第17讲 重难点拓展：基本不等式的综合问题（三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修一）

第17讲 重难点拓展：基本不等式的综合问题 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 常数代换法求最值 1 题型02 消元法求最值 3 题型03 换元法求最值 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 18 创新拓展 25 题型01常数代换法求最值 【解题策略】 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．16 C．20 D．18 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为 【变式3】（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 题型02 消元法求最值 【解题策略】 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，且，当取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【变式3】（21-22高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，，，求的最小值． 题型03 换元法求最值 【解题策略】 换元法求最值的思路 观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 【变式2】（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知二次函数，若对任意，若且不等式恒成立，则的最小值为 ． 【变式3】．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（   ） A．15 B． C．17 D． 4．（22-23高一上·重庆·期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 6．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 三、填空题 7．（23-24高一上·山东济南·期中）若正数，满足，则的最大值为 ． 8．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 9．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知正实数满足，则的最大值为 . 四、解答题 10．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）回答下列两题： (1)已知，，且，求的最小值； (2)已知，求的最小值． 11．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知a，b为正实数，且． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知：，且，则的最小值是（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（　　） A．有最小值8 B．有最小值 C．的最小值是4 D．的最小值是 6．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽池州·期中）已知，若，则的最小值为 . 8．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为 9．（23-24高一上·浙江·期末）已知，则的最小值为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若与均为正数，求的最大值； (2)若与均为负数，求的最小值. 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·天津·期末）若实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一上·云南大理·期末）设正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 3．（23-24高一上·吉林四平·期中）已知实数，，且，则的最小值为 ． 四、解答题 4．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知，，且. (1)求ab的最小值； (2)求的最小值. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 重难点拓展：基本不等式的综合问题 【苏教版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 常数代换法求最值 1 题型02 消元法求最值 3 题型03 换元法求最值 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 18 创新拓展 25 题型01常数代换法求最值 【解题策略】 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商 【典例分析】 【例1】（23-24高一上·安徽·期末）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．16 C．20 D．18 【答案】D 【分析】将所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·河北沧州·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为. 故选：B． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为 【答案】6 【分析】先把已知变形为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：6. 【变式3】（23-24高一上·甘肃·期末）已知. (1)求证：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)8. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式推理即得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1），则，当且仅当时取等号， 所以. （2）由，且，得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. 题型02 消元法求最值 【解题策略】 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 【典例分析】 【例2】（23-24高一上·四川成都·期中）已知正实数a，b满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件代入消去，变形后利用均值不等式求解. 【详解】由可得， 所以， 因为正实数a，b满足，所以， 故， 当且仅当，即， 故选：D 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，且，当取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·广东东莞·期末）若、，且，则的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】由题意转换成二次函数的最值来做即可. 【详解】由题意，，所以， 所以等号成立当且仅当，即的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（21-22高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围； （2）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可得，将展开利用基本不等式求出最小值即可求解；. 【详解】（1）因为恒成立，所以， 由题意可知， 当且仅当即 ，时等号成立， 所以，所以，解得：， 所以实数的取值范围为：； （2）由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝， 即x＝2时，等号成立． 所以x＋2y的最小值为4. 题型03 换元法求最值 【解题策略】 换元法求最值的思路 观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元，将问题转化为熟悉的模型，将问题明朗化，从而使问题得以解决 【典例分析】 【例3】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用换元得，即可变形为，利用不等式即可求解. 【详解】设，则， 则 由可得， 化简得， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，即或时等号成立， 故， 故选：D 【变式演练】 【变式1】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知，则函数的最大值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】先令，将原式化为有关t的代数式，最后化简，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，设，则， ， 当且仅当即相当于时取等号，所以函数的最大值为是. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知二次函数，若对任意，若且不等式恒成立，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为不等式恒成立， 所以，可得，因为，所以由， 设，因为，所以，则有 当且仅当时取等号，即当时取等号，即当时取等号， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据一元二次不等式的解集性质得到，进而利用换元法、基本不等式进行求解 【变式3】．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值； （2）求函数的最小值． 【答案】（1）3；（2）9． 【分析】（1）依题意可得，则，利用基本不等式计算可得； （2）令，则，利用基本不等式计算可得； 【详解】（1）∵，，且，所以， 则， 当且仅当时等号成立，因此的最小值为3． （2）因为，所以，令，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立； 所以函数的最小值为 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先变形，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：C. 2．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（   ） A．15 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】利用，可将消元为只含或只含的式子，再利用基本不等式求解. 【详解】∵， ∴，其中， ∴， 又∵，∴， 则 ， 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为17. 故选：C 4．（22-23高一上·重庆·期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值. 【详解】 , . 故选:D. 二、多选题 5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若都是正数，且，则的最小值是3 C．若，则的最小值是3 D．若实数满足，则的最大值是4 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式即可判断A；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；根据基本不等式即可判断C；利用万能“”法即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，故A正确； 对于B，由都是正数，且，得， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是3，故B正确； 对于C，若， 则， 所以，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是，故C错误； 对于D，令，则， 又，则， 化简得， 所以，解得， 所以的最大值是4，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 6．（23-24高一上·江西抚州·期末）若正实数满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最小值为8． B．的最小值为 C．的最大值为． D．的最小值为． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】A选项，因为，且，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项，因为 ， 当且仅当，即时取等号，故B项正确； C选项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确； D选项，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故D项错误． 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值. 三、填空题 7．（23-24高一上·山东济南·期中）若正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】因为正数，满足，所以，即， 则， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值9，则的最大值为． 故答案为： 8．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知实数，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式在最值求解中的应用计算即可． 【详解】因为实数，，， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 9．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知正实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由常数代换法，换元法，并利用基本不等式解决最值问题即可. 【详解】解：根据题意，由于 ， 令， 当时，由已知可得，所以； 当时， 则 ， 令； ， 当且仅当，即，即时取等号， 即的最大值. 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）回答下列两题： (1)已知，，且，求的最小值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“1”的妙用，变形为，利用基本不等式，即可求解； （2）变形后，直接利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， ， 当时，即，得时，等号成立， 综上可知，的最小值为； （2）原式， 当时，等号成立，即， 所以的最小值为. 11．（23-24高一上·四川达州·阶段练习）已知a，b为正实数，且． (1)求ab的最大值； (2)求的最小值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用基本不等式即可求出ab的最大值； （2）利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】（1）由题意， a，b为正实数，且 因为， 当且仅当即时取等号，解得，即， 故的最大值为2． （2）由题意及（1）得， a，b为正实数，且， ∴， 所以， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知：，且，则的最小值是（    ） A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】利用基本不等式的性质，直接计算可得答案. 【详解】，， 当且仅当时，即，由，得，即，可求出，即当时，不等式等号成立. 故选：A 2．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】已知，则，， 当且仅当，即时“”成立，故所求最小值是16. 故选：D． 3．（23-24高一上·浙江·期末）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案. 【详解】由得，其中，， 所以， 当且仅当，即，则，时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：D 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，，则的最小值为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】首先由条件可得，再变形，最后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，，可得，则 则 ， 当，得时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：A 二、多选题 5．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）若正实数，满足，则下列说法正确的是（　　） A．有最小值8 B．有最小值 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到A正确，直接利用均值不等式得到B错误C正确，消元利用二次函数性质计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：， 当且仅当，即，时等号成立，正确； 对选项B：，， 当且仅当，即，时等号成立，错误； 对选项C：， 当且仅当，即，时等号成立，正确； 对选项D：，当时有最小值为，正确； 故选：ACD 6．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，且，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值是 C．的最小值是8 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用基本不等式判断AC；利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用消元法与基本不等式判断D. 【详解】对于A，，所以，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C，，， 当且仅当且，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由，得，由，得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，矛盾，故等号取不到，故错误， 故选：AC. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 三、填空题 7．（23-24高一上·安徽池州·期中）已知，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，设，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 则， 设，可得且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 8．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）设为正实数，且，则的最小值为 【答案】 【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 9．（23-24高一上·浙江·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件，结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解． 【详解】因为， 所以设，则， 所以，， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 10．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知. (1)若与均为正数，求的最大值； (2)若与均为负数，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用基本不等式求解即得. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）因为，，则，即， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最大值. （2）由与均为负数，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以当时，取得最小值. 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高一上·天津·期末）若实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解. 【详解】因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 二、多选题 2．（23-24高一上·云南大理·期末）设正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断ACD；利用配方法可判断B. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时取等，故A正确； 对于B，，， 所以无最小值，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为正实数满足，所以 ，当且仅当即，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 3．（23-24高一上·吉林四平·期中）已知实数，，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 当且仅当，且，即，时等号成立． 所以，的最小值为. 答案为：. 四、解答题 4．（23-24高一上·贵州黔西·阶段练习）已知，，且. (1)求ab的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，所以，当且仅当即时等号成立，即ab的最小值为； （2）， 当且仅当即即时，等号成立， 所以的最小值为. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【详解】（1）易得 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，而， 故，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$