精品解析：四川省达州市达川区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

达川区2024年春季教学质量检（监）测 八年级数学试卷 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答隶写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列达州巴文化图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是中心对称图形，故选项A不符合题意； B、选项中的图案不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C. 选项中的图案是中心对称图形，故选项C符合题意； D. 选项中的图案不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，理解把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫因式分解是解题关键．根据因式分解的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．，是整式乘法，故该选项不符合题意； B．不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解，故该选项不符合题意； C．，故不是因式分解，故该选项不符合题意； D．是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 已知：，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质一一计算判断即可． 【详解】解：A．当，时，，则不成立，故该选项不符合题意； B．∵，∴，则成立，故该选项符合题意； C．无法判断，故该选项不符合题意； D．当，，则不成立，故该选项不符合题意． 故选：B． 4. 若关于的不等式的解集为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集求参数，解不等式可得出，由不等式的解集为即可得出． 【详解】解： ∴， ∵不等式的解集为 ∴， 故选：A． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 对角相等，邻角互补的四边形是平行四边形 B. 一组锐角相等，这组锐角的对边也相等的两个直角三角形全等 C. 等腰三角形两腰上的高相等 D. 平行四边形的对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查命题真假的判断，涉及平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定，选项A和D根据平行四边形的判定和性质即可知其正确与否，选项B和C利用证明三角形全等，即可知其正确． 【详解】解：． 对角相等，邻角互补四边形是平行四边形，该选项正确，不符合题意； ． 可利用证明三角形全等，该选项正确，不符合题意； ．可利用证明三角形全等，即可知等腰三角形两腰上的高相等，该选项正确，不符合题意； ． 平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，该选项错误，符合题意； 故选：D． 6. 如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则平行四边形的面积是（ ） A. 12 B. 24 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质求面积，涉及勾股定理等性质，先由平行四边形性质得到，在中，由勾股定理可得，从而由平行四边形的面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，对角线相交于点，， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 平行四边形的面积是， 故选：B． 7. 关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，以及分式方程有意义的条件，解分式方程得出，根据分式方程有意义的条件可得出，即，根据分式方程的解为负数可得出，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 则，且，即 又∵ ∴，且 ∴且． 故选：D． 8. 如图，在中，是的平分线，点在上，连接，点是的中点，连接，若，则（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线的判定以及性质，由等腰三角形三线合一的性质可得出点D是的中点，结合已知条件可判定出是的中位线，根据三角形中位线的性质可得出，根据线段的和差可得出，进一步即可得出的值． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 即点D是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵？若设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，根据题意，设买了棵三角梅树苗，由杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，建立等量关系列方程即可得到答案，读懂题意，准确找到等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为， 故选：A． 10. 如图，在平行四边中，是上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接，下列结论中：①，②四边形是平行四边形，③若，则，④，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质，根据题意得，，由三角形中位线定理可判定为的中位线，则有，，即可判定四边形为平行四边形，故②正确；结合，则，故①正确；根据假设得，利用三线合一即可得，故③正确；设点P到的距离为h，那么点P到的距离为，则，结合，故④正确． 【详解】解：∵四边形为平行四边， ∴，， ∵，， ∴为的中位线， ∴，， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∴， 则，故①正确； 若，则， ∵， ∴，故③正确； 设点P到的距离为h，那么点P到的距离为， ∵ ∴，故④正确； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则x的值等于_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零，掌握以上知识是解题的关键． 根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：1． 13. 如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形三边关系，先根据作图过程得出直线是的垂直平分线，即，根据三角形三边关系：，则点E在上时，此时，故的周长有最小值，且为，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点， ∴直线是的垂直平分线 ∴ 根据三角形三边关系： 当点E在上时，此时 则的周长有最小值，且为 故答案为：19 14. 某精品水果店准备将进价为40元/斤，标价为55元/斤的优质车厘子进行打折销售，为了保证利润率不低于10%，则该车厘子最多打__________折． 【答案】8##八 【解析】 【分析】此题重点考查学生对不等式的实际应用，熟练掌握利润率是解题的关键.根据利润率的计算公式先列出不等式，再解不等式即可. 【详解】解：设此商品打x折出售，则 解得 此商品最多打8折. 故答案为：8. 15. 如图，已知直线与直线交于点，将线段绕点顺时针旋转得到，若平面内存在一点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查直线的交点、旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质． 根据交点求得点，过点M作轴于点D，过点N作轴于点F， 则，由旋转得和，可证明，即可求得，设点，根据平行四边形的性质列出方程，求得点即可． 【详解】解：有题意得，解得， 则点， 过点M作轴于点D，过点N作轴于点F，如图， 则， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则点， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴，解得， 则点， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 16. （1）解分式方程：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）无解；（2），在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程以及解不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则解方程再进行验算； （2）根据不等式的运算法则计算不等式，再将解集联立． 【详解】解：（1）解：两边同时乘以，得：， 化简得：， 解得； 经检验，是方程的增根，分式方程无解； （2）解：解不等式①： 解得； 解不等式②： 化简得： 解得 解得 综上所述，． 17. 先化简，再求值：，x是不等式组：的整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的整数解确定出x的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∴不等式的整数解为：，，0． 当或时，分式无意义， ∴， ∴原式． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）画出将向右平移7个单位长度得到的； （2）计算平移得到时扫过的面积； （3）画出绕点逆时针旋转后得到的，则点坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）35 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平移，旋转， （1）将点A、B、C分别向右平移7个单位长度可得到、、，连接即可得； （2）根据平移可得，平移得到时扫过的面积：，进行计算即可得； （3）将点A、C分别绕点逆时针旋转后可得到、，连接可得到，即可得． 【小问1详解】 解：将点A、B、C分别向右平移7个单位长度可得到、、，连接即可得到，如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 平移得到时扫过的面积： ； 【小问3详解】 解：将点A、C分别绕点逆时针旋转后可得到、，连接即可得到，如图所示， 则点坐标为， 故答案为：． 19. 如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质得到，再由平行线性质得到，从而根据角平分线性质得到，则，利用等腰三角形的判定即可得证； （2）由（1）中结论，结合三角形全等的判定与性质得到，，数形结合，． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 平分交于点， ，则， ，即， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 20 列方程解应用题 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元． （1）求两次所购数量分别是多少？ （2）商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元 【答案】（1）第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件 （2）90260元 【解析】 【分析】（1）根据题意找出等量关系即第二批衬衫的单价－第一批衬衫的单价元，列出方程，可求得两批购进衬衫的数量； （2）设这笔生意盈利y元，可列方程为，可求出商厦的总盈利． 【小问1详解】 解：设第一批购进x件衬衫，则第二批购进了2x件， 依题意可得：， 解得：． 经检验是方程的解， 答：第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件． 【小问2详解】 设这笔生意盈利y元， 可列方程为：， 解得：． 答：在这两笔生意中，商厦共盈利90260元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中的等量关系．注意：求出的结果必须检验且还要看是否符合题意． 21. 如图1，在中，点是上任意一点，交于点；点分别是的中点，直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，当四边形平行四边形时，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解决此题的关键． （1）由三角形的中位线定理可得，再由即可证得四边形是平行四边形； （2）先证出，再证出，然后三角形的中位线定理即可得解． 【小问1详解】 证明：∵点M､N分别是､的中点， ∴，即 ∵，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． 22. 如图，平行四边形中，分别是上的点，且，连接交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明与全等即可求得． （2）由是等腰直角三角形，得出，因为，得出，所以与都是等腰直角三角形，从而求得的长，然后等腰直角三角形的性质即可求得． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ，是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，则由勾股定理得到， ， 在等腰 中，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了A、B两种型号的快件分拈机器人．已知：每台A型机器人比每台B型机器人每天多分拈100件快件，每台A型机器人分拈4800件快件的时间与每台B型机器人分拈3600件快件的时间相同． （1）求A、B两种型号的机器人每台每天可分拈多少件快件？ （2）某物流中心决定购进A、B两种型号的快件分拈机器人共20台，每台A型机器人费用为10万元，每台B型机器人费用为8万元，购买总费用不超过183万元，若每天需分拈的快件不少于6900件，问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）A型机器人每天分拈400件，B型机器人每天分拈300件 （2）共有3种购买方案，方案一：A型9台，B型11台；方案二：A型10台，B型10台；方案三：A型11台，B型9台；第一种方案所需购买总费用最少，最少费用是178万元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验． （1）设B型机器人每天分拈件，则A型机器人每天分拈件，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设购进A型a台，B型台，根据总费用和分拈的快件数列不等式，求出不等式符合条件整数解，并求得对应的费用即可． 【小问1详解】 解：设B型机器人每天分拈件，则A型机器人每天分拈件， 依题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即A型机器人每天分拈件． 答：A型机器人每天分拈400件，B型机器人每天分拈300件； 【小问2详解】 解：设购进A型a台，B型台， 由题意得，， 解得，， 则当A型，B型，此时所需购买总费用； 当A型，B型，此时所需购买总费用； 当A型，B型，此时所需购买总费用； 答：共有3种购买方案，方案一：A型9台，B型11台；方案二：A型10台，B型10台；方案三：A型11台，B型9台；第一种方案所需购买总费用最少，最少费用是178万元． 24. 阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： （1）已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； （2）当均为正数，即时，求函数的最小值； （3）如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）1，2 （2）3. （3） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式性质和运算的应用，掌握题目提供的结论是解题的关键． （1）对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．据此即可进行解答； （2）把函数变形为，根据题意进行解答即可； （3）设，则，得到，根据四边形面积，即可得到答案． 【小问1详解】 解；当时，， 当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为2. 故答案为：1，2 【小问2详解】 当时，函数， ∵ 当且仅当即，即时取等号， 当时，有最小值，最小值为3. 【小问3详解】 设， 由题意可知，， 则 则， ∴四边形面积， 当且仅当时，等号成立， ∴四边形面积的最小值为． 25. 在中， ，，，将绕着点A顺时针旋转，得到． （1）如图①，当点落在边上时，连接，求的长； （2）如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点； （3）如图③，将绕着点A顺时针旋转，（2）中的结论是否成立？若成立，请计算的值为多少？（直接写出答案）；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）成立，理由见解析， 【解析】 【分析】（1）过点E作的延长线于F，则，根据含的直角三角形性质得到，，根据旋转性质得到，，得到，得到，得到，，得到，在中，根据勾股定理得到； （2）过点E作交的延长线于F，则， 由旋转得到，，，得到，得到，得到，推出，得到，即得点P是的中点； （3）过点E作直线的延长线于点H，交延长线于点G，则，得到，，由旋转知，，得到，证明四边形是矩形，得到，，得到，得到，推出 ，得到，， P是的中点，根据，得到，得到，即得的值为：． 【小问1详解】 如图①，过点E作，交延长线于F，则， ∵中，，，， ∴，， ∵将绕着点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 如图②，过点E作交的延长线于F，则， 由旋转知：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 点P是的中点； 【小问3详解】 （2）中的结论仍然成立，理由： 如图③，过点E作直线，交延长线于点H，交延长线于点G，则， ∵， ∴， ∴， 当绕着点A顺时针旋转时，，， ∴，， ∵, ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴P是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 故的值为：． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形与旋转综合．添加辅助线构造全等三角形和直角三角形，熟练掌握含的直角三角形性质，旋转性质，等腰三角形判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 达川区2024年春季教学质量检（监）测 八年级数学试卷 （满分：150分；时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答隶写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列达州巴文化图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C D. 3. 已知：，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集为，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 对角相等，邻角互补的四边形是平行四边形 B. 一组锐角相等，这组锐角的对边也相等的两个直角三角形全等 C. 等腰三角形两腰上的高相等 D. 平行四边形的对角线互相垂直平分 6. 如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则平行四边形的面积是（ ） A 12 B. 24 C. 20 D. 40 7. 关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 且 8. 如图，在中，是的平分线，点在上，连接，点是的中点，连接，若，则（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 9. 生态优先，绿色发展，创建美丽校园活动中，八年级学生负责校园某绿化角的设计、种植与养护，年级计划购买杜鹃和三角梅两种树苗，购买杜鹃树苗花了450元，购买三角梅树苗花了700元，杜鹃的单价比三角梅的单价少25元，购买杜鹃树苗数量是购买三角梅树苗数量的2倍多5棵，试问杜鹃和三角梅两种树苗各购买了多少棵？若设买了棵三角梅树苗，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边中，是上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接，下列结论中：①，②四边形是平行四边形，③若，则，④，其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 因式分解：__________． 12. 若分式的值为零，则x的值等于_________． 13. 如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为__________． 14. 某精品水果店准备将进价为40元/斤，标价为55元/斤的优质车厘子进行打折销售，为了保证利润率不低于10%，则该车厘子最多打__________折． 15. 如图，已知直线与直线交于点，将线段绕点顺时针旋转得到，若平面内存在一点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 三、解答题（共90分） 16. （1）解分式方程：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值：，x是不等式组：整数解． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）画出将向右平移7个单位长度得到的； （2）计算平移得到时扫过的面积； （3）画出绕点逆时针旋转后得到的，则点坐标为 ． 19. 如图，在中，平分交于点，过点作，交的延长线于点，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20. 列方程解应用题 某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元． （1）求两次所购数量分别是多少？ （2）商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元 21. 如图1，在中，点是上任意一点，交于点；点分别是的中点，直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，连接，当四边形为平行四边形时，求证：． 22. 如图，平行四边形中，分别是上的点，且，连接交于点，延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了A、B两种型号的快件分拈机器人．已知：每台A型机器人比每台B型机器人每天多分拈100件快件，每台A型机器人分拈4800件快件的时间与每台B型机器人分拈3600件快件的时间相同． （1）求A、B两种型号的机器人每台每天可分拈多少件快件？ （2）某物流中心决定购进A、B两种型号快件分拈机器人共20台，每台A型机器人费用为10万元，每台B型机器人费用为8万元，购买总费用不超过183万元，若每天需分拈的快件不少于6900件，问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少？ 24. 阅读以下材料：如果两个正数，即，由完全平方式的非负数性质可得： （当即时，取等号）， （当且仅当时取等号） 结论：对任意两个正数，都有；上述不等式当且仅当时等号成立．当这两个正数的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数的和的最小值． 例如：当为正数时，两数和均为正数，且（常数），则有当且仅当即时取等号 当时，有最小值，最小值为4. 利用以上结论完成下列问题： （1）已知为正数，即，则当 时，取到最小值，最小值为 ； （2）当均为正数，即时，求函数的最小值； （3）如图，四边形的对角线相交于点的面积分别是4和9，求四边形面积的最小值． 25. 在中， ，，，将绕着点A顺时针旋转，得到． （1）如图①，当点落在边上时，连接，求的长； （2）如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点； （3）如图③，将绕着点A顺时针旋转，（2）中的结论是否成立？若成立，请计算的值为多少？（直接写出答案）；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$