第4讲 数集与区间-2024年初升高数学衔接讲义

第4讲 数集与区间 问题1：方程的解是和3，我们把这两个数看成一个整体，称为这个方程的解集，记为； 问题2：不等式的解是，把所有小于的数看成一个整体，得到不等式的解集，记为． 【知识方法】 一、数集的概念与数集的表示方法 观察以上两个问题，一般地，在一个数学问题中涉及的所有数看成一个整体，就组成一个数集．如数集中的，3两个数，数集由表示所有小于的数组成的数集，有无限多个．同样，所有正整数可以组成的一个数集，我们称它为正整数集，所有有理数组成的数集是有理数集，所有实数组成的数集是实数集．这些数集中的数，可以称为这些集合的元素．一个数集中的元素是确定的，而且是互不相同的． 为了便于表述，常用的数集通常用规定的大写字母表示： 实数集、整数集、自然数集、有理数集、正整数集（或），正实数集表示． 一般的数集可用大写字母表示，元素一般用小写字母表示．元素与数集是属于（符号）与不属于（符号）的关系．如，． 观察引例，数集的表示方法主要有两种形式：列举法、描述法． 把所有数列一一列举出来，并用大括号“{}”括起来，称为列举法．如大于0且小于10的所有整数组成的数集，用列举法表示就是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}． 用元素的共同性质来表示数集的方法，称为描述法．一般形式是{代表元素|元素条件}．如小于10且大于0的所有整数组成的集合用描述法表示为．又如与，数集A表示方程的解集，所以，；数集B表示函数的函数值的取值范围，，所以，数集． 对于连续的数集，我们还可以用区间的形式表示，具体规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 注：其中符号表示无穷大，表示正无穷大，表示负无穷大． 二、数集的关系与运算 观察以下两组数集： （1） （2） 数集中的元素完全相同，而且数集中的元素都是数集的元素．我们来考虑两个数集中元素的关系，它们的关系分为数集M包含N、数集M不包含N两种． 以上数集中的元素都是数集，C中的元素．一般地，如果数集中的元素都是数集中的元素，则称数集是数集的子集．记作，读作包含于． 如果集合中的元素不全在数集中，则称数集不含于，记为， 以上数集中，，等． 从子集定义及例子看，如果两个数集和，，则数集中的元素可能与数集中的元素完全相同，也有可能数集中还有不在数集中的元素． 如果两个数集，中的元素完全相同，则称这两个数集相等，记作=，读作等于；如果集合是集合的子集，且数集中至少有一个元素不在数集中，则称数集是数集的真子集．记作，读作真含于． 如以上两组数集中，AC，BC． 【典例讲解】 例1．用符号、填空： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 例2．请用区间或描述法表示的数集填空： （1）；（2）； （3）；（4）． 例3．判断以下各组数集的关系： （1）与； （2）与． 例4．已知，当时，求实数的取值范围． 【实战演练】 1．用符号，，=填空： （1） （2）的解集为B，则_______B，______B，______B． 2．（1）实数是集合P中的元素，则P中最多含______个元素． （2）设不等式的解集为A=________=________（分别用描述法与区间表示）； （3）坐标轴上的点的集合可以表示为_______________． 3．设集合，，且，则的值为_________． 4．若，则的取值范围为_________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 数集与区间 问题1：方程的解是和3，我们把这两个数看成一个整体，称为这个方程的解集，记为； 问题2：不等式的解是，把所有小于的数看成一个整体，得到不等式的解集，记为． 【知识方法】 一、数集的概念与数集的表示方法 观察以上两个问题，一般地，在一个数学问题中涉及的所有数看成一个整体，就组成一个数集．如数集中的，3两个数，数集由表示所有小于的数组成的数集，有无限多个．同样，所有正整数可以组成的一个数集，我们称它为正整数集，所有有理数组成的数集是有理数集，所有实数组成的数集是实数集．这些数集中的数，可以称为这些集合的元素．一个数集中的元素是确定的，而且是互不相同的． 为了便于表述，常用的数集通常用规定的大写字母表示： 实数集、整数集、自然数集、有理数集、正整数集（或），正实数集表示． 一般的数集可用大写字母表示，元素一般用小写字母表示．元素与数集是属于（符号）与不属于（符号）的关系．如，． 观察引例，数集的表示方法主要有两种形式：列举法、描述法． 把所有数列一一列举出来，并用大括号“{}”括起来，称为列举法．如大于0且小于10的所有整数组成的数集，用列举法表示就是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}． 用元素的共同性质来表示数集的方法，称为描述法．一般形式是{代表元素|元素条件}．如小于10且大于0的所有整数组成的集合用描述法表示为．又如与，数集A表示方程的解集，所以，；数集B表示函数的函数值的取值范围，，所以，数集． 对于连续的数集，我们还可以用区间的形式表示，具体规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 注：其中符号表示无穷大，表示正无穷大，表示负无穷大． 二、数集的关系与运算 观察以下两组数集： （1） （2） 数集中的元素完全相同，而且数集中的元素都是数集的元素．我们来考虑两个数集中元素的关系，它们的关系分为数集M包含N、数集M不包含N两种． 以上数集中的元素都是数集，C中的元素．一般地，如果数集中的元素都是数集中的元素，则称数集是数集的子集．记作，读作包含于． 如果集合中的元素不全在数集中，则称数集不含于，记为， 以上数集中，，等． 从子集定义及例子看，如果两个数集和，，则数集中的元素可能与数集中的元素完全相同，也有可能数集中还有不在数集中的元素． 如果两个数集，中的元素完全相同，则称这两个数集相等，记作=，读作等于；如果集合是集合的子集，且数集中至少有一个元素不在数集中，则称数集是数集的真子集．记作，读作真含于． 如以上两组数集中，AC，BC． 【典例讲解】 例1．用符号、填空： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 解析：本题考查常用数集的字母表示，及元素与集合的关系．答案如下： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)． 例2．请用区间或描述法表示的数集填空： （1）；（2）； （3）；（4）． 解析：本题考查数集的表示方法，描述法与区间表示．答案如下： (1)；(2)；(3)；(4)． 例3．判断以下各组数集的关系： （1）与； （2）与． 解析（1）数集表示的是所有平方数大于1的实数，所以，． 同理，，所以，，即是所有大于等于的数组成的集合，所以． （2）数集与中的元素都是整数，数集中的数是能写成一个整数的两倍余1的数，即数集是所有奇数组成的集合，数集是所有被4除余1的数，所以中的元素也是奇数，但不含被4除余3的奇数，所以，B． 点评：识别用描述法表示的数集时，既要看代表元素是什么，也要看元素满足什么条件． 有时也可以省去． 例4．已知，当时，求实数的取值范围． 解析：由已知，数集，又， 用数轴表示两个数集，可得，所以． 点评：对于连续的数集，我们可用区间表示，也可用数轴来表示，这也是解决这类问题时的常用方法． 前面，我们知道了数集的定义、数集的表示及两个数集的关系，在后续的学习中，我们还可以通过两个或多个数集中元素的取舍来定义新的数集，即数集的运算． 【实战演练】 1．用符号，，=填空： （1） （2）的解集为B，则_______B，______B，______B． 2．（1）实数是集合P中的元素，则P中最多含______个元素． （2）设不等式的解集为A=________=________（分别用描述法与区间表示）； （3）坐标轴上的点的集合可以表示为_______________． 3．设集合，，且，则的值为_________． 4．若，则的取值范围为_________． 实战演练参考答案 1． (1)，，，，；(2)，，； 2．(1)2个．提示：利用元素互异性)； (2)；(3) 4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$