到了岛上的三个人： 王、李和张，相互交谈中，有这样一段话： 王说：“李和张两人都说谎”。 李说：“我没有说谎”。 张说：“李确实在说谎”。 小朋友，你能知道他们三人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？ 【答案】2个人说谎， 1个人说真话. 【解析】因为李和张两人说的话正好相反，所以，他们两人中一定有一个人在说谎，另一个人在说真话；由此可知，他们两人不可能都说谎，所以王必定在说谎。于是可知，他们三人中有2个人说谎， 1个人说真话. 答：2个人说谎， 1个人说真话。 例6. 一天，某校的运动会还未开始，甲、乙、丙三位同学就预测名次： 甲说：“张聪第一，游波第三。” 乙说：“黄强第一，代红第四。” 丙说：“代红第二，张聪第三。” 竞赛结果公布后，甲乙丙三人所说的四位同学分别获第一、第二、第三和第四名，而三位同学的预测，每人只说对了一半，请你猜一猜，这次竞赛的前四名的排列顺序如何？ 【答案】黄强第一、代红第二、游波第三、张聪第四 【解析】假设甲说的“张聪第一”是对的，得丙说“张聪第三”是错的，则丙说“代红第二”是对的；得乙说“代红第四”是错的，则乙说“黄强第一”是对的；第一既是张聪又是黄强，矛盾，假设不成立； ； 假设甲说的“游波第三”是对的，得丙说“张聪第三”是错的，则丙说“代红第二”是对的；得乙说“代红第四”是错的，则乙说“黄强第一”是对的；因此张聪只能是第四。 。 所以综上所述，排名顺序是：黄强第一、代红第二、游波第三、张聪第四。 答：黄强第一、代红第二、游波第三、张聪第四。 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。 (1)口算。（每小题2分，共20分） 16×3＝ 14×7＝ 34×3＝ 22×7＝ 24×4＝ 500÷2＝ 360÷3＝ 500÷20＝ 360÷30＝ 480÷12＝ （2）能简算的要简算。（每小题5分，共20分） 1999＋999×999 36×45＋36×55 【答案】1000000 33600 【解析】 =1000+999+999×999 =36×（45+55） =1000+999×（1+999） =3600 =1000000 150÷8 + 228÷8 + 22÷8 254 + 247 + 249 + 253 + 255 + 246 【答案】50 1504 【解析】 =（150 + 228 + 22）÷8 =50 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）最大的两位数与最小的三位数相乘，积是（ ）。 【答案】99000 【解析】略 （2）有甲、乙、丙、丁4人同住在一座四层的楼房里，已知甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层底，丁住四层。试问甲住在（ ）层，乙住在（ ）层，丙住在（ ）层。 【答案】二、一、三 【解析】直接推理 （3）A、B、C三个男孩都有一个妹妹,六人在一起打乒乒球,进行男女混合双打.事先规定,兄妹不能搭档. 第一盘:A和小萍对C和小英; 第二盘:C和小红对A和B的妹妹. 小萍是（ ）的妹妹,小红是（ ）的妹妹,小英是（ ）的妹妹. 【答案】C A B 【解析】A的妹妹不是小萍，C的妹妹不是小英、小红，B的妹妹不是小红，所以C的妹妹是小萍，小红是A的妹妹，那么B的妹妹是小英。 （4）A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A、B、C、D、E五人已经分别赛过5．4、3、2、l盘。请问这时F已赛过（ ）盘。 【答案】3 【解析】图示法。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛，赛后，他们四人预测名次，谈话如下： 甲说：“丙第一名，我第三名”； 乙说：“我第一名，丁第四名”； 丙说：“丁第二名，我第三名”； 丁没有说话，最后公布结果时，发现他们的预测都只对了一半，请你说出这次竞赛的甲、乙、丙、丁四人的名次。 【答案】甲第三名，乙第一名，丁第二名，丙第四名。 【解析】假设甲说“丙第一名”是对的，得甲说“我第三名”是错的；得丙说“我第三名”是对的，丙说“丁第二名”是错的；此时丙既是第一名，也是第三名，矛盾，舍去； 假设甲说“我第三名”是对的，得丙说“我第三名”是错的，丙说“丁第二名”是对的；得乙说“丁第四名”是错的，乙说“我第一名”是对的；符合题意。 答：甲第三名，乙第一名，丁第二名，丙第四名。 （2）下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有白、黄、黑、绿、红、蓝六种颜色，请判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？ 【答案】黄对绿、白对蓝、红对黑。 【解析】 相邻的面 相对的面 黄色 白、黑、红、蓝 绿 白色 黄、黑、绿、红 蓝 红色 白、绿、黄、蓝 黑 答：黄对绿、白对蓝、红对黑。 思维体操 猜心游戏 让我们来玩一个好玩的数学小游戏吧： 请先随便写一个五位数（每个数字不能重复，例如：37415。），然后再把这五个数字重新组合成一个新的五位数。（例如：75314），再把这两个数字相减（大数减小数，75314-37415=37899），所得的差，请你的朋友记住37899中的任何一个数字，然后让他把剩下的数字告诉你，例如，我记住了“7”，把3899告诉你，你就把3899作一个简单的处理，3+8+9+9=29，所得的和还是一个两位数，你就继续处理2+9=11，继续处理1+1=2，最后得到一位数2以后，用最大的一位数9去减，9-2=7，那么你就猜到他心里记住的是7了，是不是即简单又神秘呢，快去跟你的朋友们玩吧。 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶梯数学能力检测2 （训练时间：70分钟，满分：120分） 教练 姓名 电话 得分 1.计算题。（每小题5分，共20分） （1）91000÷125 （2）2003×2005－2002×2006 （3）230×[1080÷(144－108)] （4）3450÷[(190＋270)÷10] 2.填空题。（每小题6分，共60分） （1）一个数乘13，得数比原来多108，原来的数是（ ）。 （2）a÷□=8⋯⋯17，除数最小是（ ）。 （3）芳芳6分钟走了288米，她每分钟走（ ）米。她从家到学校大约需要20分钟，请问芳芳家到学校一共有（ ）米。 （4）把东面设为正方向，小华向东走50米为（ ）米，他再向西走30米为（ ）米。 （5）请数一数图（1）中一共有（ ）个三角形。 （2） （1） （6）请数一数图（2）中一共有（ ）个正方形。 （7）如图（3）所示，三个正方形的边长为8厘米，阴影部分的面积一共为24平方厘米，请问三个正方形覆盖的面积为（ ）。 （3） （8）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：刘刚的妹妹是（ ），马辉的妹妹是（ ），李强的妹妹是（ ）。 （9）有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，做好事最多的是（ ），做好事最少的是（ ）。 （10）正方体的各面有1到6个数字，有三种不同放置的方式，请问图（1)、(2)、(3)底面的数字分别为（ ）、（ ）、（ ）。 (1) (2) (3) 3.解答题。（每小题10分，共40分） （1）两个修路队共同修一条路，3天修完。甲队修了126米，乙队修了105米。甲队比乙队平均每天多修多少米？ （2）一块长方形草坪的面积是100平方米，扩建后，长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的3倍，扩建后草坪的面积是多少？ （3）如图，在两个相同的等腰之间三角形中各作一个正方形，如果三角形A的面积是27平方厘米，那么三角形B的面积是多少平方厘米？ A B （4） 同一平面内的两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，10条直线最多有多少个交点呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶梯数学能力检测1 （训练时间：70分钟，满分：120分） （教练 姓名 电话 得分 ） 1.计算题，能简便计算的要简便计算。（每小题5分，共20分） （1）285+74+115+226 （2）69×101 【答案】700 【答案】6969 【解析】解：原式=285+115+74+226 【解析】解：原式=69×（100+1） =400+300 =69×100+69 =700 =6969 （3）65×4×25 （4）320×25×125 【答案】6500 【答案】1000000 【解析】解：原式=65×100 【解析】解：原式=4×25×8×125×10 =6500 =1000000 2.填空题。（每小题6分，共60分） （1）10个一千是（ ），一百万包含有（ ）个万。 【答案】10000；100 【解析】解：10×1000=10000；1000000÷10000=100。 （2） 从右边个位数起，第五位是（ ）位，计数单位是（ ）。 【答案】万；万 【解析】解：从右边起：个位，十位，百位，千位，万位，第五位为万位，计数单位为万。 （3）78010060是由（ ）个千万、8个（ ）、（ ）个十万和（ ）个十组成的。 【答案】7；百万；0；6 【解析】解：千万为是7，有7个千万，百万位是8，有8个百万，十万位是0,0个十万，十位是6，有6个十。 （4） 两位数乘三位数，积可能是（ ）位数，也可能是( )位数。 【答案】四；五 【解析】解：最小：10×100=1000四位数，最大：99×999=98901五位数。 （5） 已知等差数列5，9，13，17，…，它的第15项为（ ）。 【答案】61 【解析】解：第十五项：5+（15-1）×4=61 （6） 已知等差数列2，7，12，…，52，这个等差数列共有（ ）项。 【答案】11 【解析】解：项数：（末项-首项）÷公差+1，（52-2）÷5+1=11 （7） 从25往后数10个连续的单数，最后一个单数是( )。 【答案】43 【解析】解：此按照等差数列规律，首项25，公差2，求第十项：25+（10-1）×2=43 （8） 某小组有4名同学，他们的身高分别是142厘米，139厘米，148厘米，143厘米。平均每人身高( )厘米。 【答案】143 【解析】解：身高和÷总人数，（142+139+148+143）÷4=143 （9） 小明，小华，小丽三人平均体重是43千克，小丽和小华体重相等，小华重40千克。小明的体重( )千克。 【答案】49 【解析】解：小丽和小华一样重为40千克，小明：43×3-（40+40）=49 （10） 在一次考试中，小雨参加了语文，数学，英语三门课的考试，其中语文，数学两门课的平均成绩是93分，要使平均分为95分，英语要考（ ）分。 【答案】99 【解析】解：总分要为：95×3=285 ，英语：285-93×2=99 3.解答题。（每小题10分，共40分） （1）小玲从一月一日开始写大字。第一天写了2个，以后每天比前一天多写3个大字，小玲一月总共写多少个大字？ 【答案】1457 【解析】解：2+5+8+11+…+92=1457（个） 答：总共写1457个大字。 （2）有10个同学聚会，见面时如果每人都和其余的每个人握一次手，那么共握手多少次？ 【答案】45 【解析】解：不重复计算， 第一位和其他人握9次， 第二位和其他人握8次， 第三位和其他人握7次， …… 第九位和其他人握1次， 第十位和其他人握0次， 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次） 答：共握手45次。 （3）一个两位数，在它的末尾写上0，得到一个三位数，这个三位数比原数多360，原数是多少？ 【答案】40 【解析】解：新的三位数是原来的10倍，比原数多9倍，9倍对应360。 360÷（10-1）=40 答：原数是40。 （4）四个人植树，甲、乙、丙三人平均每人植树13棵，乙、丙、丁三人平均每人植树14棵，已知丁植树15棵，请问甲植树多少棵？ 【答案】12 【解析】解：乙丙两人共：14×3-15=27（棵） 甲植树：13×3-27=12（棵） 答：甲植树12棵。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 图形计数(三) 思维启航 一、训练目标 知识传递：学习复杂图形的计数方法。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、推算能力。 思想方法：条理思想、比较思想、举例思想、类比思想。 二、知识与方法归纳 几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等，通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步学会通过观察、思考探寻事物规律的能力。数图形的方法一般有两种：①按顺序数；②分类数。 1.数线段：有n条基本线段，线段总条数=1+2+3+4+5+……+n 2.数角：有n个基本角，角的总个数=1+2+3+4+5+……+n 3.数三角形：三角形的个数就是底边上的线段数（基本类型时） 4.数长方形：长边有m条基本线段，宽边有n条基本线段， 长方形总个数=（1+2+3+……+m）×（1+2+3+……+n） 5.数正方形：正方形各边被分成n等份，正方形的总个数=1×1+2×2+3×3+……+n×n 思维进阶 例1.小朋友们，回顾下我们以前学过的数线段，数角，数三角形，你还记得它们的计数方法和算法吗？让我们一起来复习下吧！ 图1 图2 图3 例2.小朋友们，让我们再来回顾下图这样的长方形和正方形的数法吧！图1 图2 思维训练1.（1）你们知道图中有多少个平行四边形吗？ 图1 （2）你们知道图中有多少个三角形吗？ 图2 例3.请数一数图中有多少个三角形？ 图1 图2 例4.请问图中有多少个三角形？ 思维训练2.请问图中有多少个三角形？ 例5.请数一数图中有多少个长方形？ 图1 图2 例6.（1）请问图中有多少个正方形？ （2）请问图中有多少个三角形？ 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题。（每小题20分，共40分） （1）口算。（共20分） 200×30＝ 42×4＝ 63×7＝ 130×3＝ 60×50＝ 36×20＝ 150÷3＝ 260×2＝ 75×26＝ 35×20＝ （2）能简算的要简算。（每小题5分，共20分） 490-154-46 885-（195+185） 13×12+13×8 12×125×5×8 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）两个数相除，余数是6，商是6，除数是57，被除数应是（ ）。 （2）如图1所示，一共有（ ）个三角形。 图1 （3）请数一数图2中有（ ）个带★的长方形。 图3 图2 （4）如图3所示，一共有（ ）个三角形 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）下图中共有几个三角形？ （2）商店从工厂批发了80台复读机，每台进价150元。现以每台170元的价格卖出70台之后开始降价销售，售价为148元一台，结果全部卖出。你认为商店是赢利还是亏损？ 思维体操 辛赛的奥妙 　1982年，有一种称为“辛赛的奥妙”(Shinsei Mystery)的数学玩具上市，它是由两个相同的部分组成的，每一部分又是由8个互相连接的多面体构成。它可以组合成许多奇妙的形状，其中包括立方体和12个顶点的星状体。 　　这个模型的基础是半个立方体(如图1)，可以把它看成是3个角锥体(6个这样的角锥体构成立方体)，向内折使其顶点会合于立方体的中心。这个半立方体的展开图见图2。展开图中有一个三角形的面出现两次，可以粘合在一起，以增加强度。 “辛赛的奥妙”每一半都有8个这样的半立方体，彼此以巧妙的方式连接在一起。它可以叠成如图3所示有12个顶点的星状体。为了说明连接的方法，我们可以把星状体水平分成两半，再把相同的两半并排在一起，用比较平面的方式表现。 垂直粘贴 粘贴底部 图3上方是俯视的示意图，A、B、C对应于立方体展开图(图2)的标示。将8个半立方体的底面DEF按图所示置于平面上，并用胶带纸粘贴。现在你也拥有一个奇妙的模型了，任何把玩它的人都会觉得趣味盎然。用不同颜色的纸板再做一个相同的模型，你会发现它们可以组合在一起，而且可以使其中一个消失在另一个之中。 喜欢做手工的同学，欢迎你动动手，来试一试哦！自己做的数学玩具一定很酷炫哦！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶梯数学能力检测3 （训练时间：满分：120分） 教练 姓名 电话 得分 1.计算题，能简便计算的要简便计算。（每小题5分，共20分） （1）8000÷125 （2）125×[(273+962)÷5-215] （3）1999+999×999 （4）64×25＋35×25＋25 2.填空题。（每小题6分，共60分） （1）3台织布机1小时织布750米，照这样计算，1台织布机6小时可以织布（ ）米。 （2） 张奶奶养了16只母鸡，两个月共产蛋832个。平均每只母鸡每个月产（ ）个蛋。 （3）1筐苹果等于2筐梨,2筐梨等于4筐樱桃,2筐苹果等于（ ）筐樱桃。 （4） 爷爷比小霞大52岁，爷爷的年龄比小霞的7倍少2岁。爷爷（ ）岁。 （5）一捆电线，第一次用去全长的8米，第二次用去余下的一半，最后还剩7米，这捆电线原有（ ）米。 （6）一个四位数，百位和十位上的数字相同，都是个位数字的3倍，而个位数字是千位数字的3倍，这个四位数是（ ）。 （7）数学测试中，一组学生的最高分为98分，最低分是86分，其余5名学生的平均分为92分，这一组的总分是（ ）。 （8）有红、白、蓝、黄、黑5个盒子，其中红盒比白盒大；蓝盒比黄盒大比黑盒小；黄盒比白盒大；黑盒比红盒小，那么（ ）盒子最大，（ ）盒子最小。 （9）小丁在计算加法时，把加数个位上的0错写成8，十位上的1错写成7，所得的和是123，正确的和应该是（ ）。 （10）一群蚂蚁搬家，原存一堆食物，第一次运出一半少120克，第二次运出剩下的一半多100克，第三次运出480克，这时窝里还有280克，问窝内原有( )克食物。 3.解答题。（每小题10分，共40分） （1）群众影院的观众席有75排座位，每排45个。放映一场电影最多可收入多少元？（票价：8元/张） （2）有20个朋友聚会，见面时如果每个人都和其他人握手1次，这20个人，一共握手多少次？ （3）求下面图形的面积（单位：厘米） （4）甲、乙、丙共有24张画片，甲把自己的一半平分给乙、丙，然后乙把自己的一半平分给了丙、 甲，最后丙也把自己的一半平分给了甲、乙．这时甲、乙、丙三人的画片数完全相同，问他们三人原有画片各多少张？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 年龄问题综合 思维启航 一、训练目标 知识传递：运用图形分析、解答年龄问题，知道年龄问题中，两人的年龄差总是不变。 能力强化：画图理解题意能力、分析能力、综合能力、推算能力。 思想方法：图形思想、比较思想、对应思想、分析思想。 二、知识方法与归纳 年龄问题是小学数学中常见的一类问题。例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们的年龄之间的某数量关系。年龄问题的重要特点是：两个不同年龄的人，年龄差始终不变，年龄的倍数关系却年年不同。所以解答此类问题，我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”、“和倍”等知识来分析解答有关年龄的问题。 解决年龄问题的方法：合理利用“和差倍”问题的方法，画图法仍是解决年龄问题的重要方法。 解答年龄问题时，跟着题意走，用线段图表示出直观的数量关系；其中画图技巧为先画倍数关系；抓住“年龄差不变”进行思考分析，理解年龄问题的基本思路；要认真理解“过去”“现在”“将来”的年龄状况之间的关系。 年龄和的变化规律：随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量。年龄和=人数×年数 年龄差的变化规律：年龄差不变 。 年龄倍的变化规律： 年龄倍数随着时间逐渐减小，且在特定的年份出现。 思维进阶 例1.（和差年龄）4年前爸爸比妈妈大6岁，今年爸爸、妈妈的年龄和是74岁。今年爸爸比妈妈大几岁？爸爸、妈妈两人各是多少岁？ 【答案】今年爸爸比妈妈大6岁，爸爸今年40岁，妈妈34岁 差不变：今年大6岁。 妈妈：（74-6）÷2=34（岁） 爸爸：34+6=40（岁） 答：今年爸爸比妈妈大6岁，爸爸今年40岁，妈妈34岁。 （差倍年龄）例2.丹丹今年7岁，妈妈今年35岁。几年后，妈妈的年龄正好是丹丹的3倍？ 【答案】7年后，妈妈的年龄正好是丹丹的3倍 丹丹：（35-7）÷（3-1）=14（岁） 几年：14-7=7（年） 答：7年后，妈妈的年龄正好是丹丹的3倍。 （年龄和有变化的和差年龄）思维训练1小平一家三口，爸爸比小平大28岁，妈妈比小平大25岁，2年前他们一家人年龄之和是62岁。问今年三人各是多少岁？ 【答案】今年小平5岁，爸爸33岁，妈妈30岁 今年年龄和：62+2×3=68（岁） 小平：(68-28-25)÷3=5（岁） 爸爸：5+28=33（岁） 妈妈：5+25=30（岁） 答：今年小平5岁，爸爸33岁，妈妈30岁。 （年龄和变化的和倍年龄）例3.今年父子年龄之和是60岁，8年前父亲的年龄是儿子的3倍。求两人8年前各是多少岁？ 【答案】两人8年前各是11岁，33岁 8年前年龄和：60-2×8=44（岁） 8年前儿子：44÷（3+1）=11（岁） 8年前父亲：11×3=33（岁） 答：两人8年前各是11岁，33岁。 例5.4年前,老师的年龄是元元的3倍,4年后老师和元元的年龄和是56岁,老师今年多少岁? 【答案】老师今年34岁 4年前年龄和：56-（4+4）×2=40（岁） 4年前元元：40÷（3+1）=10（岁） 4年前老师：10×3=30（岁） 今年老师：30+4=34（岁） 答：老师今年34岁。 思维训练2今年父亲50岁，儿子14岁，问几年前父亲年龄是儿子的10倍？ 【答案】10年前父亲年龄是儿子的2倍 年龄差：50-14=36（岁） 儿子：36÷（10-1）=4（岁） 几年：14-4=10（年） 答：10年前父亲年龄是儿子的2倍。 例5.小象对象妈妈说：“妈妈，我长到你现在这么大时，你就35岁了。”象妈妈又说：“我像你这么大时，你只有2岁。”你能通过对话知道他们现在的年龄吗？ 【答案】小象13岁，象妈妈24岁。 年龄差：（35-2）÷3=11（岁） 小象：2+11=13（岁） 象妈妈：35-11=24（岁） 答：小象13岁，象妈妈24岁。 例6.父母子一家三人今年全家年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁。父比母大4岁。求今年每人的年龄。 【答案】父亲35岁，母亲31岁，儿子4岁 10年前三人的年龄和应是70－10×3＝40岁，而题中是46岁，说明10年前儿子还没出生。10年前父母年龄和就是46岁。 解：儿子的年龄 70－（46＋10×2）＝4（岁） 父亲的年龄 （46＋4）÷2＋10＝35（岁） 母亲的年龄 35－4＝31（岁） 答：父亲35岁，母亲31岁，儿子4岁。 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题（每题20分，共40分） （1）口算（每小题2分，共20分） 270＋430=700 60÷2=30 70÷14=5 270＋38=308 120－34=86 26×3=78 2 7×30=810 710－230=480 18×3= 54 600÷4=150 （2）能简便的简便计算。（每小题5分，共20分） （1）600÷（400-395）×9 （2）[(18+6) ×45]÷（245-215） =600÷5×9 =[24×45]÷30 =120×9 =1080÷30 =1080 =36 （3）19×25×64×125 （4） 5÷(7÷11) ÷(11÷15) ÷(15÷21) =19×25×4×2×8×125 =5÷7×11÷11×15÷15×21 =（25×4）×（125×8）×（19×2） =5÷7×21 =100×1000×38 =21÷7×5 =3800000 =3×5 =15 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）今年哥哥和弟弟两人的年龄和是36岁。3年后，哥哥比弟弟大4岁。问哥哥今年（20 ）岁，弟弟今年（ 16）岁。 （2）儿子今年3岁，爸爸今年33岁，（ 2）年后，爸爸的年龄正好是儿子的7倍。 （3）姐姐对妹妹说：“当我是你今年的岁数时，你才6岁”，妹妹对姐姐说：“当我的岁数是你今年的岁数时，你将21岁”。姐姐今年（ 16）岁。 （4）5005与5005的和，除以最小三位数与最大一位数的差，商是（ 110 ）。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）小强、小军、小明，三人的年龄和是47岁。其中小强26岁，小军的年龄是小明的2倍。则小军是多少岁？ 【答案】小军14岁 小军小明年龄和：47-26=21（岁） 小明：21÷（2+1）=7（岁） 小军：7×2=14（岁） 答：小军14岁。 （2） 修路队计划修一条1100千米的公路，已经修了30天，还剩80千米没修，平均每天修多少千米？ 【答案】平均每天修34千米 1100-80=1020（千米） 1020÷30=34（千米） 答：平均每天修34千米。 思维体操 小赵、小王、小李和小陈四人，其中每三个人的岁数之和分别为65、68、62、75其中年龄最小的是多少岁?  解答：设四人年龄从大到小依次为A、B、C、D。     A+B+C+=75，B+C+D=62，A+B+D=68，A+C+D=65将四个“年龄和”相加可得3(A+B+C+D)=65+68+62+75=270。则A+B+C+D=90，故D的年龄为90-75=15岁，  家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 年龄问题综合 思维启航 一、训练目标 知识传递：运用图形分析、解答年龄问题，知道年龄问题中，两人的年龄差总是不变。 能力强化：画图理解题意能力、分析能力、综合能力、推算能力。 思想方法：图形思想、比较思想、对应思想、分析思想。 二、知识方法与归纳 年龄问题是小学数学中常见的一类问题。例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们的年龄之间的某数量关系。年龄问题的重要特点是：两个不同年龄的人，年龄差始终不变，年龄的倍数关系却年年不同。所以解答此类问题，我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”、“和倍”等知识来分析解答有关年龄的问题。 解决年龄问题的方法： 合理利用“和差倍”问题的方法，画图法仍是解决年龄问题的重要方法。 解答年龄问题时，跟着题意走，用线段图表示出直观的数量关系；其中画图技巧为先画倍数关系；抓住“年龄差不变”进行思考分析，理解年龄问题的基本思路；要认真理解“过去”“现在”“将来”的年龄状况之间的关系。 年龄和的变化规律： 年龄差的变化规律： 年龄倍的变化规律： 思维进阶 例1.4年前爸爸比妈妈大6岁，今年爸爸、妈妈的年龄和是74岁。今年爸爸比妈妈大几岁？爸爸、妈妈两人各是多少岁？ 例2.丹丹今年7岁，妈妈今年35岁。几年后，妈妈的年龄正好是丹丹的3倍？ 思维训练1.小平一家三口，爸爸比小平大28岁，妈妈比小平大25岁，2年前他们一家人年龄之和是62岁。那么今年三人各是多少岁？ 例3.今年父子年龄之和是60岁，8年前父亲的年龄是儿子的3倍。那么两人8年前各是多少岁？ 例5.4年前,老师的年龄是元元的3倍,4年后老师和元元的年龄和是56岁,老师今年多少岁? 思维训练2.今年父亲50岁，儿子14岁，那么几年前父亲年龄是儿子的10倍？ 例5.小象对象妈妈说：“妈妈，我长到你现在这么大时，你就35岁了。”象妈妈又说：“我像你这么大时，你只有2岁。”你能通过对话知道他们现在的年龄吗？ 例6.父母子一家三人今年全家年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁。父比母大4岁。那么今年每人的年龄。 思维深化 （训练时间： 满分：100分，训练得分： ） 1.计算题（每题20分，共40分） （1）口算（每小题2分，共20分） 270＋430= 60÷2= 70÷14= 270＋38= 120－34= 26×3= 27×30= 710－230= 18×3= 600÷4= （2）能简便的简便计算。（每小题5分，共20分） 600÷（400-395）×9 [(18+6) ×45]÷（245-215） 19×25×64×125 5÷(7÷11) ÷(11÷15) ÷(15÷21) 2.填空题。（每小题10分，共40分） （1）今年哥哥和弟弟两人的年龄和是36岁。3年后，哥哥比弟弟大4岁。哥哥今年（ ）岁，弟弟今年（ ）岁。 （2） 儿子今年3岁，爸爸今年33岁，（ ）年后，爸爸的年龄正好是儿子的7倍。 （3） 姐姐对妹妹说：“当我是你今年的岁数时，你才6岁”，妹妹对姐姐说：“当我的岁数是你今年的岁数时，你将21岁”。姐姐今年（ ）岁。 （4）5005与5005的和，除以最小三位数与最大一位数的差，商是（ ）。 3.解答题。（每小题10分，共20分） （1）小强、小军、小明，三人的年龄和是47岁。其中小强26岁，小军的年龄是小明的2倍。则小军是多少岁？ （2）修路队计划修一条1100千米的公路，已经修了30天，还剩80千米没修，平均每天修多少千米？ 思维体操 小赵、小王、小李和小陈四人，其中每三个人的岁数之和分别为65、68、62、75其中年龄最小的是多少岁? 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 □优 □良 □中 □差 课堂发言 □优 □良 □中 □差 课堂练习 □优 □良 □中 □差 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶梯数学能力检测2 （训练时间：70分钟，满分：120分） 教练 姓名 电话 得分 1.计算题。（每小题5分，共20分） （1）91000÷125 （2）2003×2005－2002×2006 【答案】728 3 【解析】 （1）91000÷125 （2）2003×2005－2002×2006 =91×1000÷125 设2002为A,2005为B则： =91×8 原式=（A+1)×B-A×（B+1） =728 =AB+B-AB-A=B-A = 2005-2002 =3 （3）230×[1080÷(144－108)] （4）3450÷[(190＋270)÷10] 【答案】6900 75 【解析】 （3）230×[1080÷(144－108)] （4）3450÷[(190＋270)÷10] =230×[1080÷36] =3450÷46 =230×30 =75 =6900 2.填空题。（每小题6分，共60分） （1）一个数乘13，得数比原来多108，原来的数是（ ）。 【答案】9 【解析】这是差倍问题，即108÷（13-1）=9 （2）a÷□=8⋯⋯17，除数最小是（ ）。 【答案】18 【解析】略 （3）芳芳6分钟走了288米，她每分钟走（ ）米。她从家到学校大约需要20分钟，请问芳芳家到学校一共有（ ）米。 【答案】48、960 【解析】288÷6=48米；48×20=960米 （4）把东面设为正方向，小华向东走50米为（ ）米，他再向西走30米为（ ）米。 【答案】+50；-30 【解析】略 （5）请数一数图（1）中一共有（ ）个三角形。 （2） （1） 【答案】 【解析】 【答案】14 【解析】按组成三角形的图形个数进行分类统计：6+4+1+2+1=14个 （6）请数一数图（2）中一共有（ ）个正方形。 【答案】30 【解析】4×4+3×3+2×2+1×1=30个 （7）如图（3）所示，三个正方形的边长为8厘米，阴影部分的面积一共为24平方厘米，请问三个正方形覆盖的面积为（ ）。 （3） 【答案】144平方厘米 【解析】用三个正方形的总面积减去两个阴影部分的面积：8×8×3-24×2=144 （8）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。那么马辉的妹妹是（ ）。 【答案】小英 【解析】因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹．由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹。将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表。 则刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。 则马辉的妹妹是小英。 故答案为：小英。 （9）有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，做好事最多的是（ ），做好事最少的是（ ）。 【答案】冬冬、静静； 【解析】直接比较 （10）正方体的各面有1到6个数字，有三种不同放置的方式，请问图（1)、(2)、(3)底面的数字分别为（ ）、（ ）、（ ）。 (1) (2) (3) 【答案】2、5、1 【解析】图（1)、(2)、(3)底面的数字即是4、6、3分别所对的数字。利用排除法可知：4对2，6对5，3对1. 3.解答题。（每小题10分，共40分） （1）两个修路队共同修一条路，3天修完。甲队修了126米，乙队修了105米。甲队比乙队平均每天多修多少米？ 【答案】7 【解析】（126-105）÷3=7（米） 答：甲队比乙队平均每天多修7米。 （2）一块长方形草坪的面积是100平方米，扩建后，长扩大到原来的2倍，宽扩大到原来的3倍，扩建后草坪的面积是多少？ 【答案】600 【解析】100×2×3=600（平方米） 答：扩建后草坪的面积是600平方米 （3）如图，在两个相同的等腰之间三角形中各作一个正方形，如果三角形A的面积是27平方厘米，那么三角形B的面积是多少平方厘米？ A B 【答案】22 【解析】如图分割，大三角形的面积为：27×4=108平方厘米；则三角形B的面积为：108÷9=22平方厘米。 答：三角形B的面积是22平方厘米。 （4） 同一平面内的两条直线最多有一个交点，3条直线最多有3个交点，10条直线最多有多少个交点呢？ 【答案】45 【解析】画图找规律，依次类推。每新增一条线必须要与前面所画的每一条线相交才符合。那么： 1条直线最多有：0个交点 2条直线最多有：0+1个交点 3条直线最多有：0+1+2个交点 4条直线最多有：0+1+2+3=6个交点 则10条直线有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个） 答： 10条直线最多有45个交点. 学科网（北京）股份有限公司 $$第1讲 数字与数位 思维启航 一、训练目标 知识传递:掌握数字、数位、位数的相关知识,并能用之分析、解决一些数论基本问题。 能力强化:分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。 思想方法:列举思想、和倍思想、算式谜思想。 二、知识与方法归纳 数字是一种用来表示数的书写符号。数字分好几种,阿拉伯数字是最普遍的一种。阿拉伯数字并不是阿拉伯人发明的而是印度人发明的,实际应该列为印度语言,只是先传播到阿拉伯,然后传向世界的,所以称之为“阿拉伯数字”。 在日常语言中,许多人都将“数字”等同“数”。但是,“数字”是指0~9这10个阿拉伯数字,而“数”则是指多位数和所有的“数字”。 数位是指一个数的每个数字所占的位置。自然数的计数方法是十进制计数法,相邻的两个计数单位之间的进率都是十。十进制数位顺序表从右端算起,第一位是“个位”,第二位是“十位”,第三位是“百位”,第四位是“千位”,第五位是“万位”,等等。同一个数字,由于所在的数位不同,它所表示的数值也就不同。例如,在用阿拉伯数字表示数时,同一个“6”,放在十位上表示6个十,放在百位上表示6个百,放在亿位上表示6个亿等等。 位数是指一个自然数中含有数位的个数。比如,458这个数由三个数字组成,每个数字占了一个数位,我们就把它叫做三位数。 今天我们就来研究数字与数位的奥秘。 思维进阶 例1.一个四位数,百位和十位上的数字相同,且都是个位数字的3倍,千位上的数字是个位上数字的9倍,这个四位数是多少? 例2.一个两位数,个位和十位上的数字之和为9,个位数字是十位数字的2倍,这个两位数是多少? 思维训练1.一个三位数,各个数位上的数字之和为8,它十位上的数字是个位数字的2倍,百位上的数字比十位上数字多3,这个数是多少? 例3.一个两位数,在它末尾写一个0,得到一个新的数,新数与原数差90,原数是多少? 例4.一个一位数,在它前面写一个2,得到一个新的两位数,新数是原数的6倍,原数是多少? 思维训练2.一个三位数,去掉百位数字2,得到一个新的两位数,原数是新数的9倍,原数是多少? 例5.有2个两位数,已知两数和为79,其中一个数的个位数字为6,另一个数的十位数字为2,这两个数分别是多少? 例6.一个两位数,把十位数字和个位数字对换后,得到一个新的两位数,新两位数比原来的数大72,原来的两位数是多少? 思维深化 (训练时间: 满分:100分,训练得分: ) 1.计算题。(每小题20分,共40分) (1)口算。 63 7= 130 3= 60 50= 36 20= 230 20-46= 260 2= 75 24= 150 3= 80 5= 490 70+58= (2)脱式计算,能简算的要简算。 2014+92-14 823-92+177 12 67+67 38 287 101-287 2.填空题。(每小题10分,共40分) (1)一个三位数,十位数字比百位数字大5,个位数字比百位数字大7,这个三位数在100~200之间,这个三位数是( )。 (2) 一个两位数,它的个位数字是十位数字的3倍,且这两个数位上的数字之和是12,这个两位数是( )。 (3) 一个两位数,在它的末尾写上0,得到一个三位数,这个三位数比原数多360,原数是( )。 (4) 按规律填数8、15、10、13、12、11、( )。 3.解答题。(每小题10分,共20分) (1)一个三位数,个位上数字是十位上数字的3倍,十位上数字是百位上数字的一半,各数字之和为18,这个三位数是多少? (2)学校买来52套桌椅,每套桌椅包含一张桌子和一把椅子,每张桌子45元,每把椅子18元,一共用去多少元? 思维体操 数字的种类 一、表示数目的文字。 汉字的数字有小写大写两种,“一二三四五六七八九十百千万亿”等是小写,“壹贰叁肆伍陆柒捌玖拾佰仟万亿”等是大写。 二、表示数目的符号。 苏州码子:〡、〢、〣、〤、〥、〦、〧、〨、〩、十 阿拉伯数字:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、表示数目的字母。 罗马数字: …… 英文数字:A B C D E F (在十六进制中用到) 家校互动 学生课堂表现 家长留言签字栏 老师回复签字栏 课堂纪律 优 良 中 差 课堂发言 优 良 中 差 课堂练习 优 良 中 差 学科网(北京)股份有限公司 $$