第13讲 从函数观点看一元二次方程（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第13讲 从函数观点看一元二次方程 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 二次函数的零点 2 题型02 由二次函数的零点求参数的值 5 题型03 由二次函数的零点求参数的范围 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 24 二次函数的零点 1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的________就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的________，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的________． 2．一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 x1,2＝ x＝－ 无零点 注意点： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点 ⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根 ⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标 题型01二次函数的零点 【解题策略】 求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根 【典例分析】 【例1】　求下列函数的零点： (1)y＝3x2－x－4； (2)y＝－4x2＋4x－1. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）若，是二次函数的两个零点，则的值是（    ） A．3 B．9 C．21 D．33 【变式2】（22-23高一上·广东佛山·期中）已知二次函数有两个零点和1，且有最小值.则的解析式为 . 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3)； (4). 题型02 由二次函数的零点求参数的值 【解题策略】 由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系　 【典例分析】 【例2】若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为________． 【变式演练】 【变式1】若函数y＝x2＋mx＋4m2－3的两个零点分别为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值为________． 【变式2】（23-24高一上·辽宁·期中）已知二次函数，且，3是函数的零点.求的解析式； 【变式3】若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2＋β2＝51，求p的值； (2)若△ABC的面积为105，求p的值． 题型03 由二次函数的零点求参数的范围 【解题策略】 由二次函数的零点分布求参数范围的问题， 一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象，得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数) ，列出不等式组进行求解．函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点 【典例分析】 【例3】函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，则实数m的取值范围是(　　) A. B．(－∞，5) C. D. 【变式演练】 【变式1】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）设函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·四川成都·自主招生）若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是 . 【变式3】已知函数y＝x2－x－2.求： (1)y＝x2－x－2的零点； (2)y<0时x的取值范围． 易错点1　忽略对参数的分类讨论而致错 1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是(　　) A．1 B．0，1 C．－1，1 D．－1，0，1 易错点2　忽视一元二次方程有解的条件而致错 2．已知P(m，n)是一次函数y＝－x＋图象上的一个点，且函数y＝x2＋mx＋n的两个零点的平方和等于1，则m＋n＝(　　) A．3 B．1 C．1或－ D．－1或3 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．4 D．5 3．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（    ） A．9 B．12 C．0或9 D．0或12 4．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 二、多选题 5．（21-22高一上·贵州黔东南·期末）若函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a可取值为(    ) A．－2 B．0 C． D．－ 6．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）下列各图象表示的函数有零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ． 8．（20-21高一·全国·课后作业）如果函数有两个异号的零点，那么实数的取值范围是 ． 9．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）若函数在上有2个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题 10．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）设二次函数 (1)若该二次函数无零点，求实数a的取值范围； (2)方程的两根为，，若，，求实数a的取值范围. 11．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知，，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若A中含有无穷多个元素，且函数在区间内恰有一个零点，求实数t的取值范围. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一·全国·单元测试）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ） A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0） 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 二、多选题 4．（22-23高一上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·福建福州·期中）若关于x的不等式的解集为，则函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程的两个不相等实根均在区间内，求实数m的可能取值为（    ） A． B． C． D．2 三、填空题 7．（2023高一上·江苏·专题练习）若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为 ． 8．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知的零点为1和3，则 ． 9．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 四、解答题 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数.若函数的两个零点都在区间内，求实数的取值范围 11．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 三、解答题 3．（23-24高一上·贵州·期中）已知函数. (1)当时，求的零点； (2)若只有一个零点在内，求的取值范围. 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，． (1)关于x的方程有两个正根，求实数a的取值范围； (2)解不等式． 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 从函数观点看一元二次方程 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 二次函数的零点 2 题型02 由二次函数的零点求参数的值 5 题型03 由二次函数的零点求参数的范围 7 易错归纳 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 17 创新拓展 24 二次函数的零点 1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 2．一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 x1,2＝ x＝－ 无零点 注意点： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点 ⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根 ⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标 题型01二次函数的零点 【解题策略】 求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根 【典例分析】 【例1】　求下列函数的零点： (1)y＝3x2－x－4； (2)y＝－4x2＋4x－1. 解　(1)令3x2－x－4＝0， 解得x1＝－1或x2＝， 所以函数y＝3x2－x－4的零点为－1，. (2)令－4x2＋4x－1＝0， 解得x1＝x2＝， 所以函数y＝－4x2＋4x－1的零点为. 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）若，是二次函数的两个零点，则的值是（    ） A．3 B．9 C．21 D．33 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】由，是二次函数的两个零点， ，所以，是的两个实数根， 所以， 故， 故选：C 【变式2】（22-23高一上·广东佛山·期中）已知二次函数有两个零点和1，且有最小值.则的解析式为 . 【答案】 【分析】根据待定系数法可求出结果. 【详解】因为二次函数有两个零点和1，所以可设， 又因为有最小值，所以， 因为，所以， 所以，. 故答案为： 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的零点： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)无零点 (4)1 【分析】由函数零点定义可知，在函数表达式中令解关于方程即可. 【详解】（1）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. （2）在中令，得， 解得或， 所以函数的零点为. （3）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （4）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1 题型02 由二次函数的零点求参数的值 【解题策略】 由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系　 【典例分析】 【例2】若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则2a＋b的值为________． 答案　－4 解析　据题意，2＋3＝－a,2×3＝b，解得 ∴2a＋b＝－4. 【变式演练】 【变式1】若函数y＝x2＋mx＋4m2－3的两个零点分别为x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值为________． 答案　 解析　根据题意，一元二次方程x2＋mx＋4m2－3＝0的两个不同实数根分别为x1，x2， 则有Δ＝m2－4(4m2－3)>0， 可得m2<，又x1＋x2＝－m，x1x2＝4m2－3， 由x1＋x2＝x1x2，得－m＝4m2－3， 解得m＝－1或m＝， 又m2<，则m＝. 【变式2】（23-24高一上·辽宁·期中）已知二次函数，且，3是函数的零点.求的解析式； 【答案】 【分析】利用韦达定理求解即可； 【详解】因为是函数的零点， 即或是方程的两个实根， 所以，从而， ，即， 所以 【变式3】若二次函数y＝x2＋(p－2)x－21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2＋β2＝51，求p的值； (2)若△ABC的面积为105，求p的值． 解　(1)由题意，令x2＋(p－2)x－21＝0， Δ＝(p－2)2＋84>0，所以方程有两个不同的实根，易知α，β为方程x2＋(p－2)x－21＝0的两个实根， 则 ∴α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝51， ∴(2－p)2＋42＝51， 解得p＝－1或p＝5. 即p的值为－1或5. (2)由题意知C(0，－21)，S△ABC＝|α－β|×21＝105， ∴|α－β|＝10， ∴(α＋β)2－4αβ＝100， ∴(2－p)2＋84＝100， 解得p＝－2或p＝6. 即p的值为－2或6. 题型03 由二次函数的零点求参数的范围 【解题策略】 由二次函数的零点分布求参数范围的问题， 一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象，得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数) ，列出不等式组进行求解．函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点 【典例分析】 【例3】函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2，则实数m的取值范围是(　　) A. B．(－∞，5) C. D. 答案　D 解析　设函数的两个零点分别为x1，x2， 因为函数y＝x2－5x＋1－m的两个零点均大于2， 所以方程x2－5x＋1－m＝0有两个不相等的根且两根均大于2，则x1－2>0，x2－2>0， 所以即 解得－<m＜－5， ∴实数m的取值范围是. 【变式演练】 【变式1】（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）设函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有四个不同的零点化为方程的解的个数，利用二次函数根的分布即可得解． 【详解】令，则或， 若，则，显然，， 则当，，设的两根为， 则，则一正一负， 故有一个正根， 当且时，，故没有正根； 则由函数有四个不同的零点可知， 若，则有个负根， 则，解得． 综上所述，． 故选：A 【点睛】方法点睛：求解函数零点问题思路方法：①转化为方程的根，直接进行求解；②将函数零点问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，得到零点；③结合零点存在性定理和函数单调性进行求解 【变式2】（23-24高一上·四川成都·自主招生）若关于的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对m分类讨论，求出方程的根，根据方程的根满足条件求m的范围. 【详解】解：当时，. 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意； 当时，，即， . 关于的方程的所有根都是比1小的正实数， ，解得，即. 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】已知函数y＝x2－x－2.求： (1)y＝x2－x－2的零点； (2)y<0时x的取值范围． 解　(1)函数y＝x2－x－2的零点即是方程x2－x－2＝0的根，解方程得方程的根为－1和2，故函数y＝x2－x－2的零点为－1,2. (2)由图得y<0即是函数y＝x2－x－2在x轴下方的图象，y<0时x的取值范围即在两根之间，故x的取值范围是(－1,2)． 易错点1　忽略对参数的分类讨论而致错 1．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是(　　) A．1 B．0，1 C．－1，1 D．－1，0，1 【解析】集合A有且仅有2个子集，说明集合A只含有一个元素．集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，当a＝0时，A＝{0}，满足题意．当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，解得a＝±1.当a＝1时，集合A＝{－1}，满足题意；当a＝－1时，A＝{1}，满足题意．所以a＝0或a＝±1，故选D. 易错点2　忽视一元二次方程有解的条件而致错 2．已知P(m，n)是一次函数y＝－x＋图象上的一个点，且函数y＝x2＋mx＋n的两个零点的平方和等于1，则m＋n＝(　　) A．3 B．1 C．1或－ D．－1或3 【解析】∵P(m，n)是一次函数y＝－x＋图象上的一个点，∴n＝－m＋，即m＋2n＝1. 设方程x2＋mx＋n＝0的两个不等实根分别为x1，x2，则Δ＝m2－4n>0，两实根的平方和为 x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－m)2－2n＝m2－2n＝1. ∴m＝1，n＝0或m＝－2，n＝(舍去)．∴m＋n＝1，故选B. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可. 【详解】因为函数在上有且只有一个零点， 所以，即在上有且只有一个实根， 所以与的函数图象在时有一个公共点， 由于在单调递减， 所以，即. 故选：D 2．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由二次函数的零点与二次函数的系数之间的关系即可得解. 【详解】由题意二次函数的零点为和3， 所以， 所以. 故选：A. 3．（22-23高一下·江苏宿迁·期中）函数有且只有一个零点，则实数m的值为（    ） A．9 B．12 C．0或9 D．0或12 【答案】C 【分析】令，将函数零点转化成方程的根，再对进行分类讨论即可得到结果. 【详解】因为，令，得到， 当时，，得到，满足题意， 当时，因为函数有且只有一个零点，故，得到，综上，或. 故选：C. 4．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】根据零点定义，逐个带入分析判断即可得解. 【点睛】若，可得， 此时令可得，只有一个零点，故A不符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故B符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故C符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故D符合； 故选：A 二、多选题 5．（21-22高一上·贵州黔东南·期末）若函数y＝(ax－1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a可取值为(    ) A．－2 B．0 C． D．－ 【答案】BD 【分析】y＝(ax－1)(x＋2)有唯一零点－2等价于方程(ax－1)(x＋2)＝0有唯一解x＝－2，据此即可求出a的取值. 【详解】由题可知ax－1≠0或ax－1＝0的解为x＝－2， 故a＝0或a＝. 故选：BD. 6．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）下列各图象表示的函数有零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【分析】由函数零点的定义对比选项即可得解. 【详解】对比各选项函数图象可知，其中与轴有交点的选项是ABC. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得关于的不等式组，求解得答案. 【详解】由函数两个零点，一个大于2另一个小于2， 所以 有两个不同的根，且一个根大于2另一个根小于2， 所以， 因为， 当时，只需，即，解得， 当时，只需，即，无解， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为：. 8．（20-21高一·全国·课后作业）如果函数有两个异号的零点，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合韦达定理与判别式，即可求解. 【详解】设函数的两个零点为和，由题意得，，即，解得. 故答案为：. 9．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）若函数在上有2个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 10．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）设二次函数 (1)若该二次函数无零点，求实数a的取值范围； (2)方程的两根为，，若，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据函数无零点，得到对应方程没有实数根，利用判别式小于零即可求解； (2)根据方程的两根，，利用根的分布列出不等式组即可求解. 【详解】（1）若函数无零点，也即方程无实数根， 则判别式，解得， 即实数a的范围为； （2）因为方程的两根，， 则，即，解得， 即实数a的范围为 11．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知，，集合. (1)若，求的取值范围； (2)若A中含有无穷多个元素，且函数在区间内恰有一个零点，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，且，再根据基本不等式求解最值即可； （2）由题意，进而将题意转化为在有唯一解，再分情况讨论的值，根据零点存在定理求解即可. 【详解】（1），无解，所以，且， 故， 当且仅当时取等号， 又因为，且，所以的取值范围为. （2）中含有无穷多个元素，所以，且，即. 函数在区间内恰有一个零点，即在有唯一解. 当时，，成立. 当时，，解得，由，解得，成立. 当时，，解得且. 特别地，当时，的零点为满足； 当时，的零点为满足； 综上所述，实数的取值范围为. 【能力提升】 一、单选题 1．（21-22高一·全国·单元测试）若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ） A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0） 【答案】A 【分析】由是函数的一个零点，可得值，再利用韦达定理列方程解出的另一个零点． 【详解】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1． 故选：A． 2．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】设， 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：. 故选：C. 3．若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，分，结合二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】当时,不符合题意， 所以，记对称轴为，且 ①当时，，解得; ②当时，，所以， 综上或． 故选：D. 二、多选题 4．（22-23高一上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，与y轴交点的位置，函数的零点，逐项判断选项是否正确. 【详解】二次函数的图像开口向上，则，对称轴为直线，可得，当时，，所以，A错误；，B正确；当时，，C正确；，D错误． 故选：BC． 5．（22-23高一上·福建福州·期中）若关于x的不等式的解集为，则函数的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的解集确定且，求出，，从而判断出大致图象. 【详解】不等式的解集为， 故且，解得：， 即，解得：， 故， 开口向下，且对称轴在轴左侧，与轴交点为1， 显然BC选项符合要求. 故选：BC 6．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若关于x的方程的两个不相等实根均在区间内，求实数m的可能取值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】根据二次方程根的分布得到，对称轴，，解得答案. 【详解】两个不相等实根均在区间内， 故，故或， 设，则对称轴， ，解得， 综上所述：，BC选项满足. 故选：BC 三、填空题 7．（2023高一上·江苏·专题练习）若x＝2是f（x）＝x2－mx－3的一个零点，则实数m的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数零点的定义，得到，即可求解. 【详解】由时函数的一个零点， 可得，解得. 故答案为：. 8．（23-24高一上·吉林长春·期中）已知的零点为1和3，则 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系求解即可. 【详解】因为的零点为1和3， 即的两根为1和3， 所以，解得， 所以， 故答案为： 9．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将函数零点个数问题转化成方程解的个数问题，进一步转化成图像的交点个数问题. 【详解】函数在区间上有两个零点， 即在区间上有两个不同的解， 即在区间上有两个不同的解， 转化成与在区间上有两个不同的交点， 结合对勾函数的性质可知在单调递减，在单调递增， 且，所以，解得， 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数.若函数的两个零点都在区间内，求实数的取值范围 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个正根的充要条件列不等式求解即可. 【详解】由题知，方程有两个正根，记为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 11．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (2)若函数的一个零点在内，另一个零点在内，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由函数零点个数，结合二次函数性质列不等式组求参数范围； （2）由题意易知，法一：讨论函数开口方向列不等式组求参数范围；法二：根据的零点和的零点的等价性，列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由题意，可得，则或. （2）由的两个零点一个在内，另一个在内，故， 法一：当的图象开口向上时，，所以， 解得. 当的图象开口向下时，，所以，解得； 综上，的取值范围为. 法二：的零点和的零点相同，则， 所以，解得. 综上，的取值范围为 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合已知作出对应二次函数图象，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设， 根据已知结合二次函数性质，作图    则有， 解得. 故选：C 二、填空题 2．（22-23高一上·湖北襄阳·期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】配方后得到函数的单调性，从而结合零点存在性定理得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】由题意得：为连续函数， 且在上单调递减，在上单调递增， 故，，， 所以只需或， 解得：， 故实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 3．（23-24高一上·贵州·期中）已知函数. (1)当时，求的零点； (2)若只有一个零点在内，求的取值范围. 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）当时，解方程，即可得出函数的零点； （2）求出函数的零点，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 当时，，令可得或， 所以，当时，函数的零点为、. （2）解：由可得或， 因为只有一个零点在内，则或， 解得或， 因此，实数的取值范围是. 4．（23-24高一上·山东青岛·期中）已知，． (1)关于x的方程有两个正根，求实数a的取值范围； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）方程有两个正根，，解得答案. （2）考虑，，三种情况，根据对应方程的根的关系得到不等式的解. 【详解】（1）方程有两个正根，设为，，则，解得. （2）①当时，不等式可化为，故； 当时，设方程的两根为、， 则，，， ②若，则，，故或， ③若， （i）当，即时，，故， （ii）当，即时，不等式无解． 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或 【下节预览】 一、解答题 1．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式得解集为； （2）由，得，无解， 所以不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$