第5讲 提前学集合-2024年初升高数学衔接讲义

第5讲 提前学集合 前面我们学习了数集与区间的概念，数集中的元素是数，其实，所有确定的对象都可以构成一个集合．如新华中学高一所有的新生、函数上所有的点、不等式的解、某一时刻天安门广场上所有的人等都能组成集合．用集合观点来分析研究问题是一个重要的数学方法．本节课将从文字语言、数学符号语言、图形语言的形式，来学习集合的概念、关系、运算及有关性质，并要求从这三种语言转化的角度来理解和掌握． 【知识方法】 1．集合概念 我们在研究一个问题时，经常会涉及一些确定的对象，统称之为元素，而把所有元素看成一个整体，就是一个集合．集合中的元素是确定的，没有顺序而且是互不相同的，所以，集合中的元素具有确定性、互异性与无序性等特点． 与数集相同，集合与元素的关系有属于（）与（）不属于两种．集合的表示方法主要有列举法与描述法两种． 2．集合关系与性质 观察数集，，，数集是，的子集，是的真子集，与相等. 一般地，对集合，可以定义以下关系： 概念 文字语言 符号语言 图形语言 子集 若集合中的元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集 若，则，那么．读作：含于 真子集 若集合是集合的子集，且集合中含有不属于集合的元素，则集合是集合的真子集 若，且存在元素但，那么读作：真含于 相等 若集合与中的元素相同，则称集合与相等 若，且，那么读作：等于 在集合的图形表示中，我们用封闭曲线（内部区域）直观的表示集合及其关系的图形，称之为韦恩图（如上表）． 集合的关系有以下性质： （1）任何集合都是它本身的子集，即； （2）空集是任何集合的子集，即．其中空集是指不含任何元素的集合．如； （3）子集关系具有传递性，即，，则． 提醒：在求一个集合的子集时，要特别注意不要遗漏空集与集合本身． 3．集合运算与性质 若一个集合包含所研究问题中的所有元素，那么称之为全集，常用表示．如在实数范围内解不等式时，把实数集作为全集；小学学习数的运算时，则把正整数集看成全集．为了研究某个中学高一年级学生，把该学校所有高一年级学生看成全集． 对于集合，，我们可以定义集合的运算．由集合与中的所有元素组成的集合称为集合与的并集，记作；由集合与中的公共元素组成的集合称为集合与的交集，记作． 如果把集合看成全集，把全集中不属于的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作，则． 一般地，对于集合，，有以下三种运算： 概念 文字语言 符号语言 图形语言 并集 由所有属于集中或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集 记作，读作并， 交集 由属于集中且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集 记为，读作交， 补集 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于集合的补集 记为，读作的补集， 对于集合的运算，有以下性质： （1），； （2），； （3）； （4），． 同样，利用条件与结论三种语言形式之间的转化，是解决集合问题的重要方法． 【典例讲解】 例1．用适当的方法表示下列集合： （1）一次函数与的图象交点组成的集合； （2）二次函数的函数值组成的集合； （3）反比例函数的自变量的值组成的集合； （4）所有奇数组成的集合． 解析：（1）． （2）． （3）． （4）． 点评：以上代表元素分别是点、函数值、自变量、正数，在解题时，要注意分辨清楚，同时要注意区别（2）与（3）中的两个集合，函数值的范围和自变量的范围，有本质的不同． 例2．已知全集，，，． （1）求，，，，； （2）若，求实数的值． 解析：（1）由定义得，，，，所以，，，． （2）因为，所以，且，得或，解得或或或． 点评：解集合关系或运算问题，通常利用数形结合的方法，如（1）中的运算可以画出如图4-1所示的韦恩图，再从图中得出各个运算结果，若集合中的实数使连续的，则常借助数轴来解决，如不等式解集问题，还要注意集合元素互异性验证，如题（2）中，． 例3．设集合，． （1）用列举法表示集合； （2）若，判断集合与集合的关系，并写出集合的所有可能情况； （3）若集合与满足（2）中条件时，讨论方程根的情况，并求所有实数组成的集合． 解析：（1）由已知，集合是方程的根组成的集合，所以，； （2）由得，集合是的子集，即，所以，集合可取，，，． （3）当时，方程无实根，所以，，得． 当或时，方程有且仅与一个实根 所以，得，方程为，所以，，． 当时，有两个根，，由韦达定理可得． 综上得，所有的值组成的集合为． 点评：题（2）中，写集合的子集时，要注意不要遗漏与它本身．在解决有关集合关系与运算时，空集的讨论与验证是一个重要的易错点．题（3）中，集合是一元二次方程的解集，如时，方程有且仅有一根，而只说明0是方程的根．在方程或不等式解集问题中，空集的讨论，其实是方程或不等式有解与无解的讨论． 例4．已知全集，，，．求： （1），； （2）若集合，求实数的取值范围． 解析：（1）由已知，，所以，．（见图4-2）． 所以，，． （2）集合是不等式的解集，若，则不等式无解，即； 若，则不等式解集为，因为，则且，得．综上得，的取值范围是． 【实战演练】 1． 选择题： （1）方程组的解集不可以表示为（ ） A． B． C． D． (2)已知集合，，则与关系式（ ） A． B． C． D．以上都不对 （3）如图4-4所示的阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2． 填空题： （1）设，集合，则 ； （2）设全集，，，则 ． 3． 已知集合，，且，求． 4． 已知集合，，，求实数的值． ※5． 设． （1）若，求的值； （2）若中只有一个元素，求的值； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围． 实战演练参考答案 1． (1)C (2)B (3)A 2． (1)由题知，，即，所以，解得，所以(2){6} 3． 4． 5． 解：(1)，得；(2)，得；(3)或A中只有一个元素，由(1)(2)得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 提前学集合 前面我们学习了数集与区间的概念，数集中的元素是数，其实，所有确定的对象都可以构成一个集合．如新华中学高一所有的新生、函数上所有的点、不等式的解、某一时刻天安门广场上所有的人等都能组成集合．用集合观点来分析研究问题是一个重要的数学方法．本节课将从文字语言、数学符号语言、图形语言的形式，来学习集合的概念、关系、运算及有关性质，并要求从这三种语言转化的角度来理解和掌握． 【知识方法】 1．集合概念 我们在研究一个问题时，经常会涉及一些确定的对象，统称之为元素，而把所有元素看成一个整体，就是一个集合．集合中的元素是确定的，没有顺序而且是互不相同的，所以，集合中的元素具有确定性、互异性与无序性等特点． 与数集相同，集合与元素的关系有属于（）与（）不属于两种．集合的表示方法主要有列举法与描述法两种． 2．集合关系与性质 观察数集，，，数集是，的子集，是的真子集，与相等. 一般地，对集合，可以定义以下关系： 概念 文字语言 符号语言 图形语言 子集 若集合中的元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集 若，则，那么．读作：含于 真子集 若集合是集合的子集，且集合中含有不属于集合的元素，则集合是集合的真子集 若，且存在元素但，那么读作：真含于 相等 若集合与中的元素相同，则称集合与相等 若，且，那么读作：等于 在集合的图形表示中，我们用封闭曲线（内部区域）直观的表示集合及其关系的图形，称之为韦恩图（如上表）． 集合的关系有以下性质： （1）任何集合都是它本身的子集，即； （2）空集是任何集合的子集，即．其中空集是指不含任何元素的集合．如； （3）子集关系具有传递性，即，，则． 提醒：在求一个集合的子集时，要特别注意不要遗漏空集与集合本身． 3．集合运算与性质 若一个集合包含所研究问题中的所有元素，那么称之为全集，常用表示．如在实数范围内解不等式时，把实数集作为全集；小学学习数的运算时，则把正整数集看成全集．为了研究某个中学高一年级学生，把该学校所有高一年级学生看成全集． 对于集合，，我们可以定义集合的运算．由集合与中的所有元素组成的集合称为集合与的并集，记作；由集合与中的公共元素组成的集合称为集合与的交集，记作． 如果把集合看成全集，把全集中不属于的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作，则． 一般地，对于集合，，有以下三种运算： 概念 文字语言 符号语言 图形语言 并集 由所有属于集中或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集 记作，读作并， 交集 由属于集中且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集 记为，读作交， 补集 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于集合的补集 记为，读作的补集， 对于集合的运算，有以下性质： （1），； （2），； （3）； （4），． 同样，利用条件与结论三种语言形式之间的转化，是解决集合问题的重要方法． 【典例讲解】 例1．用适当的方法表示下列集合： （1）一次函数与的图象交点组成的集合； （2）二次函数的函数值组成的集合； （3）反比例函数的自变量的值组成的集合； （4）所有奇数组成的集合． 解析：（1）． （2）． （3）． （4）． 点评：以上代表元素分别是点、函数值、自变量、正数，在解题时，要注意分辨清楚，同时要注意区别（2）与（3）中的两个集合，函数值的范围和自变量的范围，有本质的不同． 例2．已知全集，，，． （1）求，，，，； （2）若，求实数的值． 解析：（1）由定义得，，，，所以，，，． （2）因为，所以，且，得或，解得或或或． 点评：解集合关系或运算问题，通常利用数形结合的方法，如（1）中的运算可以画出如图4-1所示的韦恩图，再从图中得出各个运算结果，若集合中的实数使连续的，则常借助数轴来解决，如不等式解集问题，还要注意集合元素互异性验证，如题（2）中，． 例3．设集合，． （1）用列举法表示集合； （2）若，判断集合与集合的关系，并写出集合的所有可能情况； （3）若集合与满足（2）中条件时，讨论方程根的情况，并求所有实数组成的集合． 解析：（1）由已知，集合是方程的根组成的集合，所以，； （2）由得，集合是的子集，即，所以，集合可取，，，． （3）当时，方程无实根，所以，，得． 当或时，方程有且仅与一个实根 所以，得，方程为，所以，，． 当时，有两个根，，由韦达定理可得． 综上得，所有的值组成的集合为． 点评：题（2）中，写集合的子集时，要注意不要遗漏与它本身．在解决有关集合关系与运算时，空集的讨论与验证是一个重要的易错点．题（3）中，集合是一元二次方程的解集，如时，方程有且仅有一根，而只说明0是方程的根．在方程或不等式解集问题中，空集的讨论，其实是方程或不等式有解与无解的讨论． 例4．已知全集，，，．求： （1），； （2）若集合，求实数的取值范围． 解析：（1）由已知，，所以，．（见图4-2）． 所以，，． （2）集合是不等式的解集，若，则不等式无解，即； 若，则不等式解集为，因为，则且，得．综上得，的取值范围是． 【实战演练】 1． 选择题： （1）方程组的解集不可以表示为（ ） A． B． C． D． (2)已知集合，，则与关系式（ ） A． B． C． D．以上都不对 （3）如图4-4所示的阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 2． 填空题： （1）设，集合，则 ； （2）设全集，，，则 ． 3． 已知集合，，且，求． 4． 已知集合，，，求实数的值． ※5． 设． （1）若，求的值； （2）若中只有一个元素，求的值； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围． 实战演练参考答案 1． (1)C (2)B (3)A 2． (1)由题知，，即，所以，解得，所以(2){6} 3． 4． 5． 解：(1)，得；(2)，得；(3)或A中只有一个元素，由(1)(2)得，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 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