安徽省安庆市、铜陵市、池州市2023-2024学年高一下学期7月联合期末检测数学试题

高一数学参考答案 第1 页(共5页) 2023—2024学年第二学期三市联合期末检测 高一数学参考答案 1.【答案】 D 【解析】 根据题意,集合A 满足-x+2>0⇔x<2,集合B 满足y=ex-1+1>1, 所以A∩B=x1<x<2 . 2.【答案】 C 【解析】 根据题意,z=2i2023-i2022=1-2i. 3.【答案】 B 【解析】 根据题意,利用分层抽样方法可知,20人样本也应该按照5∶2∶3来分配, 所以抽取的职工中属于青年的职工人数为6人. 4.【答案】 C 【解析】 根据线面平行的判定定理可得,选项A正确; 根据线面垂直的性质,可得两条直线平行,选项B正确; 由于不清楚直线a是否在平面α上,选项C错误; 由于a⊂α,a∥β,所以存在b'⊂α,使得b'∥b,又因为b⊂β,所以b'∥β, a,b为两条异面直线,因此a∩b'=A,所以α∥β,选项D正确. 5.【答案】 C 【解析】 根据题意,AB =π4= T 4⇔T=π ,所以2π ω=π⇔ω=2 , 因为f(x)=2cos(2x+φ)过点 2π 3 ,0 , 所以f 2π 3 =2cos4π3+φ =0⇔4π3+φ=32π+2kπ⇔φ=π6+2kπ, 又因为 φ <π,所以φ= π 6 ,所以f(x)=2cos2x+ π 6 ⇔f π3 =2cos2π3+π6 =-3. 6.【答案】 D 【解析】 根据题意,利用正弦定理 csinC= b sinB= 33 3 2 =6⇔sinC=c6 , 该方程在C∈0,2π3 有两个解,所以c6∈ 32,1 ⇔c∈33,6 . 7.【答案】 C 【解析】 若事件A 与B 互斥,则P(A+B)=0.3+0.6=0.9,选项A错误; 若P(A+B)=0.8<0.9,则 A,B 一定有公共部分,选项B错误; 若事件A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立, 则P(AB)=P(A)·P(B)=0.7×0.4=0.28,选项C正确; 若P(AB)=0.12=P A P(B),所以事件A 与B 相互独立,则不互斥,选项D错误. 8.【答案】 A 【解析】 根据题意,设点O 到平面ABC 的距离为h, 利用等体积法,VO-ABC= 1 3×3× 1 2×3×3= 1 3×h× 1 2× 3 2×32×32⇔h=3 , 高一数学参考答案 第2 页(共5页) 取点D 为等边三角形ABC 的中心,则OD=3, 分析可得点P 的轨迹为圆,该圆的半径为r2=OP2-OD2=6-3=3, 所以点P 的轨迹为以D 为圆心,以3为半径的圆,此圆在三角形ABC 内部只有部分轨迹, 分析可得,此圆在三角形ABC 内部的轨迹占整个圆的14 , 所以点P 的轨迹长度为14×2π×3= 3π 2 . 9.【答案】 BC 【解析】 若z为虚数,a2+2a-3≠0⇔a≠1且a≠-3,选项A错误; 若复平面内表示复数z的点位于第二象限,则 a-1<0 a2+2a-3>0 ⇒a<-3,选项B正确; 若z>-2,所以z为实数,a2+2a-3=0⇔a=1或a=-3, 当a=1时,z=0,满足题意,当a=-3时,z=-4,不满足题意,选项C正确; 若a≠1且a≠-3,则z是虚数,则z2≠ z 2,选项D错误. 10.【答案】 AC 【解析】 1=a+2b≥2 2ab⇔ab≤18 ,选项A正确; a2+4b2 2 ≥ a+2b 2 2 ⇔a2+4b2≥12 ,选项B错误; 8 a+ 1 b a+2b =8+2+16ba +ab≥18,选项C正确; 因为a+2b=1⇔2b=1-a,又因为a,b为正数0<a<1, 所以a2+4b=a2+2-2a=a-1 2+1>1,选项D错误. 11.【答案】 BCD 【解析】 分析可知,A1,B1,D,M 不共面,选项A错误; 几何体M-A1B1BA 可以放到一个2×2×1的长方体内, 所以几何体M-A1B1BA 的外接球与2×2×1长方体的外接球相同, 该外接球的直径为 22+22+12=3, 所以该外接球的半径为3 2 , 该外接球的体积为V=43×π× 3 2 3 =92π ,选项B正确; 根据题意,取点N,Q 分别为A1D1,A1A 的中点,分析可得平面MNQ∥平面ACD1, 所以点P 的轨迹为NQ,NQ =2,选项C正确; 在正方体的左边作一个相同的正方体, 利用对称性可得,MP + PC1 的最小值为 42+22+12= 21,选项D正确. 高一数学参考答案 第3 页(共5页) 12.【答案】 43 【解析】 根据题意可得,设扇形的半径为r,所以12×4×r 2=6⇔r=3, 所以该扇形的弧长l=43. 13.【答案】 35 【解析】 根据题意,向量b-a在a上的投影向量为b-a a a · a a = 3 5a. 14.【答案】 79288 【解析】 根据题意,若甲队得2分,乙队得1分,若甲队得3分,乙队得1分或2分, 所以满足本题的概率为1 2× 1 2× 1 2×3× 2 3× 2 3× 3 4+ 1 3× 1 3× 3 4+ 1 3× 2 3× 1 4 +12×12× 1 2×1- 2 3× 1 3× 1 4- 1 3× 2 3× 3 4 =79288. 15.【答案】 见解析 【解析】 (1)f(x)=m·n=1+2cosx·sinx+ π 6 =2cosx·sinx+π6 +1=2cosx 32sinx+12cosx +1 =3sinxcosx+cos2x+1= 32sin2x+ 1+cos2x 2 +1 = 32sin2x+ 1 2cos2x+ 3 2=sin2x+ π 6 +32; (6分)……………………… (2)f(A)= 5 2⇔sin2A+ π 6 +32=52⇔sin2A+π6 =1, 2A+π6= π 2+2kπ (k∈N),所以A=π6+kπ (k∈N), 因A 在第三象限,所以A=π6+ (2n+1)π(n∈N), A+π6= π 3+ (2n+1)π(n∈N), (9分)…………………………………………………………… 所以cosA+π6 =-cosπ3=-12. (13分)……………………………………………………… 16.【答案】 见解析 【解析】 (1)因为点M 为BC 的中点,点O 是AB 的中点, 所以OM∥AC, OM⊂平面SOM,AC⊄平面SOM, 所以AC∥平面SOM; (5分)……………………………………………………………………… (2)因为该圆锥的轴截面是△SAB, S△SAB=43⇔ 1 2×SA×SB×sin∠ASB=43⇔∠ASB= π 3 或2π 3 (7分)……………………… 当∠ASB=π3 时,可得SO=23,OB=2, 高一数学参考答案 第4 页(共5页) 所以该圆锥的表面积为π×22+12×4×2π×2=12π , (10分)…………………………………… 当∠ASB=2π3 时,可得SO=2,OB=23, 所以该圆锥的表面积为π×23 2+12×4×2π×23=(12+83)π. (15分)……………… 17.【答案】 见解析 【解析】 (1)根据题意,设此估计分数线为t, 则(100-90)×0.01+(90-t)×0.03=0.25⇔t=85, (3分)………………………………………………………………………………………………… 所以此次考试成绩优胜的估计分数线为85; (4分)……………………………………………… (2)①根据分层抽样可得,抽出这6人,第二组2人,分别为a1,a2,第四组4人,分别为b1,b2, b3,b4, 所以从中抽取2人,一共a1a2,a1b1,a1b2,……,15种,满足条件的为a1b1,a1b2,…,8种, 所以概率为8 15 ; (8分)……………………………………………………………………………… ②设第二组、第四组抽取学生的成绩的平均数与方差分别为x1,x2;s21,s22, 且两组频率之比为0.15 0.30= 1 2 , (10分)……………………………………………………………… 则第二组和第四组所有抽取的学生成绩的平均数x=1×65+2×833 =77 , (12分)…………… 第二组和第四组所有抽取的学生成绩的方差 s2=13s 2 1+x1-x 2 + 2 3s 2 2+x2-x 2 =13 40+ (65-77)2 + 2 3 70+ (83-77)2 =132. (15分)…………………………………… 18.【答案】 见解析 (1)设△ABD 的边长为2a,连接AO 与OC, 所以AO=3a, (1分)……………………………………………………………………………… 又因为BC⊥CD,所以OC=12BD=a , (2分)…………………………………………………… 又因为AC=BD=2a,所以AO2+CO2=AC2, (4分)…………………………………………… 所以AO⊥OC; (5分)……………………………………………………………………………… (2)因为BC=CD,所以CO⊥BD,所以BD⊥平面AOC, 连接OE,根据题意,∠BEO 为BE 与平面AOC 所成角, OE=a,OB=a,所以∠BEO=π4 , 所以cos∠BEO= 22 ; (9分)……………………………………………………………………… (3)由于BC⊥CD 在底面补成矩形BCDM,连接AM,BM, 分析可得BM=CD, 则∠ABM 为异面直线AB 与CD 所成角或其补角, (12分)…………………………………… cos∠ABM=AB 2+BM2-AM2 2×AB×BM , 高一数学参考答案 第5 页(共5页) 点O 为BD 的中点,则点O 为CM 的中点,所以OM=OC, 又因为∠AOC=∠AOM=90°,AO=AO, 所以△AOC≌△AOM,所以AM=AC=2a, (14分)…………………………………………… 所以cos∠ABM=AB 2+BM2-AM2 2×AB×BM = 1 4⇔BM=CD=a , (16分)…………………………… 又因为BC⊥CD,可得BC=3a,BCCD=3. (17分)……………………………………………… 19.【答案】 见解析 【解析】 (1)连接AM,CN,点M,N 分别为边BC,AB 的中点, AM→=12AB →+AC→ =12AB →+12AC →, CN→=12CA →+CB→ =12 (-AC→+AB→-AC→)=12AB →-AC→ (2分)……………………………… AM→·CN→=0⇔ 12AB →+12AC → 12AB→-AC→ =0 ⇔14AB →2-14AB →·AC→-12AC →2=0, (4分)……………………………………………………… 可得c2-bccosA-2b2=0, (6分)………………………………………………………………… 利用余弦定理cosA=b 2+c2-a2 2bc , c2-bc×b 2+c2-a2 2bc -2b 2=0⇔a2+c2=5b2, 所以a 2+c2 b2 =5 ; (7分)……………………………………………………………………………… (2)因为△ABC 为锐角三角形, 所以a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2, (8分)………………………………………………… 所以3a2>2c2,3c2>2a2, 则2 3< c2 a2< 3 2 ,即 6 3< c a< 6 2. (10分)……………………………… 所以cosB=a 2+c2-b2 2ac = a2+c2-15a 2+c2 2ac = 2 5 c a+ a c , (12分)………………………… 设c a=t ,则 6 3<t< 6 2 ,cosB=25t+ 1 t . 令f(t)=t+ 1 t ,则f(t)在 6 3 ,1 上单调递减,在1,62 上单调递增. (14分)……………… 所以当t∈ 6 3 ,6 2 时,f(t)≥f(1)=2,f(t)<f 63 =f 62 =566 , 则4 5≤cosB< 6 3 , 故cosB 的取值范围为 4 5 ,6 3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 . (17分)……………………………………………………………