第15讲 轨迹问题（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第15讲 轨迹问题 目录 题型归纳 1 题型01 定义法求轨迹方程 1 题型02 直接法求轨迹方程 4 题型03 代入法求轨迹方程 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 15 创新拓展 24 题型01定义法求轨迹方程 【解题策略】 (1)当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程． (2)注意轨迹与轨迹方程不同 【典例分析】 【例1】已知圆C：x2＋y2＝5，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点的轨迹方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河北保定·阶段练习）已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________． 【变式3】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 题型02 直接法求轨迹方程 【解题策略】 　直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性 【典例分析】 【例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知点，动点到点的距离是它到点的距离的2倍，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 【变式3】（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点的直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程． 题型03 代入法求轨迹方程 【解题策略】 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理” 【典例分析】 【例3】（22-23高二上·全国·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二下·河北唐山·期末）点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 . 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·安徽安庆·阶段练习）已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·四川绵阳·期中）已知圆，过原点作圆的弦，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高二·江苏·假期作业）已知半径为的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 7．（23-24高二上·山西太原·期中）已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ． 8．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）从圆上任意一点P，作轴，垂足为H，点M是线段的中点，求点M的轨迹方程； 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点和点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二·全国·课后作业）当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二·全国·课后作业）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·河南洛阳·期中）若是圆：的内接三角形，且，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二·全国·课后作业）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（21-22高二上·福建厦门·期中）已知，为圆以上两点，点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则中点的轨迹方程为 B．中点轨迹方程为 C．的中点轨迹方程为 D．的中垂线与的交点轨迹为圆 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是 8．（23-24高二上·福建龙岩·期中）由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为 . 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 四、解答题 10．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的斜边为AB，且.求: (1) 外接圆的一般方程; (2)直角边的中点的轨迹方程． 11．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆， (1)已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围． 【创新拓展】 一、单选题 1．（20-21高二上·甘肃白银·阶段练习）当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 三、解答题 4．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，，是圆上的动点． (1)求面积的最小值； (2)求线段的中点的轨迹方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 轨迹问题 目录 题型归纳 1 题型01 定义法求轨迹方程 1 题型02 直接法求轨迹方程 4 题型03 代入法求轨迹方程 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 15 创新拓展 24 题型01定义法求轨迹方程 【解题策略】 (1)当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程． (2)注意轨迹与轨迹方程不同 【典例分析】 【例1】已知圆C：x2＋y2＝5，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点的轨迹方程． 解　如图，设P为弦AB的中点，则CP⊥AB，取线段CM的中点D，则PD＝CM＝1， 当直线AB的斜率不存在及斜率为0时，P分别与M，C重合，亦有PD＝1. 故弦AB的中点P的轨迹是以D(1,0)为圆心，1为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝1. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·河北保定·阶段练习）已知圆，过平面上的点引圆的两条切线，使得，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接圆心和切点，能得到正方形，则为定长，即点P在以C为圆心，2为半径的圆上. 【详解】圆，半径，设， 设切线与圆分别切于， 所以，因为两切线， 所以四边形为正方形，所以， 点P在以C为圆心，2为半径的圆上, 则的轨迹方程为． 故选：B． 【变式2】如图所示，长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________． 答案　x2＋y2＝9 解析　连接OM(图略)，设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故线段AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＝9. 【变式3】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解. 【详解】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为 题型02 直接法求轨迹方程 【解题策略】 　直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性 【典例分析】 【例2】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合直线与圆相切的性质可得四边形为正方形，，，然后结合两点间的距离公式即可求解． 【详解】设， 因为，与圆相切， 所以，，，， 又， 所以四边形为正方形， 所以，则， 即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以动点的轨迹方程为． 故选：A 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知点，动点到点的距离是它到点的距离的2倍，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设是所求轨迹上的任意一点，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设是所求轨迹上的任意一点， 因为，且，可得， 整理得，即所求轨迹方程为. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·江西吉安·期末）已知圆:过原点作圆的弦,则的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设则代入圆:化简即可得到点的轨迹方程. 【详解】设则代入圆: 可得即 点的轨迹方程为 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点、，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点的直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先设点，再根据向量垂直的坐标运算即可求解，也可以根据圆的定义得到P点的轨迹为以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的，进而得出P点的轨迹方程； （2）根据直线与完整的圆相切时，只有一个交点，即可求解. 【详解】（1）法一：设，因为， 所以由，得， 所以动点P轨迹方程为. 法二：由题，所以P点的轨迹是以AB中点O为圆心,半径为1的圆去掉A、B得到的， 所以P点的轨迹方程为 （2）因为直线l与点P的轨迹（并上点A和点B）有且只有一个交点（如图）， ①若斜率不存在，此时直线l方程为：，与圆切于点B， ②当直线l与圆相切斜率存在时，设，即， 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线l方程为.      综上，直线l方程为或. 题型03 代入法求轨迹方程 【解题策略】 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程． 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理” 【典例分析】 【例3】（22-23高二上·全国·阶段练习）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案. 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·甘肃临夏·期中）已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【详解】设，， 由点是的中点，得，可得， 又点在圆上运动，所以， 将上式代入可得，， 化简整理得点的轨迹方程为：. 故选：B 【变式2】（22-23高二下·河北唐山·期末）点A是圆上的一个动点，点，当点A在圆上运动时，线段的中点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，利用中点坐标公式可用x，y表示出，再根据点A在圆上，即可得到答案． 【详解】设，又点， 则， 所以，， 又点A在圆上， 则，即， 所以线段AB的中点P的轨迹方程为． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2） 设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知线段AB的端点B的坐标是，端点在圆上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相关点法即可由中点坐标公式得，将其代入已知圆的方程中即可求解. 【详解】设，则由中点坐标公式可得，将代入中得， 故选：D 2．（22-23高二下·安徽安庆·阶段练习）已知BC是圆的动弦，且 ，则BC的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 BC的中点的坐标，由垂径定理和两点间的距离公式列出式子，化简后可得 BC的中点的轨迹方程． 【详解】设BC的中点 P的坐标是 ， ∵BC是圆 的动弦， ，且圆心 ， ，即 ， 化简得 ， ∴BC的中点的轨迹方程是 ， 故选： C． 3．（22-23高二上·四川绵阳·期中）已知圆，过原点作圆的弦，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，其中，则点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得点的轨迹方程. 【详解】设点，其中，则点， 将点的坐标代入圆的方程可得，即， 所以，点的轨迹方程为. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东梅州·期末）已知定点为圆的动点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设线段中点的坐标为，且点，结合中点公式求得，代入即可求解. 【详解】设线段中点的坐标为，且点， 又由，可得，解得， 又由，可得，即， 故选：A 二、多选题 5．（22-23高二·江苏·假期作业）已知半径为的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 所以； 若动圆与已知圆内切，则， 所以． 故选：CD 三、填空题 6．（23-24高二上·北京·期中）已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，由勾股定理得到等式，化简后除去曲线与轴的交点得答案. 【详解】设，则， 即， 整理得：. ∵三点构成三角形，∴. ∴顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·山西太原·期中）已知点是直线上的动点，点在线段上（是坐标原点），且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】（） 【分析】设出两点的坐标，由以及三点共线求得正确答案. 【详解】设，设，依题意可知， 由于三点共线，所以，则， 由于，所以， 整理得（）. 故答案为：（）    8．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设出点，结合距离公式计算即可得. 【详解】设，由题意可得， 化简可得，即. 故答案为：. 四、解答题 9．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）从圆上任意一点P，作轴，垂足为H，点M是线段的中点，求点M的轨迹方程； 【答案】；【分析】应用相关点代入法求轨迹方程； 【详解】设，则，因为在圆上， 则，即；   . 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足． (1)求动点的轨迹方程 (2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可 （2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解． 【详解】（1）设，由得， 化简得，动点的轨迹方程为：； （2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点， 故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0， 当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为， 此时直线与无交点，不合要求，舍去， 当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点 由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在， 设其方程为，即为， 设圆心到反射直线的距离设为，则， 所以，解得舍去或． 所以反射光线所在直线的方程为 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点和点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据题意可得，列出方程，化简即可得到结果. 【详解】设点，由题意可得， 即，化简可得 即点的轨迹方程为， 故选:D 2．（21-22高二·全国·课后作业）当点在圆上运动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，的中点的坐标为，根据已知中点关系建立关系式，利用变换代入化简即可. 【详解】设点，的中点的坐标为， ，由中点坐标公式可得，可得， 又点在圆，则，即. 因此，线段的中点的轨迹方程为. 故选：C. 3．（21-22高二·全国·课后作业）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据即得. 【详解】设，由条件知，且PM，PN的斜率肯定存在，故， 即，所以， 因为为直角三角形的直角顶点， 所以，故所求轨迹方程为． 故选：C. 4．（22-23高二上·河南洛阳·期中）若是圆：的内接三角形，且，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，可得线段的中点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆，即可得出结论. 【详解】由题意,, ，，， 线段的中点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆， 线段的中点的轨迹方程是：. 故选：D. 5．（21-22高二·全国·课后作业）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过定比分点坐标公式，用M的坐标表示B，把B的坐标代入圆的方程，整理可得点M的轨迹方程. 【详解】设M点的坐标（x，y），B（a，b），因为点M是线段AB上靠近A的三等分点，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又点B是圆x2+y2＝1上的动点，所以B的坐标适合圆的方程，即 故选：A. 二、多选题 6．（21-22高二上·福建厦门·期中）已知，为圆以上两点，点，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则中点的轨迹方程为 B．中点轨迹方程为 C．的中点轨迹方程为 D．的中垂线与的交点轨迹为圆 【答案】ABC 【分析】根据已知可得是等边三角形，可得，且即可判断A；设，中点为，利用相关点法求中点轨迹方程可判断B，同选项B的方法可判断C；由中垂线的性质以及椭圆的定义可判断D，进而可得正确选项. 【详解】由圆可得圆心，半径， 对于A：因为，所以是边长为的等边三角形， 若中点为，则，且， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以点的轨迹方程为，故选项A正确； 对于B：设，中点为，则，所以， 因为在圆上，所以，所以， 所以即中点轨迹方程为，故选项B正确； 对于C：设，的中点，则，所以， 因为在圆上，所以，所以， 即，所以的中点轨迹方程为，故选项C正确； 对于D：设的中垂线与的交点为，由垂直平分线的性质可得， 所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，故选项D不正确； 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是 【答案】 【分析】根据切线长可以求得P点到圆心的距离，代入距离公式即可求得. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径，是圆的切线且，则点到圆心的距离为， 设，则， 化简得. 故答案为： 8．（23-24高二上·福建龙岩·期中）由动点向圆引两条切线，切点分别为，，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，由圆的切线的性质，求得，设，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，因为，可得， 又因为，所以， 设，则，即. 故答案为：. 9．（23-24高二上·湖北武汉·期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】求出动直线过定点，再由得出点在以为直径的圆上运动，进而得出点的轨迹方程. 【详解】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ， 即. 故答案为： 四、解答题 10．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的斜边为AB，且.求: (1) 外接圆的一般方程; (2)直角边的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形外接圆性质求解圆心和半径， 从而计算出外接圆的一般方程; （2）设，根据M是线段BC的中点，得到然后根据即可求得动点的轨迹方程. 【详解】（1）由题意知，设圆心为，则， ， 故圆的方程为： 即外接圆的一般方程为：. （2）     设，由此解得： 因为C为直角，所以 代入解得：即 配方得：， 又因为三点不共线， 所以 综上：. 11．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆， (1)已知直线，设与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程； (2)记（1）中点的轨迹为曲线，点为曲线上一点，点为直线上一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断直线所过定点，利用圆的几何性质列方程，从而求得点的轨迹方程. （2）根据直线和圆的位置关系来求得的取值范围. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 直线过定点， 则可知弦中点应在以为直径的圆上， 的中点为，，设， 则点的轨迹方程为， 由于直线不能表示直线， 则点的轨迹方程应为． （2）记点为点，则点到直线的距离为， 可知. 【创新拓展】 一、单选题 1．（20-21高二上·甘肃白银·阶段练习）当点在圆上运动时，连接它与定点，线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出的坐标，根据中点坐标关系用的坐标表示出的坐标，结合在圆上得到的坐标所满足的关系式，即为的轨迹方程. 【详解】设，因为的中点为， 所以，所以， 又因为在圆上，所以， 所以的轨迹方程即为， 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中点，则，代入圆的方程化简可得答案. 【详解】设的中点，则， 因为点为圆上的动点，所以， 即. 故选：D. 二、填空题 3．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆O：，A，B是圆上两点，点且，则线段AB中点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】依题意设是线段的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得. 【详解】如图所示，是线段的中点，则， 因为，于是， 在中，，，， 由勾股定理得， 整理得的轨迹是. 故答案为：.    三、解答题 4．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，，是圆上的动点． (1)求面积的最小值； (2)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图象求出圆上的点到直线距离的最小值，再运用两点间距离公式、三角形面积公式计算即可. （2）设出，，由中点坐标公式可得，，结合点在圆上代入整理即可. 【详解】（1）如图所示， 由题知，，直线的方程为． 圆的标准方程为，则圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为． 设点到直线的距离为，则， 所以面积的最小值为． （2）设，，由题意知，，则，， 又点在圆上， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为，即． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)直线与圆相交，证明见解析 (2)最小值为4，方程为 【分析】（1）由直线恒过定点，并且定点在圆的内部，即可得出直线与圆相交. （2）由题意得直线与直线垂直时，弦长最小，由直线和圆相交的弦长公式即可求得答案. 【详解】（1）∵（），∴， 令解得∴直线恒过定点. 又， ∴点在圆内部， ∴直线与圆相交. （2）∵圆：的圆心为，半径为3， 当直线与直线垂直时，弦长最小，此时， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. 圆心到直线的距离为， ∴， ∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$