精品解析：北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题

**基本信息** 立足高二核心知识，以杨辉三角、商品利润等为情境，通过分层设问考查运算推理及创新能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二项式定理、等比数列、散点图相关系数|结合统计图表考查数据分析| |填空题|5/25|条件概率、分布列、利润函数参数求解|融入实际问题考查模型应用| |解答题|6/85|导数切线与零点、概率分布列、创新性质证明|分层设问，如第21题以性质P定义考查逻辑推理|

大兴区2023~2024学年度第二学期高二期末检测 数学 2024．7 1.本试卷共页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答. 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式求解． 【详解】， 令，得， ∴常数， 故选：B． 2. 若数列是等比数列，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 3. 有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只需安排其余名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天，利用排列数公式计算可得. 【详解】依题意只需安排其余名同学到除周三的另外四天值日，每人值日一天， 故有种不同安排方案. 故选：B 4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第1个图中的点比第3个图中的点分布更为集中， 故； 第2，4图表示的负相关，且第2个图中的点比第4个图中的点分布更为集中， 故，且，故， 综合可得， 故选：B 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点. 【详解】根据图像，在和上，单调递增； 在上，单调递减，故的极大值点为. 故选：C 6. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且，所以， ， 所以. 故选：A 7. 设为等比数列，若，，，，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】根据等比数列的性质设为等比数列，若，，，，则 ，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么为等比数列，若，，，，则是的充分不必要条件,选A. 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”的性质、等差数列求和公式及组合数判断即可. 【详解】由“杨辉三角”可知：第一行个数，第二行个数，...，第行个数， 所以前行共有：个数，当时，，又， 所以第项是第行的第个数字，即为， 故选：D. 9. 已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是递减数列 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法及等比数列通项公式得到，即可判断C、D，利用特殊值判断A、B. 【详解】因为等比数列的前项和为，公比为，显然， 若，即，所以， 所以是递减数列，故C错误、D正确； 若，，则，满足， 但是，则不具有单调性，故A、B错误. 故选：D. 10. 已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，转化为有三个不等实根，利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可. 【详解】设切点坐标为. 由题意得， 所以函数的图像在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则，由题意可知,这个方程有三个不等实根. 设，则， 由得，由得或. 所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于； 当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且， 所以的大致图象如图， 所以要使直线与函数的图象有三个交点， 则. 故选：C 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设随机变量，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 12. 展开式中各项的系数和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令计算可得. 【详解】对于，令可得展开式中各项的系数和为. 故答案为： 13. 袋子中有10十个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． ①在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________． ②两次都摸到白球的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率. 【详解】解：设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求， 因为 ， ， 所以， 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 . 因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为. 故答案为：；. 14. 随机变量X的分布列如下： 其中a，b，c成等差数列，则_______，若则方差_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】 离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得；由即可求出，，由均值计算公式计算均值，进而由方差计算公式计算出方差. 【详解】解：，，成等差数列， ， ，，， ； ，且，，成等差数列， ① 又， 即 ② 由①，②解得：，， 又， ， . 故答案为：，. 15. 已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元/套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元/套时，每日可售出套． （1）实数______； （2）若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格 ______元/套时（精确到），日销售该商品所获得的利润最大． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，，根据求出，设商店日销售该商品所获得的利润为，则，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解. 【详解】设，， 依题意，解得，则，； 设商店日销售该商品所获得的利润为，则由题可得： ，. 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值， 故当销售价格时，日销售该商品所获得的利润最大. 故答案为：； 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （1）求的值； （2）设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第项的二项式系数最大； 条件②：第项与第项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选条件及二项式系数的特征计算可得； （2）利用赋值法求得奇次项系数和. 【小问1详解】 若选①：只有第项的二项式系数最大，则展开式中共有项，所以； 若选②：第项与第项的二项式系数相等，即，所以； 若选③：所有二项式系数的和为，则，所以； 【小问2详解】 因为， 令得， 令得， 两式相减得，所以， 即展开式中所有奇数项的系数和为． 17. 某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. （1）从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； （2）采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）首先求出抽一次抽到礼品果的概率，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，根据二项分布的概率公式计算可得； （2）依题意的可能的取值为，，，，求出所对应的概率，从而得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 设从这个水果中随机抽取个，其为礼品果为事件，则， 现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则， 所以恰好有个水果是礼品果的概率为. 【小问2详解】 用分层抽样的方法从这个水果中抽取个， 其中精品果有个，非精品果有个， 再从中随机抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，，，， 所以，， ，； 的分布列为： 0 1 2 3 则. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的零点个数． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性，极值，判断函数的零点即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以切点为，， 所以切线的斜率为， 所以切线的方程为. 【小问2详解】 的定义域为：， ， 令，解得，或， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； 所以当时，有极大值为， 当时，有极小值为，所以为函数的一个零点， 当时，，所以在上有一个零点， 故函数有2个零点. 19. 某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． （1）求至少回答正确一个问题的概率； （2）求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意随机变量的所有可能取值为，，，，，，求出对应概率，即可得分布列. 【小问1详解】 设至少回答正确一个问题为事件，则； 【小问2详解】 这位同学回答这三个问题的总得分的所有可能取值为，，，，，， 所以，， ，， ，， 随机变量的分布列是 0 10 20 30 40 20. 已知函数，． （1）若是函数的极值点，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）已知，当，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义可构造方程求得，再检验即可； （2）分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到原函数的单调区间； （3）令，可求得；令，利用导数和零点存在定理可确定即的正负，从而得到的单调性和最值，通过最值可知，进而得到大小关系. 【小问1详解】 因为，所以， 是的极值点， ，解得，经检验符合题意； 【小问2详解】 函数定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 的单调递增区间为；单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 令， 则， 令，则， 函数在上单调递增， 又，，存在唯一零点，使得， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 又，即，，， 在上恒成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 21. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. （1）若具有性质，且，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”. 【答案】（1）．（2）不具有性质，理由：的公差为，的公比为， 所以，． ． ，但，，， 所以不具有性质． （3）证明：充分性： 当为常数列时，． 对任意给定的，只要，则由，必有． 充分性得证． 必要性： 用反证法证明．假设不是常数列，则存在， 使得，而． 下面证明存在满足的，使得，但． 设，取，使得，则 ，，故存在使得． 取，因为（），所以， 依此类推，得． 但，即． 所以不具有性质，矛盾． 必要性得证． 综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，得到，结合求解即可． （2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得． 通过计算，，，，即知不具有性质． （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 【详解】（1）因为，所以，，． 于是，又因为，解得． （2）略 （3）略 【考点】等差数列、等比数列、充要条件的证明、反证法 【名师点睛】本题对考生的逻辑推理能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，熟练掌握等差数列、等比数列的相关知识及反证法是基础，灵活应用已知条件进行推理是关键.本题易错主要有两个原因，一是不得法，二是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2023~2024学年度第二学期高二期末检测 数学 2024．7 1.本试卷共页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答. 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. 15 C. D. 30 2. 若数列是等比数列，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（ ） A. B. C. D. 4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. 和 B. C. D. 6. 随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为等比数列，若，，，，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角” ．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第项为（ ） A. B. C. D. 9. 已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（ ） A. 数列是递增数列 B. 数列是递减数列 C. 数列是递增数列 D. 数列是递减数列 10. 已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 设随机变量，则__________． 12. 展开式中各项的系数和为__________． 13. 袋子中有10十个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． ①在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________． ②两次都摸到白球的概率为__________． 14. 随机变量X的分布列如下： 其中a，b，c成等差数列，则_______，若则方差_____． 15. 已知某商品的日销售量单位：套与销售价格单位：元/套满足的函数关系式为，其中，为常数．当销售价格为元/套时，每日可售出套． （1）实数______； （2）若商店销售该商品的销售成本为每套3元（只考虑销售出的套数），当销售价格 ______元/套时（精确到），日销售该商品所获得的利润最大． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知二项式，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题： （1）求的值； （2）设，求展开式中所有奇数项的系数和． 条件①：只有第项的二项式系数最大； 条件②：第项与第项的二项式系数相等； 条件③：所有二项式系数的和为． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 某种水果按照果径大小可分为四级：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 假设用频率估计概率. （1）从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； （2）采用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中不放回地随机抽取3个，若表示抽到的精品果的数量，求的分布列和期望． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的零点个数． 19. 某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功． （1）求至少回答正确一个问题的概率； （2）求这位同学回答这三个问题的总得分的分布列． 20. 已知函数，． （1）若是函数的极值点，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）已知，当，试比较与的大小，并说明理由． 21. 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质. （1）若具有性质，且，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由； （3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $