第3讲 代数模型与代数式化简-2024年初升高数学衔接讲义

第3讲 代数模型与代数式化简 每个代数问题中，都会涉及代数式的运算，但不同问题中的代数式运算的目的不同，明确各种目标下的代数运算方向，掌握代数运算的目标模型，是代数式运算的关键． 在高中数学中，涉及函数性质（如单调性）的判断与证明、求函数最值或值域、代数式比较大小、代数式化简求值等情况时，代数式化简都有特定的运算目标，主要有以下几种： 符号判断模型，用作差法比较大小、高中数学函数中的函数单调性证明、不等式中的解不等式与作差法证明不等式等问题中，都是常用的一种运算目标模型． 性质探究模型，在高中数学必修1的函数性质探究（如求函数值域等）中经常用到． 化简求值模型，在代数式化简求值、数列求和中少不了它． 【知识方法】 代数式运算的目标，即代数需要通过运算得到的模型结构，如化成因式的积、商形式用于判断符号；消去一些项，化成最简形式，利于求值等．归结起来，主要有以下几种： （1）符号判断模型：模型特征——若干因式的积、商形式；模型应用——作差法比较大小、解方程、解不等式等．如，可得当或时，代数式的符号为正，可得，不等式的解是或；方程的解是与． （2）性质探究模型：含未知数部分化成常见函数模型，在利用常见函数的性质探究新函数的性质，如，通过分离常数，可以得知函数与函数的关系，进而求得函数的性质；又如． （3）化简求值模型：通过代数式运算，对其中部分式子利用公式求和，或消去其中部分式子，从而达到化简或求值的目标，如拆项相消运算：． 常见代数式化简模型，及代数式化简方法，在高中代数中有着重要的应用，分析数学问题本质，利用好代数式化简模型，对代数式进行有效地化简，往往是解题的关键，以上只是其中的一部分，在平时学习中我们也要注重对各种重要代数式模型与化简方法的总结归纳． 【典例讲解】 例1．已知，比较与大小． 例2．（1）若，求常数的值； （2）试证：（为正整数）． （3）证明：（，且为整数）． 例3．求以下函数值的取值范围： （1）（，，，为非零实数，且）； （2）． 【实战演练】 1．选择题： （1）若，则（ ） A．1 B． C． D． （2）已知，则，大小关系为（ ） A． B． C． D．不确定 2．填空题： （1）________． （2）设，则________． 3．已知：x∶y∶z＝1∶2∶3. 求的值． ※4．利用分离常数，分析函数可由函数如何变换得到，并求函数值的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 代数模型与代数式化简 每个代数问题中，都会涉及代数式的运算，但不同问题中的代数式运算的目的不同，明确各种目标下的代数运算方向，掌握代数运算的目标模型，是代数式运算的关键． 在高中数学中，涉及函数性质（如单调性）的判断与证明、求函数最值或值域、代数式比较大小、代数式化简求值等情况时，代数式化简都有特定的运算目标，主要有以下几种： 符号判断模型，用作差法比较大小、高中数学函数中的函数单调性证明、不等式中的解不等式与作差法证明不等式等问题中，都是常用的一种运算目标模型． 性质探究模型，在高中数学必修1的函数性质探究（如求函数值域等）中经常用到． 化简求值模型，在代数式化简求值、数列求和中少不了它． 【知识方法】 代数式运算的目标，即代数需要通过运算得到的模型结构，如化成因式的积、商形式用于判断符号；消去一些项，化成最简形式，利于求值等．归结起来，主要有以下几种： （1）符号判断模型：模型特征——若干因式的积、商形式；模型应用——作差法比较大小、解方程、解不等式等．如，可得当或时，代数式的符号为正，可得，不等式的解是或；方程的解是与． （2）性质探究模型：含未知数部分化成常见函数模型，在利用常见函数的性质探究新函数的性质，如，通过分离常数，可以得知函数与函数的关系，进而求得函数的性质；又如． （3）化简求值模型：通过代数式运算，对其中部分式子利用公式求和，或消去其中部分式子，从而达到化简或求值的目标，如拆项相消运算：． 常见代数式化简模型，及代数式化简方法，在高中代数中有着重要的应用，分析数学问题本质，利用好代数式化简模型，对代数式进行有效地化简，往往是解题的关键，以上只是其中的一部分，在平时学习中我们也要注重对各种重要代数式模型与化简方法的总结归纳． 【典例讲解】 例1．已知，比较与大小． 解析： ． 又， 所以 得， 所以． 点评：本题为代数式简题，利用了符号判断模型．根据结论（或）（或），可用作差法比较两个代数式的大小，即把比较与的大小，转化成判断差的符号．要判断差的符号，必须把它转化成积、商或平方和的形式，再通过各因式的符号来确定整个式子的符号． 例2．（1）若，求常数的值； （2）试证：（为正整数）． （3）证明：（，且为整数）． 解析：（1）法一：因为， 所以，解得． 法二：． 所以． （2）证明：因为， 所以，（为正整数）成立． （3）证明：因为 ．又，且为正整数，所以，， 所以． 点评：通过拆项把相邻两项的部分进行相消，或某部分可用公式求和，或可用已知条件中的已知值等，这是代数式化简求值中常用的技巧，也是代数式求值化简模型的应用． 例3．求以下函数值的取值范围： （1）（，，，为非零实数，且）； （2）． 解析：（1）， 因为，所以，所以， 所以，函数值取值范围是满足的所有实数． （2）， 因为．所以． 所以函数值的取值范围是：． 点评：通过常数分离，把不熟悉的函数转化成二次函数、反比例函数等熟悉的函数，从而较容易地求出函数的性质，这是高中函数研究中常用的方法，是性质探求模型的应用． 【实战演练】 1．选择题： （1）若，则（ ） A．1 B． C． D． （2）已知，则，大小关系为（ ） A． B． C． D．不确定 2．填空题： （1）________． （2）设，则________． 3．已知：x∶y∶z＝1∶2∶3. 求的值． ※4．利用分离常数，分析函数可由函数如何变换得到，并求函数值的取值范围． 实战演练参考答案 1．⑴ B ⑵ 2．⑴⑵ 3．解　设x＝k，y＝2k，z＝3k，原式＝＝. 4． 解：，因而由函数的图象，关于轴对称得到函数图象，再向左平移1个单位长度得到函数图象，再向上平移2个单位长度得到函数图象，函数的函数值取值范围是的所有实数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$