第28章 微专题12 三角函数与代数、几何综合-【宝典训练】2023-2024学年九年级全一册数学高效课堂课件(人教版)

第二十八章　锐角三角函数 微专题12　三角函数与 代数、几何综合 一、三角函数与代数综合 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是(m，－4)，连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝ . 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解：如答图，过点A作AE⊥x轴于点E，则∠AEO＝90°. 在Rt△AEO中，AO＝5， 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 (2)连接OB，求△AOB的面积． 解：令一次函数y＝－x－1中y＝0，则0＝－x－1， 解得：x＝－1，即点C的坐标为(－1，0)． 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 2．(2022·曲周县模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，2)． 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 (1)求抛物线的解析式，并用配方法求出顶点D的坐标； 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 (2)若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值． 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 二、三角函数与几何综合 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB. (1)求∠D及∠DBC的度数； 解：∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD， ∵∠BAC＝∠D＋∠ABD＝30°， ∴∠D＝15°；∴∠DBC＝90°－∠D＝75°； 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 (2)求tanD及tan∠DBC； 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 (3)用类似方法，求tan22.5°. 返回首页 解：如答图，在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，延长CA到点D，使AD＝AB，∴∠D＝22.5°，设BC＝a， ∵△ABC是等腰直角三角形， 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 4．(2022春·宁阳县期末)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为点P. (1)求证：FG＝EH； 证明：在正方形ABCD中， AB＝BC＝AD，∠A＝∠B＝90°， 又∵AE＝DF，∴BE＝AF. ∵FG⊥EH， ∴∠PEG＋∠PGE＝90°. ∵∠PGE＋∠GFA＝90°， ∴∠PEG＝∠GFA. 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 (2)若正方形ABCD的边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝ ，求PF的长度. 返回首页 1 2 3 4 第 ‹#› 页 微专题12　三角函数与代数、几何综合 本节内容到此结束！ logo sin∠AOC＝＝，∴AE＝3， ∴OE＝＝4， ∴点A的坐标为(－4，3)． ∵点A(－4，3)在反比例函数y＝的图象上， ∴3＝，解得：k＝－12. ∴反比例函数的解析式为y＝－. ∵点B(m，－4)在反比例函数y＝－的图象上， ∴－4＝－，解得：m＝3， ∴点B的坐标为(3，－4)．将点A(－4，3)、点B(3，－4)代入y＝ax＋b中得：解得： ∴一次函数的解析式为y＝－x－1. S△AOB＝ OC·(yA－yB)＝×1×[3－(－4)]＝. 解：∵抛物线y＝－ x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，2)，∴ 得∴y＝－ x2－x＋2＝－ (x＋1)2＋，∴抛物线顶点D的坐标为(－1，)，即该抛物线的解析式为y＝－ x2－ x＋2，顶点D的坐标为(－1，)； 解：∵y＝－ (x＋1)2＋，∴该抛物线的对称轴为直线x＝－1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C(0，2)，∴点E的坐标为(－2，2)，当y＝0时，0＝－ (x＋1)2＋，得x1＝－3，x2＝1，∴点B的坐标为(1，0)， 设直线BE的函数解析式为y＝kx＋n，， 得∴直线BE的函数解析式为y＝－x＋，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为(0，)，∴OF＝，∵点C(0，2)，点E(－2，2)，∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2－＝， ∴tan∠CEF＝＝＝，即tan∠CEB的值是. 解：设BC＝x，在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2x，AC＝ BC＝ x， ∴AD＝AB＝2x， ∴DC＝AD＋AC＝(2＋)x， 在Rt△BCD中，tanD＝＝＝2－， tan∠DBC＝＝＝2＋； ∴AC＝a，AB＝a，∴AD＝a， ∴CD＝DA＋AC＝(＋1)a， 在Rt△BCD中，tanD＝＝＝－1， 即tan22.5＝－1. 在△AFG和△BEH中， ∴△AFG≌△BEH(ASA)． ∴FG＝EH； 解：∵正方形ABCD的边长为5，AE＝2， ∴AD＝5，DF＝2.∴AF＝5－2＝3. ∵tan∠AGF＝，∴AG＝4. ∴GE＝AG－AE＝2. 根据勾股定理，可得FG＝5， ∵tan∠AGF＝， 设EP＝3x，GP＝4x， 根据勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝4， 解得x＝， ∴GP＝. ∴FP＝FG－GP＝. $$