第14讲 圆的一般方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第14讲 圆的一般方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆的一般方程的理解 2 题型02 求圆的一般方程 4 题型03 圆的一般方程的实际应用 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 15 创新拓展 22 1．圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(________________)叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为_______________，半径长为________________． 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. (3)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形 题型01圆的一般方程的理解 【解题策略】 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 【典例分析】 【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 【变式演练】 【变式1】　若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________． 【变式2】若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）写出下列圆的圆心坐标和半径： (1)； 题型02 求圆的一般方程 【解题策略】 应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F　 【典例分析】 课本例3　已知△ABC的三个顶点为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求△ABC外接圆的方程． 【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标． 【变式演练】 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）经过三点A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）的圆的一般方程为 ． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为 ． 【变式3】（22-23高二·全国·课后作业）求过，，的圆的一般方程，并写出圆心和半径． 题型03 圆的一般方程的实际应用 【解题策略】 解应用题的步骤 (1)建模． (2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论 【典例分析】 【例3】课本例5　某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01 m)． 【变式演练】 【变式1】一隧道内设双行线公路，隧道截面由一段圆弧和一个长方形构成，如图所示，已知隧道总宽度AD为6 m，侧墙EA，FD的高为2 m，弧顶高MN为5 m，试建立适当的直角坐标系，求圆弧所在圆的一般方程． 【变式2】如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m．建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)． 【变式3】（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（21-22高二上·河北沧州·阶段练习）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．圆M的圆心为 B．圆M经过点 C．圆M的半径为25 D．圆M不经过第二象限 6．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆M的半径为5 B．圆M关于直线对称 C．点在圆M内 D．实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江台州·开学考试）已知，，，则过A，B，C三点圆的一般方程 ． 8．（22-23高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ． 四、解答题 9．（21-22高二·全国·课后作业）求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程． 10．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河北沧州·期中）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高二·全国·课后作业）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二·全国·假期作业）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 6．（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知直线与圆，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径是4 C．直线l与圆C一定相交 D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 三、填空题 7．（23-24高二上·北京东城·期末）已知圆，则圆心坐标为 ；半径为 . 8．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知圆的方程为，则圆的半径为 ． 9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 四、解答题 10．（2023高二上·全国·专题练习）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 12．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 13．已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：无论m为何实数，方程表示圆心在同一条直线上且半径相等的圆． 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高二上·湖南郴州·期中）圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 三、填空题 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）圆的圆心到直线的距离 . 四、解答题 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆关于直线对称，求直线的方程． 5．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆． ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆． 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点． (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 圆的一般方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆的一般方程的理解 2 题型02 求圆的一般方程 4 题型03 圆的一般方程的实际应用 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 15 创新拓展 22 1．圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为. 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. (3)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形 题型01圆的一般方程的理解 【解题策略】 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解 【典例分析】 【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 【变式演练】 【变式1】　若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________． 答案　， 解析　方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)， 可化为2＋2＝， 故圆心坐标为，半径为. 【变式2】若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3， ∴该圆的面积为9π. 【变式3】（21-22高二·全国·课后作业）写出下列圆的圆心坐标和半径： (1)； (2)． 【答案】(1)圆心为，半径为3； (2)圆心为，半径为. 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可确定圆心坐标和半径. 【详解】（1）圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3. （2）圆的标准方程为，所以圆心为，半径为 题型02 求圆的一般方程 【解题策略】 应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F　 【典例分析】 课本例3　已知△ABC的三个顶点为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，求△ABC外接圆的方程． 解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A，B，C在所求的圆上，所以 解得 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0. 【例2】已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标． 解　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 将A，B，C三点坐标代入上式得 解得 ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0， 即(x＋3)2＋(y－1)2＝25， ∴△ABC的外心即△ABC的外接圆圆心为(－3,1)． 【变式演练】 【变式1】（21-22高二·全国·课后作业）经过三点A（0，5），B（1，－2），C（－3，－4）的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，得到三元一次方程组，利用待定系数法求出圆的一般方程， 【详解】设圆的一般方程为：，可得： ， 解得：， 所以圆的一般方程是. 故答案为： 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的一般式方程，由圆心在x轴上，可得圆心纵坐标为，再将两点坐标代入方程，即可得圆的标准方程 【详解】解：设圆的方程为， 因为圆心在x轴上，所以，即， 又圆经过点和， 所以即，解得， 故所求圆的一般方程为， 故答案为： 【变式3】（22-23高二·全国·课后作业）求过，，的圆的一般方程，并写出圆心和半径． 【答案】，圆心，半径为． 【分析】设圆的一般方程为，把三个点坐标代入，求解D，E，F的值，得到圆的一般方程，进而求出圆心坐标和半径． 【详解】设圆的一般方程为， 因为，，三点都在圆上， 则，解得， 所求圆的一般方程为， 圆心坐标为，半径 题型03 圆的一般方程的实际应用 【解题策略】 解应用题的步骤 (1)建模． (2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论 【典例分析】 【例3】课本例5　某圆拱梁的示意图如图所示．该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需要一个支柱支撑，求支柱A2P2的长(精确到0.01 m)． 解　以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，那么点A，B，P的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)． 设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A，B，P在所求的圆上，所以 解得 故圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0. 将点P2的横坐标x＝6代入上述方程，解得 y＝－24＋12≈5.39(负值舍去)． 答 支柱A2P2的长约为5.39 m． 【变式演练】 【变式1】一隧道内设双行线公路，隧道截面由一段圆弧和一个长方形构成，如图所示，已知隧道总宽度AD为6 m，侧墙EA，FD的高为2 m，弧顶高MN为5 m，试建立适当的直角坐标系，求圆弧所在圆的一般方程． 【答案】x2＋y2＋6y－27＝0. 【详解】解设EF与MN交于点O，以点O为坐标原点，以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系(图略)，则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)． 设圆弧所在圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由圆心在y轴上，F(3，0)，M(0,3)在圆上，得 解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2＋6y－27＝0. 【变式2】如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m．建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)． 解　以点O为坐标原点AB，OP所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)， 设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上， 所以解得 故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0， 将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m)． 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 【变式3】（22-23高二上·山西晋中·期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为、）和圆弧构成，截面总高度为，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米，已知行车道总宽度.    (1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程； (2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？ 【答案】(1)答案见解析 (2)米 【分析】（1）以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点在圆上，求出的等式，解之即可； （2）将的方程代入圆的方程，求出值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度. 【详解】（1）解：以抛物线的顶点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，    故圆心在轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为 易知，点在圆上，将的坐标代入圆的一般方程得， 则该圆弧所在圆的一般方程为. （2）解：令代入圆的方程得，得或（舍）， 由于隧道的总高度为米，且（米）， 因此，车辆通过隧道的限制高度为米 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程即得. 【详解】因为圆的圆心为， 则圆的圆心坐标是. 故选：C． 2．（20-21高二上·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案. 【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 3．（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设外接圆的方程为：，然后将三点坐标代入解方程组求出的值，从而可求出的外接圆的一般方程. 【详解】设外接圆的方程为：， 由题意可得：，解得：， 即的外接圆的方程为：． 故选：C. 4．（21-22高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解不等式即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以k的取值范围是， 故选：C. 二、多选题 5．（21-22高二上·河北沧州·阶段练习）已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．圆M的圆心为 B．圆M经过点 C．圆M的半径为25 D．圆M不经过第二象限 【答案】AD 【分析】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项A、C的正确性；令圆的方程的和，求出圆被x轴和y轴截得的弦长，判断选项B、D的正确性． 【详解】对于选项A、C， 圆M的一般方程为， 则圆的标准方程为． 所以圆的圆心坐标，半径为5． 所以选项A正确，选项C不正确； 对于选项B，将代入圆的方程，不满足，所以选项B错误； 对于选项D，令中的， 得或， 所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D正确． 故选：AD． 6．（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（    ） A．圆M的半径为5 B．圆M关于直线对称 C．点在圆M内 D．实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程可确定圆心与半径即可判断A；根据圆的对称性可判断B；根据点与圆的位置关系可判断C；结合圆外一点与圆上一点求最值即可判断D. 【详解】解：圆M的一般方程为，化为标准方程为 则圆心，半径为5，故A正确； 圆心满足直线方程，则直线过圆心，所以圆M关于直线对称，故B正确； 点到圆心的距离为，故该点在圆外，故C不正确； 实数x，y满足圆M的方程，则为圆上一点与点的距离，又，则在圆外，所以的最小值即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二上·浙江台州·开学考试）已知，，，则过A，B，C三点圆的一般方程 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程为，解方程组即得解. 【详解】设圆的一般方程为， 由题意得， 解得，，． 圆的一般方程是． 故答案为：． 8．（22-23高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心在直线上，且过点，，则圆C的一般方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，结合圆心在上，列出方程组，求出圆心和半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】设所求圆的标准方程为， 由题意得：，解得：， 故所求圆的方程为，即． 故答案为：． 四、解答题 9．（21-22高二·全国·课后作业）求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程． 【答案】 【分析】由题意设所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆在直线上时，圆的半径最小，可得此时圆的面积最小，将圆心坐标代入直线中可求出，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 此时圆心为， 当圆心在直线上时，圆的半径最小，此时圆的面积最小， 所以，得， 所以所求的圆方程为． 10．（23-24高二上·天津和平·期中）求适合下列条件的圆的方程. (1)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. (2)已知的顶点为，，，求外接圆的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先设出圆心坐标，根据圆心到圆上点的距离都为半径求出参数，得到半径和圆心，即可写出圆的标准方程； （2）先设出圆的一般方程，将三点代入求解三元一次方程即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点，在圆上，所以， 即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）设的外接圆为， 将，，代入可得： ，解得， 所以的外接圆为. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案. 【详解】依题意，设所求圆的方程为， 由于所求圆过点，所以， 解得，所以所求圆的方程为． 故选：B 2．（22-23高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可. 【详解】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 3．（22-23高二上·河北沧州·期中）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过半径公式，代入即可解出值，即可得到圆心坐标. 【详解】圆的半径，即，，则， 圆心坐标为，即. 故选：B. 4．（20-21高二·全国·课后作业）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解. 【详解】设圆的一般方程为，圆心坐标为， 因为圆经过两点，，且圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二·全国·假期作业）（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 【答案】ACD 【详解】圆可化为.圆心坐标为适合方程. 正确，不适合错误，把代入圆的方程适合，正确，又， 正确.故选ACD. 6．（23-24高三上·山西忻州·开学考试）已知直线与圆，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径是4 C．直线l与圆C一定相交 D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 【答案】ACD 【分析】求解直线系经过的定点，圆的圆心与半径，两点间的距离判断选项的正误即可. 【详解】由题意可得直线， 由，解得，则直线l过定点，故A正确； 圆，即， 则圆C的圆心坐标为，半径为2， 故B错误； 因为，则点在圆C的内部， 所以直线l与圆C一定相交，故C正确； 因为，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高二上·北京东城·期末）已知圆，则圆心坐标为 ；半径为 . 【答案】 1 【分析】将圆的方程化简为标准方程，即可求圆心和半径. 【详解】将圆的一般方程，化简为圆的标准方程为 ， 即圆的圆心为，半径为1. 故答案为：； 8．（23-24高二上·广西南宁·期末）已知圆的方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般式方程与标准式方程之间的转化即可求解. 【详解】由圆，整理可得：， 则圆的半径为. 故答案为： 9．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 【答案】5 【分析】由圆的一般方程可得圆心，再结合两点间距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：两圆心坐标分别为，， 所以两圆心之间的距离为. 故答案为：5. 四、解答题 10．（2023高二上·全国·专题练习）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 【答案】(1)方程表示圆，圆心为，圆的半径2 (2)方程表示一个点 (3)方程不表示任何图形 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件即可判断. 【详解】（1）由方程可知：，, 所以方程表示圆，又, 所以圆心为，圆的半径为. （2）由方程可知：，, 所以方程表示点，又， 所以方程表示的点的坐标是. （3）原方程可化为 由方程可知：，， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. 11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为 12．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 解　(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. 由7t2－6t－1<0，得－<t<1. 故t的取值范围是. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为. (3)r＝ ＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故圆的标准方程为2＋2＝. 13．已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； (2)求证：无论m为何实数，方程表示圆心在同一条直线上且半径相等的圆． (1)解　x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9， 所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3. (2)证明　由(1)可知，圆的半径为定值3， 且圆心(a，b)满足方程组 即2a＋b＝2. 所以无论m为何实数，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆． 【创新拓展】 一、单选题 1．（21-22高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解. 【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4， 所以所求圆的方程为. 故选：B 二、多选题 2．（22-23高二上·湖南郴州·期中）圆（　　） A．关于点对称 B．半径为 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】ABD 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由圆的性质求解. 【详解】可化为，即该圆圆心为，半径为. 由圆的性质可知该圆关于点对称，故AB正确； 因为圆心不在直线上，所以该圆不关于直线对称，故C错误； 因为圆心在直线上，所以该圆关于直线对称，故D正确； 故选：ABD 三、填空题 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）圆的圆心到直线的距离 . 【答案】3 【分析】由标准方程得到圆心，再由点到直线的距离得到结果. 【详解】由已知可得圆的标准方程为，圆心为， 所以圆心到直线的距离， 故答案为：3. 四、解答题 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆和圆关于直线对称，求直线的方程． 【答案】 【分析】不妨令两圆分别为圆、圆，将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，则直线即为线段的中垂线，求出的中点与，即可求出直线的方程. 【详解】不妨令圆为圆， 圆为圆， 则圆：圆心为，半径， 圆：圆心为，半径， 则的中点为，且，则， 所以线段的中垂线为，即， 故直线的方程为.    5．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆． ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆． 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点． (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程． 解　(1)由题意，得t＝－2， 由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆． 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2－3x－4＝0. (2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆， 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内． 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2＝16. (3)由题意，知曲线W为中心对称图形． 设P(x0，y0)， 则x＋y＝16. 所以OP2＝x＋y(O为坐标原点)， 且－2≤y0≤2. 故OP2＝x＋y＝16－y＋y ＝－2＋， 所以当y＝时，OPmax＝， 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝. 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程. （2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解. 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$