单元检测(八)立体几何-2025届高三文科数学一轮全程考评

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854 单元检测(八)　立体几何 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设α，β是两个不同的平面，则α⊥β的充要条件是(　　) A．平面α内任意一条直线与平面β垂直 B．平面α，β都垂直于同一条直线 C．平面α，β都垂直于同一平面 D．平面α内存在一条直线与平面β垂直 2．经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体(如图)，现将此几何体水平放置，从如图所示的方向观察该几何体(正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线)，则其正视图、侧视图、俯视图的形状分别为(　　) A．梯形、长方形、圆 B．三角形、长方形、圆 C．梯形、梯形、圆 D．三角形、梯形、圆 3．设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n； ③若l∥α，且m∥α，则l∥m； ④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β. 则正确的命题个数为(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为(　　) A.2 B．3 C． D．2 5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法中正确的是(　　) A．AC与B1C是相交直线且垂直 B．AC与A1D是异面直线且垂直 C．BD1与BC是相交直线且垂直 D．AC与BD1是异面直线且垂直 6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则(　　) A.直线EF，AO是异面直线 B．直线EF，BB1是相交直线 C．直线EF与BC1所成的角为30° D．直线EF，BB1所成角的余弦值为 7．如图①，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC.如图②，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N.对于图②，下列选项错误的是(　　) A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC C．PD⊥AC D．PB＝2AN 8．在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为(　　) A.12π B．34π C．68π D．126π 9．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为(　　) 　　　　 A．4π B．3π C．π D．π 10．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成的角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，DA＝DC＝，现沿对角线AC折起，使得平面DAC⊥平面ABC，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的体积是(　　) A.π B．π C．π D．12π 12．在三棱锥P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2.若AC＝PB，则三棱锥P－ABC体积的最大值为(　　) A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．如图，正八面体的棱长为2，则该正八面体的体积为________． 14．如图，四棱台A1B1C1D1－ABCD的底面是正方形，DD1⊥底面ABCD，DD1＝AB＝2A1B1，则直线AD1与BC1所成角的余弦值为________． 15．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，在底面ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则三棱锥P－ABC的外接球的体积等于________． 16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：①AB，CD所成的角为60°；②△ADC为等边三角形；③AC⊥BD；④AB与平面BCD所成角60°.其中真命题是________．(请将你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD. (1)求证：平面PAC⊥平面PBD； (2)若E为棱BC的中点，在棱PA上求一点F，使BF∥平面PDE. 18．(本小题满分12分) 如图，四边形ABEF为正方形，AD∥BC，AD⊥DC，AD＝2DC＝2BC， (1)求证：点D不在平面CEF内： (2)若平面ABCD⊥平面ABEF，且AD＝2，求点D到平面CEF的距离． 19．(本小题满分12分) 如图，圆台O1O的上底面半径为1，下底面半径为2，∠OBB1＝，AA1，BB1为圆台的母线，平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，M为BB1的中点，P为AM上的任意一点. (1)证明：BB1⊥OP； (2)当点P为线段AM的中点时，求三棱锥B1－OPB的体积． 20．(本小题满分12分) 如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA＝. (1)证明：B1C⊥平面 ABC1； (2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，M为A1C1的中点，求四棱锥B1－ACC1M的体积． 21．(本小题满分12分) 图①是矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，M为CD的中点，将△AMD沿AM翻折，得到四棱锥D－ABCM，如图②. (1)若点N为BD的中点，求证：CN∥平面DAM； (2)若AD⊥BM，求点A到平面BCD的距离． 22．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． (2)若AB＝3，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积． 参考答案与解析 1．答案：D 解析：若α⊥β，则平面α内存在直线与平面β不垂直，选项A不正确；若平面α，β都垂直于同一条直线，则平面α与β平行，选项B不正确；若平面α，β都垂直于同一平面，则平面α，β可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面α内存在一条直线与平面β垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知α⊥β，若α⊥β，则由面面垂直的性质定理知，平面α内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面β，故选项D正确． 2. 答案：B 解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆． 3．答案：D 解析：①根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若m∥l，且m⊥α，则l⊥α正确；故①正确， ②若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n错误，当m∥n时，也满足前面条件；故②错误， ③若l∥α，且m∥α，则l∥m不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误， ④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β不一定成立，有可能平行．故④错误， 故正确的个数为1. 4．答案：B 解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥P－ABCD如图所示． 根据三视图可得，AB＝1，PD＝2，AD＝2. 根据立体图形可知，最长边为PB. 连接DB，在Rt△ADB中，根据勾股定理得 DB2＝AD2＋AB2＝22＋12＝5， 在Rt△PDB中，根据勾股定理得PB2＝PD2＋DB2＝4＋5＝9， 所以PB＝3. 故该几何体的最长棱的长度为3. 5．答案：D 解析： 连接AB1，则△AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60°，故A错误； 因为A1D∥B1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60°，故B错误； 连接CD1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，所以BD1与BC所成角为锐角，故C错误； 连接BD，B1D1，因为AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确． 6．答案：C 解析：易知四边形AEOF为平行四边形，所以直线EF，AO相交，直线EF，BB1是异面直线，直线EF，BB1所成角的余弦值为，选项C正确． 7．答案：A 解析：由AB∥PC，AB⊥BC，AD⊥PC， 得AD∥BC. ∵AD⊥PD，AD⊥DC，PD∩DC＝D，∴AD⊥平面PDC. 又AD∥BC，∴BC⊥平面PDC，∴B正确． ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊥AD，AB⊥AD，∴PD⊥平面ABCD，AB⊥平面PAD.∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，∴C正确． 由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，∴△PAB是直角三角形．又PB的中点为N，∴PB＝2AN，∴D正确． 8．答案：C 解析：由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD. 且PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，所以MP⊥平面PAD. 设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得＝2r， 即＝2r，所以r＝4. 设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，则（2R）2＝PM2＋（2r）2， 即（2R）2＝4＋64＝68，所以R2＝17， 所以外接球的表面积为4πR2＝68π. 9．答案：D 解析：根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角线长为的正方形，一条长为1的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R＝＝，R＝， 球体积为V＝πR3＝π. 10. 答案：C 解析：如图，将题中的直三棱柱补形成一个直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，连接AD1，易知BC1∥AD1，所以∠B1AD1是直线AB1与BC1所成的角或者其补角．连接B1D1，在△AB1D1中，AB1＝＝，AD1＝＝，B1D1＝＝，AD＋B1D＝5＝AB，AD1⊥B1D1，sin ∠B1AD1＝＝＝.因此，异面直线AB1与BC1所成的角的正弦值为，故选C. 11．答案：A 解析：如图，取AC的中点E，连接DE，BE， 因为AD＝CD，所以DE⊥AC， 因为平面DAC⊥平面ABC，平面DAC∩平面ABC＝AC，DE⊂平面DAC， 所以DE⊥平面ABC， 因为∠ABC＝90°，所以棱锥外接球的球心O在直线DE上， 因为AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，DA＝DC＝， 所以BE＝AE＝CE＝AC＝，DE＝＝2， 设OE＝x，则OD＝2－x，OB＝＝， 所以2－x＝，解得x＝， 所以外接球的半径为r＝2－x＝2－＝， 外接球的体积为V＝＝×（）3＝. 12．答案：D 解析：如图，取PB中点M，连接CM. ∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC. 设点A到平面PBC的距离h＝AC＝2x. ∵PC＝BC＝2，PB＝2x（0<x<2），M为PB的中点， ∴CM⊥PB，CM＝， ∴S△PBC＝×2x×＝x. ∴VA－PBC＝×（x）×2x＝. 设t＝（0<t<2），则x2＝4－t2. ∴VA－PBC＝＝（0<t<2）. 对y＝，0<t<2求导，得y′＝， ∴函数在上单调递增，在上单调递减． ∴当t＝时，（VA－PBC）max＝. 13．答案： 解析：正八面体可看成由上、下两个相同的正四棱锥组成的，由棱长为2，可得每个正四棱锥的斜高为＝，高为＝，则该正八面体的体积为×2＝. 14．答案： 解析：设AB的中点为E，连接ED1，则易知BE∥C1D1，BE＝C1D1，∴四边形EBC1D1是平行四边形，∴BC1∥ED1，∴∠AD1E为直线AD1与BC1所成的角．∵四边形ABCD是正方形，∴BA⊥AD，∵DD1⊥底面ABCD，∴BA⊥DD1，又AD∩DD1＝D，∴BA⊥平面AA1D1D，∴BA⊥AD1，△AED1是直角三角形．设DD1＝AB＝2A1B1＝2a，则AD1＝＝＝2a，ED1＝＝＝3a，∴cos ∠AD1E＝＝. 15．答案：π 解析：设G为△ABC外接圆圆心，O为三棱锥P－ABC外接球球心， 则OG⊥平面ABC，作OM⊥PA，垂足为M 由正弦定理可知△ABC外接圆直径： 2r＝2AG＝＝＝，∴AG＝ ∵PA⊥平面ABC，OG⊥平面ABC，∴AP∥OG 又OM⊥PA，AG⊥PA，∴OM∥AG ∴四边形OMAG为矩形，∴OG＝AM 设OG＝x，OP＝OA＝R 在Rt△OMP和Rt△OGA中，由勾股定理可得：，解得： ∴三棱锥P－ABC外接球体积：V＝πR3＝π. 16．答案：①②③ 解析：在①中：∵将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，得到四面体A－BCD， 设AB＝BC＝CD＝AD＝2， 取BD中点O，AC中点E，BC中点F，连结AO，CO，OF，OE，EF， 则OA＝OC＝，且OA⊥OC，∴OE＝AC＝1， 由三角形中位线定理得OF＝CD＝1，EF＝AB＝1，且OF∥CD，EF∥AB， ∴∠EFO是AB，CD所成的角， ∴OF＝EF＝OE＝1，∴△EFO是等边三角形，∴∠EFO＝60°， ∴AB，CD所成的角为60°，故①正确； 在②中：∵OA＝OC＝，且OA⊥OC，∴AC＝＝2， ∴AC＝CD＝AD＝2， ∴△ADC为等边三角形，故②正确； 在③中：∵AB＝BC＝CD＝AD，O是BD中点， ∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，∴BD⊥面AOC， ∵AC⊂面AOC，∴AC⊥BD，故③正确； 在④中：∵A－BD－C是直二面角，AO⊥BD， ∴AO⊥平面BDC，∴∠ABO是AB与平面BCD所成角， ∵AO＝BO，∴∠ABO＝45°， ∴AB与平面BCD所成角为45°，故④错误． 17．解析：（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD；又底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC，AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD，得证． （2）如图所示，取PA的中点Q，PD的中点H，连接BQ、QH、HE， 所以会有QH∥AD，QH＝AD，又BE∥AD，BE＝AD， 所以QH∥BE且QH＝BE， 所以四边形BQHE为平行四边形， 所以BQ∥EH，BQ⊄面PDE，EH⊂面PDE， 所以BQ∥平面PDE， 所以Q点，即为我们要找的F点． 18．解析： （1）证明：（反证法）假设点D在平面CEF内． 设C，D，E，F四点确定的平面为α.因为四边形ABEF为正方形，所以EF∥AB.因为平面ABCD与平面ABEF不重合，所以EF⊄平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.因为EF⊂平面α，平面α∩平面ABCD＝CD，所以EF∥CD；所以AB∥CD.AB，CD为直角梯形ABCD的两腰，不可能平行，故假设不成立．点D不在平面CEF内． （2）取AD中点H，连接HF，HC，由AD＝2BC，所以AH＝BC，且AH∥BC，所以AHCB为平行四边形，∴HC∥AB且HC＝AB， ∵AB∥EF，且AB＝EF，∴C，H，E，F共面， S△CHD＝×1×1＝，FA＝，FH＝，CH＝，CF＝＝， 所以cos ∠CHF＝＝－， ∴S△CHF＝FH·CH sin ∠CHF＝.由VD－CHF＝VF－CHD得×hS△CHF＝FA·S△CHD， ∴h＝. 故D到平面CEF的距离是. 19. 解析：（1）证明：取OB中点N，连接NB1，OB1，OM， 因为圆台O1O的下底面半径为2，上底面半径为1，ON＝NB＝1， 所以B1N⊥OB，又因为∠OBB1＝，所以△OB1B为正三角形， 于是B1B＝BO＝OB1＝2. 因为M为B1B中点，所以B1B⊥OM， 因为平面AA1O1O⊥平面BB1O1O，O1O⊥OA， 所以AO⊥平面BB1O1O，BB1⊂平面BB1O1O， 所以OA⊥BB1， 又因为OA∩OM＝O，所以BB1⊥平面OAM，又因为OP⊂平面OAM， 所以BB1⊥OP. （2）连接PB，当点P为线段AM的中点时，△OBB1的面积为×2×2×＝.VB1－OPB＝VP－OBB1＝VA－OBB1＝××S△OBB1×AO＝， ∴三棱锥B1－OPB的体积为. 20．解析：（1）证明：如图，取AB中点D，连接B1D，CD. ∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B1BA＝， ∴△ABC和△ABB1都是边长为2的等边三角形，且B1C⊥BC1， ∴B1D⊥AB，CD⊥AB. ∵B1D，CD⊂平面B1CD，B1D∩CD＝D， ∴AB⊥平面B1CD.∵B1C⊂平面B1CD，∴AB⊥B1C. ∵AB，BC1⊂平面ABC1，AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1. （2）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且两平面的交线为AB， 由（1）知B1D⊥AB，∴B1D⊥平面ABC. 方法一　VB1－ACC1M＝3VB1－AA1M＝3VA－A1B1M＝3×S△A1B1M·B1D＝A1M·B1M·B1D＝×1××＝. 方法二　VB1－ACC1M＝VABC－A1B1C1－VB1－ABC－VA－A1B1M＝VABC－A1B1C1－VB1－ABC＝VABC－A1B1C1－×VABC－A1B1C1＝VABC－A1B1C1＝S△ABC·B1D＝××22×＝. 21．解析：（1）证明：如图，取AD中点P，连接MP，NP. 由N，P分别为BD，AD的中点，得NP∥AB且NP＝AB. 又MC∥AB且MC＝AB，所以MC∥NP且MC＝NP，所以四边形MCNP为平行四边形． 所以CN∥MP且CN⊄平面DAM，MP⊂平面DAM，所以CN∥平面DAM. （2）如图，由AM＝，BM＝，AB＝2，可得AB2＝AM2＋BM2， 所以AM⊥BM. 又BM⊥AD，AD∩AM＝A，所以BM⊥平面ADM. 又BM⊂平面ABCM， 所以平面ADM⊥平面ABCM. 取AM的中点E，连接DE. 因为AD＝DM＝1，AD⊥DM，所以DE⊥AM，DE＝.又平面ADM∩平面ABCM＝AM，所以DE⊥平面ABCM. 所以VA－DBC＝VD－ABC＝S△ABC·DE＝. 取BC的中点F，连接EF，DF，则EF＝，EF⊥BC. 因为DE⊥平面ABCM，所以DE⊥EF，DE⊥BC， 所以DF＝，BC⊥平面DEF，可得BC⊥DF， 所以S△BCD＝BC·DF＝. 设点A到平面BCD的距离为d，则VA－DBC＝S△BCD·d＝×d＝，解得d＝，即点A到平面BCD的距离为. 22．解析： （1）方法一　平面AEF与平面PBC互相垂直．因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC. 因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC. 又PA∩AB＝A，且PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面 PAB. 因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC， 因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB， 又PB∩BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC， 因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC. 方法二　平面AEF与平面PBC互相垂直． 因为PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥底面ABCD， 又平面PAB∩底面ABCD＝AB，BC⊥AB，BC⊂底面ABCD， 所以BC⊥平面PAB. 因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB， 又PB∩BC＝B，且PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC. 因为AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC. （2）因为PA⊥底面ABCD，E为线段PB的中点， 所以点E到底面ABCD的距离为PA＝，且VP－ABCD＝×3×3×3＝9. 又F为线段BC的三等分点，故讨论F点的两种情况： 当BF＝BC＝1时，VE－ABF＝××＝， 所以多面体PAEFCD的体积为VP－ABCD－VE－ABF＝9－＝. 当BF＝BC＝2时，VE－ABF＝××＝， 所以多面体PAEFCD的体积为VP－ABCD－VE－ABF＝9－＝. 综上，多面体PAEFCD的体积为或. 联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸 学科网（北京）股份有限公司 $$