考点巩固卷06 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

考点巩固卷06 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点） 考点01：利用导数求函数的单调区间 求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 1．已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 4．函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 6．已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 7．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围． 8．设函数. (1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； (2)讨论的单调性； (3)若，求的取值范围. 9．已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)函数有唯一零点，函数在上的零点为．证明：． 10．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 考点02：求已知函数的极值与最值 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 11．函数，则下列结论错误的是（   ） A．在区间上不单调 B．有两个极值点 C．有两个零点 D．在上有最大值 12．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 13．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 14．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 . 15．已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是 . 16．已知函数的图象在点处的切线过点． (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值． 17．已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程 (2)当时，求函数的极值 (3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围. 18．已知函数（）. (1)求函数的极值； (2)若集合有且只有一个元素，求的值. 19．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值; (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 20．已知. (1)求的单调区间，并求其极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论函数的零点的个数. 考点03：已知函数在区间上递增（递减）求参数 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：1.在区间内是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 2.可导函数在区间是增（减）函数的充要条件是：都有，且在的任意一个子区间内都不恒为； 3.由函数在区间是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为恒成立问题求解. 21．若函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D．2 22．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 24．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 25．已知函数为定义域上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．若对任意的，且，，则的最大值是 ． 27．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 28．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 29．已知函数． (1)若在定义域内是单调函数，求a的取值范围； (2)若有两个极值点，，求证：． 30．已知函数 (1)写出函数的定义域，求当时的单调区间； (2)若，在区间上为减函数，求a的取值范围. 考点04：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数 已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点） 31．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 32．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 35．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．已知在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数． (1)若，求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，令，且在上不单调，求实数的取值范围． 39．已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围. 40．已知函数在处取得极大值，且极大值为3. (1)求的值： (2)求在区间上不单调，求的取值范围. 考点05：利用函数的单调性比较大小 核心思想一：由引出的大小比较问题 如图所示： ①在在，在时，取得最大值且为 ②极大值左偏，且 ③若，则 若，则 口诀：大指小底永为大（大小指） 核心思想二：对数等比定理 41．若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法比较大小 42．已知，则下列有关的大小关系比较正确的是（    ） A． B． C． D． 43．比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44．若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较大小 45．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 46．已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 47．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 48．设，比较的大小关系（    ） A． B．b C． D． 49．已知，试比较的大小关系（    ） A． B． C． D． 50．已知，试比较大小关系（    ） A． B． C． D． 考点06：利用函数单调性处理抽象不等式 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解型不等式 （1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； （2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。 2、为奇函数，形如的不等式的解法 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。 51．已知函数，关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．0 D．1 52．若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 53．已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 55．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 56．已知定义在上的奇函数满足：，则关于的不等式在的解集为（    ） A． B． C． D． 57．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 58．已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 59．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 60．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 考点07：根据极值点（最值点）求参数 题型1：已知极值点求参数的值. 1.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种情况： （1）由可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由求出参数的值，再代回去研究的单调性，确认在处取得极值即可. （2）由不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数. 当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些. 2.极值第二充分条件：若，且，则若，则在处取得极大值；若，则在处取得极小值. 3.极值第二充分条件： 若在处具有直到阶的连续导数，且，但，则：当为偶数时，为函数的极值，当为奇数时，不是函数的极值. 题型2：已知极值个数求参数的范围 这类问题的形式就是已知存在几个极值点，求参数的取值范围. 这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数. 61．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．已知函数在处取得极值，则（   ） A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 63．若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 64．若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．的范围是 D． 65．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 66．若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C．或 D． 67．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 69．已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是 ． 70．已知函数，若是函数的驻点，则实数 考点08：导函数图像与原函数图像的关系 原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤： ①若已知导函数判断原函数 第一步：观察导函数轴的上下，上则为递增，下则为递减. 第二步：导函数轴的值越大，则原函数增的越快（斜率越大） ②若已知原函数判断导函数 第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数，若为下坡路则. 导函数 第二步：原函数斜率越大，则导函数轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数轴的值越小. 71．已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 72．已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 73．已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（    ） A． B． C． D． 74．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 75．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 76．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 77．已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 78．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 79．已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 80．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点巩固卷06 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点） 考点01：利用导数求函数的单调区间 求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 1．已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由可求出其递减区间. 【详解】的定义域为，， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，令，即可得解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 3．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导并令导函数大于零，解不等式可得其单调递增区间. 【详解】易知函数的定义域为，可得， 令，解得. 所以函数的单调递增区间是. 故选：D 4．函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导后，令，解出即可. 【详解】, 令，解得， 所以单调递减区间为. 故选：A. 5．已知函数，其导函数为． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解； （2）利用导数与函数单调性的关系即可得解. 【详解】（1）因为的导数为， 所以在处的切线斜率为，而 故所求的切线方程为，即． （2）因为，定义域为 所以 解得，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 6．已知函数 (其中为常数)． (1)当时，求函数的单调区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负确定单调区间； （2）分类讨论，根据单调的单调性确定的最小值. 【详解】（1） 令解得，所以的单调递增区间为 令解得，所以的单调递减区间为 （2） ①当时，在上单调递增，； ②当时，在上单调递增，； ③当时，令和分别解得和， 则在上单调递减，单调递增，所以； ④当时，在上单调递减. 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 7．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间是，函数的单调递减区间是，． (2)证明见解析(3) 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间； （2）不等式转化为，构造函数，利用导数求出其单调区间，利用其单调性可证得结论； （3）设，令，则转化为既有极大值又有极小值，则，令，然后对函数求导后，分，，，四种情况讨论即可得答案. 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， ， 令，解得；令，解得或， 故函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，． （2）当时，，函数的定义域为， 不等式就是不等式（*）， 当时，（*）式等价于； 当时，（*）式等价于． 设，， 故在上单调递增， 故当时，，即， 当时，，即． 所以原式成立． （3）设，令， 既有极大值又有极小值等价于既有极大值又有极小值． ，记． ， ①当时，有，则在上单调递增， 故函数在上至多有1个零点，不合题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 故在上没有零点，不合题意； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，，故函数在上没有零点，不合题意； ④当时，在上单调递减，在上单调递增， 且有，，， （这里用不等式：当时，） ． 下面证明当时，，令， 则，令，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以当时，， 所以，， 又因为函数的图象分别在区间，上连续， 所以函数在，内各有1个零点，分别记为和， 故、分别为函数的极大值点、极小值点．即既有极大值又有极小值． 综上，当时，既有极大值又有极小值． 8．设函数. (1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； (2)讨论的单调性； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)6，单调递增区间，单调递减区间 (2)答案见解析(3) 【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间； （2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解； （3）转化为，分，两种情况讨论即可. 【详解】（1）， ，解得， 此时， 令，有或，令，有， 所以是的极值点，满足题意， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由（1）知， 当即时，恒成立， 所以在上单调递增； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，时，在上单调递增，无递减区间， 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由题意 当时，令，有，令，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 当时，不成立. 综上，. 9．已知函数 (1)求函数的单调区间； (2)函数有唯一零点，函数在上的零点为．证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）法一：由已知导数与单调性关系及函数零点存在定理可知，，构造函数，结合导数及函数性质可得的范围，再令，结合导数分析的单调性，利用不等式放缩即可求解.法二：，设新函数，利用零点存在性定理得，再证明单调性即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 且， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）法一：由（1）可知若函数有唯一零点，则，即， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，， 所以， ， 当时，当时， 所以在上存在唯一零点，所以，即， 令，则， 所以在上单调递减， 故， 所以， 又， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以. 法二：因为，由（1）可知若函数有唯一零点，则， 即， 设，而在上单调递增， 所以，，所以在上单调递增， 又， 令，所以在上单调递增， 所以，而， . 10．已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【详解】（1）由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 考点02：求已知函数的极值与最值 1．函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 11．函数，则下列结论错误的是（   ） A．在区间上不单调 B．有两个极值点 C．有两个零点 D．在上有最大值 【答案】C 【分析】对求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可． 【详解】定义域为，求导即， 令，解得． 显然在和上，故在和上单调递增； 在上，故在上单调递减． 所以为的极大值点，为的极小值点，且，，草图如下. 所以ABD正确，C错误． 故选：C． 12．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故选：D． 13．函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【分析】求导，令，，可求得极大值. 【详解】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值． 故选：D. 14．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数判断函数的单调性，得到函数的极大极小值，结合函数的简图，由题意即可判断参数的范围. 【详解】由题意，， 由可得或，由可得， 从而在上递增，在上递减，在上递增， 故有极大值，极小值，如图所示， 注意到，由图可知，要使函数在上存在最小值，应有. 故答案为：. 15．已知函数，若方程有2个不同的实根，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用导数探讨函数的性质，再数形结合求出的范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当或时，，当或时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 函数在上恒有，而， 当时，，而函数在上递减，值域为， 因此函数在上无最大值，当时，，显然在上无最大值， 函数的大致图象如图， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 因此方程有两个不同的实数解时，或， 所以实数的取值范围是或 故答案为：或 16．已知函数的图象在点处的切线过点． (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解； （2）利用导数研究函数单调性和极值. 【详解】（1）由已知得， 则，又， 所以图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得. （2）所以，定义域为, 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为. 17．已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程 (2)当时，求函数的极值 (3)若在上是单调增函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2)极小值为，无极大值(3) 【分析】（1）利用导数的几何意义函数的图象在点处的切线的斜率为，又，由直线的点斜式可得切线方程； （2）利用的正负讨论的单调性，即可求得函数的极值； （3）由在上是单调增函数，所以在上恒成立，则在上恒成立，又在上为单调递减函数，所以，可得. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，所以函数的图象在点处的切线的斜率为，又， 所以函数的图象在点处的切线方程为， 即. （2），令，解得， 当时，，当时，， 所以 在上是减函数，在上是增函数， 所以在处取得极小值，无极大值. （3）因为在上是单调增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上为单调递减函数， 所以当时，取得最大值，即， 所以. 18．已知函数（）. (1)求函数的极值； (2)若集合有且只有一个元素，求的值. 【答案】(1)极大值是，无极小值； (2). 【分析】（1）利用求导，通过参数，可分析出为正负的区间，从而可以判断的极值； （2）利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的条件，所以重新构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解. 【详解】（1）由， 因为，所以的定义域为，则， 因为时，；时，. 所以的单调递增区间为；单调递减区间为， 所以是的极大值点，的极大值是，无极小值. （2）由（1）可得， 要使得集合有且只有一个元素，则只需要 设，则， 因为时，；时，， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为. 所以，所以关于的方程有解时， 只能是， 所以集合有且只有一个元素时. 19．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值; (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)增区间为和，减区间为，极大值为-1，极小值为 (2). 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值； （2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）， 该函数的定义域为， 则，列表如下： 1 2 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）当时，由可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，， 所以，，故实数的取值范围是. 20．已知. (1)求的单调区间，并求其极值； (2)画出函数的大致图象； (3)讨论函数的零点的个数. 【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为，；极小值为，无极大值 (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出，由的正负判断出的单调性可得极值； （2）根据的单调性极值可得答案； （3）转化为函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数，结合图象可得答案. 【详解】（1）定义域为，， 令得，， 列表如下； 0 ↘ ↘ ↗ 由上表知，单调递增区间为， 单调递减区间为，； 当时，取极小值为，无极大值； （2）令得，；令得，， 当时，，，故； 当时，，，故； 据此信息及（1）可得的图象，如图所示； （3）令得， 则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 结合图象及（2）可知，当或，即或时， 函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点 当，即时，函数有0个零点. 考点03：已知函数在区间上递增（递减）求参数 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：1.在区间内是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； 2.可导函数在区间是增（减）函数的充要条件是：都有，且在的任意一个子区间内都不恒为； 3.由函数在区间是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为恒成立问题求解. 21．若函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】求导可得，由，可得，可求. 【详解】， 若，则可得在上单调递减， 若，令，可得， 所以在上单调递增， 又因为的单调递增区间是，所以. 故选：D. 22．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将在上单调递增，化为对任意成立，再转化为对任意成立，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以对任意成立， 即对任意成立， 令， 则， 因为，所以， 令，即，解得或 因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值为， 所以. 故选：. 23．已知函数在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数求导，从而将函数单调性问题转化为导数不等式在给定区间上的恒成立问题，继而通过参变分离法求出函数的最值,即可得到参数的范围. 【详解】由函数在区间上单调递增,可得在[1，2]上恒成立， 即， 设，则，，， 故当时，即时，， 故得，即a的最大值为. 故选：B. 24．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得恒成立，进而可得出答案. 【详解】， 因为函数在上单调递增， 所以恒成立， 则，解得， 所以的最大值为. 故选：C. 25．已知函数为定义域上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将问题转化为在恒成立，然后利用导数求得函数最值，即可得到结果. 【详解】， 由函数为定义域上的减函数， 可得在恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令，即， 则，令可得， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，有极大值，即最大值为， 所以，即，所以的取值范围是. 故选：A 26．若对任意的，且，，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，令，则，则可得在上递增，然后利用导数求出的递增区间，从而可求出的最大值. 【详解】因为，所以， 所以由，得， 所以， 所以， 令，则， 因为对任意的，且， 所以在上递增， 由，得， 由，得，得， 解得，所以的递增区间为， 所以的最大值为. 故答案为： 27．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 28．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，结合已知可得，再由函数不等式恒成立问题求函数最值即可得结论. 【详解】函数，求导得， 由函数在上单调递增，得，， 而函数在上的最小值为，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 29．已知函数． (1)若在定义域内是单调函数，求a的取值范围； (2)若有两个极值点，，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）分在定义域内是单调递增函数和单调递减函数求解； （2）由有两个极值点，，得到，且，是的两个根，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，不妨设，将证，转化为证即可． 【详解】（1）解：函数的定义域是，． ①若在定义域内是单调递增函数， 则在上恒成立． 注意到，当且仅当时取等号， 所以， 若，即当时，取，则； 若，即当时，取，则， 所以在上不可能恒成立，舍去． ②若在定义域内是单调递减函数，则在上恒成立． 令， 则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，所以由恒成立，得， 即当在上单调递减的，的取值范围是． 综上，当在定义域内是单调函数时，的取值范围是． （2）由（1）知在定义域内是单调函数时，必有， 所以有两个极值点，，必须， ，是的两个根， 所以，． 由（1）知在上单调递增，在上单调递减． 不妨设． 要证，即证． 因为，，所以亦即证，所以要证． 注意到， ， ， 令，，则， 所以， 所以在上单调递减， 所以，所以． 30．已知函数 (1)写出函数的定义域，求当时的单调区间； (2)若，在区间上为减函数，求a的取值范围. 【答案】(1)，的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 【分析】（1）由函数解析式求出定义域，求出函数导数，建立不等式求解，即得函数单调区间； （2）由在区间上为减函数等价于在区间上恒成立，由二次函数得到关于参数的不等式组，解之即得. 【详解】（1）因为， 所以函数定义域为， 当时，， 因，由可得，则的单调增区间为， 由，解得，所以的单调减区间为， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由函数，可得， 在区间上为减函数等价于在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 不妨设且，结合二次函数的图象与性质， 需使，解得或（舍去）. 即的取值范围是. 考点04：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数 已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点） 31．函数在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“函数在上不单调”可等价转化为在上必有变号零点,通过参变分离法，即可求得，依题，只需判断选项是否为得真子集即可. 【详解】依题意，，因在上不单调， 故导函数在上必有变号零点. 令，得，再令，则， 由，得即在上单调递增，所以， 故只需，即， 对于A，是的真子集,故 A选项是一个充分不必要条件， 而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确. 故选:A． 32．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，利用导数讨论的单调性，结合题意可得运算求解即可. 【详解】由，函数定义域为， 当时，函数单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 若函数在区间不单调，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B. 33．已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：B. 34．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用求导数的方法，含参讨论函数的单调性，即可求出实数a的取值范围. 【详解】， 当时，在区间上单调递减，不符合题意. 当，时，， 在区间上单调递减，不符合题意. 当时，令，解得， 要使在区间上不单调，则， 即，解得， 此时在区间上递减； 在区间上递增. 故选：B 35．已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用导数求函数在区间上单调时的的取值范围，再根据补集思想求不单调时的的取值范围. 【详解】由题意可知，， 若函数在上单调，则或， 当时，恒成立， 当，转化为，或， 设，则或恒成立， 即或， ， 所以， 所以函数在上不单调，则. 故选：B 36．已知在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导，得到，从而得到函数的单调性，又因为在上不单调，从而得到关于的不等式. 【详解】由于，可得， 可得函数的极值点为：，， 由在上不单调， 可得或， 解得． 故选：D． 37．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，根据在区间上不单调列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】， 当时，在区间上单调递减，不符合题意. 当，时，， 在区间上单调递减，不符合题意. 当时，令，解得， 要使在区间上不单调，则， 即，解得, 此时在区间上递减； 在区间上递增. 故选：B 38．已知函数． (1)若，求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若，令，且在上不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及极值计算即可； （2）先求导函数，含参讨论导函数的正负情况计算即可； （3）先根据确定解析式，再根据在上不单调得出其导函数有变号零点，构造函数，判定其在的单调性与极值、最值计算即可. 【详解】（1）当时，， 令，解得， 当时，；当时，； 当时，. ∴在单调递增，在单调递减， ∴极小值点为1，极小值为； （2）由题意得， ①当时，在R单调递减；     ②当时，，则在R单调递减； ③当时，令，解得：或， 令，解得：，     故在递增，在递减，在递增；     综上：当时，在R单调递减； 当时，在，上递增，在上递减； （3）由，则， ∴，     则，     ∵在上不单调，令， 则在上有变号零点，     令，则， ∴时，，单调递减； 时，，单调递增；     ∴，，， ∴，在上有两个变号零点，     即在上有两个极值点， ∴，在上不单调． 39．已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围. 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用函数在上存在变号零点求解即得. 【详解】函数，求导得， 由在上不单调，得函数在上存在变号零点， 而函数在上单调递增，，， 因此，又，解得， 所以a的取值范围为． 40．已知函数在处取得极大值，且极大值为3. (1)求的值： (2)求在区间上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得，根据题意，得出不等式组，即可求解； （2）由，求得函数的单调区间，结合在区间上不单调，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 因为函数在处取得极大值，且极大值为， 所以，解得. （2）解：由题意，函数在区间上不单调，可得，解得， 又由， 当时，；当时，；时，， 所以函数在单调递增，在上单调递减， 因为在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围为. 考点05：利用函数的单调性比较大小 核心思想一：由引出的大小比较问题 如图所示： ①在在，在时，取得最大值且为 ②极大值左偏，且 ③若，则 若，则 口诀：大指小底永为大（大小指） 核心思想二：对数等比定理 41．若函数对任意的都有成立，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】令，由结合题设，可知在上单调递减，即，即可确定与的大小关系. 【详解】令，则， ∵对任意的都有成立， ∴，即在上单调递减，又， ∴，即，可得. 故选：A. 42．已知，则下列有关的大小关系比较正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由时，，即可判断，且，然后构造函数，即可判断，即可得到结果. 【详解】因为，时，， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 则当时，函数有极小值，即最小值为， 所以时，，即， ， 则，而，所以， 又，则， 令，则， 令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以当时，有极小值，即最小值为， 所以，即，则，所以. 故选：C 43．比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，其中，，其中，，其中，利用导数分析各函数的单调性，由的单调性可得出、的大小关系，由的单调性可得出、的大小关系，由的单调性可得出、的大小关系，综合可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 所以，， 所以，， 令，其中， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 所以，，即， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，则，则， 所以，， 综上所述，. 故选：D. 44．若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】 构造函数，利用导数可得在上单调递减，从而得到，进而得解. 【详解】令，则， 因为对任意的都有成立， 所以，即在上单调递减，又， 故，即，可得. 故选：C. 45．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知，，，要比较，，的大小，我们就可通过构造函数来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数讨论单调性，可得，即，化简即可得答案． 【详解】令， 则， 当，即，，， 所以，在上单调递增， 因为, 所以有， 即， 所以有， 即， 所以有． 故选：A． 46．已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数以及，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设 则当时单调递减， 故 故进而， 设 由于函数和均为定义域内的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 因此， 故， 故， 因此， 故选：B 47．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论. 【详解】根据“躺平点”定义可得，又； 所以，解得； 同理，即； 令，则，即为上的单调递增函数， 又，所以在有唯一零点，即； 易知，即，解得； 因此可得. 故选：B 48．设，比较的大小关系（    ） A． B．b C． D． 【答案】C 【分析】由，构造、且，利用导数研究单调性比较大小关系. 【详解】由， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 令且，则， 所以递减，则，故，则， 综上，. 故选：C 49．已知，试比较的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再根据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用单调性判断即可. 【详解】设， 当时，，单调递减， 所以有， 因为， 所以， 设， 设， 当时，，函数单调递减， 因为， 所以， 因为函数是正实数集上的增函数， 故， 即，所以， 故选：C 50．已知，试比较大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数和，利用导数判断函数的单调性，根据单调性比较大小. 【详解】令 则，令，则恒成立，即在上单调递增， ∵ 即 令，则 令得，即在上单调递减， 因为，所以即即， 即，所以． 故选：C 考点06：利用函数单调性处理抽象不等式 单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 定义法判断函数奇偶性 判断与的关系时，也可以使用如下结论： 如果或，则函数为偶函数； 如果或，则函数为奇函数． 利用单调性、奇偶性解不等式原理 1、解型不等式 （1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解； （2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。 2、为奇函数，形如的不等式的解法 第一步：将移到不等式的右边，得到； 第二步：根据为奇函数，得到； 第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。 51．已知函数，关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性和单调性可得：不等式等价于，分和两种情况，结合函数单调性可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，可知的定义域为， 且， 所以为偶函数； 当，则，即， 可得，可知在内单调递增， 又因为，结合偶函数性质可知：， 此时，可得， 若，则，即， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即符合题意； 若，则，即， 构建， 因为在内单调递增，则在内单调递增， 且， 可知在内存在唯一零点， 由解得； 综上所述：不等式的解集为， 此时，可得， 所以. 故选：B. 52．若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可. 【详解】函数与的图象有且仅有一个交点， 即只有一个零点，即只有一个零点. 令，则，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减，并且. 所以，，. 函数的大致图象如图 因为，所以. 原不等式，即. 令， 显然时，该函数为增函数，且， 所以，的解集为. 故选：D. 53．已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的知识求当时的范围，当时可得恒成立，则恒在的上方（或恰相切），求出恰为函数在处的切线的临界时参数的值，即可得解. 【详解】当时，， 令，得或，因为不等式的解集为，所以，解得． 当时，，结合不等式的解集为， 得恒成立，即恒成立， 则恒在的上方（或恰相切）， 又的表示过定点的直线，点恰在曲线上， 所以临界条件为恰为函数在处的切线， 由可得，则，所以，解得． 综上可得实数的取值范围为. 故选：A． 54．关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化原不等式为，由此构造函数，对进行分类讨论，结合导数，通过研究时的函数值来确定的取值范围. 【详解】依题意，关于的不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数， 即的解集中有且仅有两个大于2的整数， 构造函数， 即的解集中有且仅有两个大于2的整数， 当时，对于，， 即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意. 所以. . 若，即， 设， ， 设， ， 在上递减，且， 所以当时，，递减， 由于， 所以当时，， 所以当时，递减， 所以， 所以当时，恒成立， 即的解集中有无数个大于的整数，不符合题意. 所以，即， 解得，所以的取值范围是. 故选：D 55．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果. 【详解】设，则，因为，所以在上单调递减. 因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为. 故选：B. 56．已知定义在上的奇函数满足：，则关于的不等式在的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数为奇函数，求出在上的解析式，从而问题转化为：当时，解不等式：，解此不等式要借助导数来解决；当时，解不等式：．分段求解不等式即可得到答案． 【详解】∵为定义在上的奇函数 ∴当时， 不等式等价于： 当时，解不等式： 令， ∴，在单调递减 ∵ ∴使得 ∴在单调递增，在单调递减 ∵ ∴当时,的解集为，即的解集为； 当时，解不等式： 化简为，即，解得． 综上，不等式在的解集为． 故选：D． 57．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数可求得单调性，结合可得不等式的解集. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，且，的解集为. 故选：C 58．已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】显然，，则将不等式等价转化为，在同一直角坐标系中作出直线与函数的图象，数形结合即可求出的取值范围. 【详解】因为，所以不是不等式的一个解 当时， 则 不等式有且只有一个整数解等价于只有一个整数解 即的图象在直线的上方只有一个整数解 令，则 当时，，单调递增 当时，，单调递减 作出 的图象， 由图象可知的取值范围为 即 ， 故选:B. 59．定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题目中的条件变形为，进一步转化为，构造函数，利用导数和函数之间的关系处理单调性即可求解. 【详解】由，即， 即，即对恒成立， 令，则在上单调递增， ∵，∴， 由即，即， 因为在上单调递增，∴ 故选：B. 60．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出的周期以及对称轴，再证明在上恒成立，通过对称性画出函数和在上的简图，由图象得出解集. 【详解】由题意可得，，即是周期为的函数，且图像关于对称. 令 时，，时， 函数在上单调递增 当时，，即 设， 即函数在上单调递减，则，即 故在上恒成立 结合对称性可画出函数和在上的简图，如下图所示 由图象可知，不等式在上的解集为 故选：A 考点07：根据极值点（最值点）求参数 题型1：已知极值点求参数的值. 1.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种情况： （1）由可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由求出参数的值，再代回去研究的单调性，确认在处取得极值即可. （2）由不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数. 当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些. 2.极值第二充分条件：若，且，则若，则在处取得极大值；若，则在处取得极小值. 3.极值第二充分条件： 若在处具有直到阶的连续导数，且，但，则：当为偶数时，为函数的极值，当为奇数时，不是函数的极值. 题型2：已知极值个数求参数的范围 这类问题的形式就是已知存在几个极值点，求参数的取值范围. 这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数. 61．若函数在处取得极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对求导，得到，令，得到或，再根据条件及极值的定义，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 令，得到或， 又因为函数在处取得极值，所以，得到， 故选：C. 62．已知函数在处取得极值，则（   ） A．4 B．11 C．4或11 D．3或9 【答案】B 【分析】由题意可知，解方程组得和的值，再代入检验是否能使是原函数的极值点. 【详解】因为，由题有，即，解得或.进行检验. 当时，不合题意，舍掉； 当时，， 令，得或；令得. 所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则. 故选：B. 63．若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B 64．若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．的范围是 D． 【答案】B 【分析】对于AC，原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于与有两个交点，结合单调性等函数特征画出图象判断出，且；对于B，利用，推导，则可得；对于D，而等价于，构造合适的函数进行分析. 【详解】对于AC，，有两个极值点且， 所以，有两个零点，且在各自两边异号， 所以与有两个交点，， 记，则， 易知：时，时， 所以在上递增，在上递减， 所以有最大值，且时，时， 又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且， 由上可得的图象如下， 所以当且仅当时与有两个交点，且，故A，C正确； 对于B，又， 所以，即，故B错误. 对于D，令，则，所以，则，， 所以要证，只需证， 只需证， 令，则， 所以在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确. 故选：B. 65．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，利用导数求的单调性和极值，可得实数的取值范围． 【详解】函数定义域为，， 函数有两个极值点，等价于有两个变号零点， 等价于函数与的图象有两个交点，且交点左右两侧的值变号， ， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 时，；时，， 所以时，函数与的图象有两个交点， 即实数的取值范围为. 故选：D. 66．若为函数的极大值点，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求导函数，再分类讨论大小根据极值点求参数. 【详解】因为若为函数的极大值点, 所以, , 当,单调递减，单调递增, 所以是的极大值点符合题意； 当时， 当即,单调递增,单调递减， 所以是的极大值点符合题意； 当即,单调递增,单调递减， 所以是的极小值点不符合题意； 当即,单调递增,无极值点不符合题意. 故或. 故选：C. 67．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导数，判断单调性，结合函数图象，求出的范围即可． 【详解】求导，令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减，且，，由图象知 故选：D. 68．已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用求导得到导函数的零点和，就参数分类讨论，判断函数的单调性，即可分析判断，确定参数的范围. 【详解】由题意得，， 由可得，或， ① 若，即时，，显然不合题意； ② 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意； ③ 若，即时，当或时，，即在和上单调递增； 当，，在上单调递减，故在处取得极大值，不符题意. 综上所述，当时，在处取得极小值，故的取值范围是. 故选：A. 69．已知函数在区间上有定义，且在此区间上有极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在上，有极值点表示有零点，由导数可得即可得，从而有，计算可求得的范围. 【详解】由题可知， 当时,, 单调递减， 当时,, 单调递增， 故只有极小值点2. 若在区间上有定义且有极值点，则，解得. 故答案为: 70．已知函数，若是函数的驻点，则实数 【答案】5 【分析】求出函数的导数，再利用驻点的意义列式计算即可. 【详解】函数，求导得， 由是函数的驻点，得， 所以. 故答案为：5 考点08：导函数图像与原函数图像的关系 原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤： ①若已知导函数判断原函数 第一步：观察导函数轴的上下，上则为递增，下则为递减. 第二步：导函数轴的值越大，则原函数增的越快（斜率越大） ②若已知原函数判断导函数 第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数，若为下坡路则. 导函数 第二步：原函数斜率越大，则导函数轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数轴的值越小. 71．已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【答案】C 【分析】根据函数的图象，得出导函数符号的分布情况，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由函数的图象， 得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数有极小值，极大值和. 故选：C. 72．已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 73．已知定义域为的函数的导函数为，，且的图象如图所示，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数的图象判断函数的单调性，结合判断即可． 【详解】当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 因为， 所以的值域为. 故选：D. 74．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．是极大值点 C．的图象在点处的切线的斜率等于0 D．在区间内一定有2个极值点 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 75．已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数的图象求出函数的单调区间，由此判断即可得解. 【详解】观察导函数的图象，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，ABC错误，D正确. 故选：D 76．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的图象得到的单调区间，即得的取值情况，从而得解. 【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则当时， ，当时，， 由，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 77．已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合图象判断导函数的正负的变化情况与二次函数零点的分布情况，结合韦达定理即可求解 【详解】， 由函数的图象可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且有两个零点，， 所以，所以， 所以ABC错误，D正确. 故选：D. 78．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案. 【详解】由函数的图象知，当或时，；当时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 79．已知定义在上的函数的导函数为，且在上的图象如图所示，则（    ）    A．1是的极小值点 B．1是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】D 【分析】根据导数大于0和小于0 确定的单调性，结合极值点的定义，即可得到答案. 【详解】由图象可知，定义域，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，无极小值点， 故选：D. 80．如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（    ） A．在区间上是严格减函数 B．在区间上是严格增函数 C．是极小值点 D．是极小值点 【答案】B 【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项. 【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误； 对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确； 对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误； 对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误. 故选：B. 试卷第1页， 共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$