江西省万载二中2023-2024学年高二下学期期末考试数学B卷

江西省万载二中2023-2024年第二学期期末考试高二年级数学试卷 考试范围：必修一预备知识、选择性必修二；考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共40分） 1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．已知，，则是的（     ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．公差不为零的等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 4．已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．62 B．50 C．40 D．22 5．数列的前n项和为，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．2 7．函数的图象如图所示，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．函数的导函数的图象如图所示，则（    ）   A．是函数的极小值点 B．3是函数的一个极 C．在处的切线的斜率大于0 D．的单减区间为 二、多选题（本大题共18分） 9．已知函数f（x）=（x-a）（x-3）2，当x=3时，f（x）有极大值，则a的取值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 10．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知正数x，y满足，则（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最小值为 三、填空题（本大题共15分） 12．数列的前n项和为，则 . 13．中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 里. 14．已知函数，若曲线在处的切线方程为，则 ． 四、解答题（本大题共77分） 15．（本题13分）设全集为，，. (1)求； (2)若,,求实数的取值范围． 16．（本题15分）（1）已知，，，求证：； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17．（本题15分）求下列函数的导函数． (1)； (2)； (3)． 18．（本题17分）已知数列满足，． (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，，求的前n项和． 19．（本题1分）已知，，是自然对数的底数. (1)当时，求函数的极值； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】先求出集合，再求出图中阴影部分表示的集合；最后利用集合的子集个数公式即可求解. 【详解】由图可知：阴影部分表示的集合为. 因为集合， 所以， 则， 所以阴影部分表示的集合的子集个数为. 故选：B. 2．B 【分析】分别求得对应命题的范围，根据集合语言和命题语言的关系，即可判断. 【详解】由得， 由得， 则是的必要不充分条件. 故选：B. 3．C 【分析】根据等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质即可得解. 【详解】设公差为， ， ，∴，． 故选：C． 4．A 【分析】设数列的公比，由题意列出方程组，求得，由等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设数列的公比为，由题意可得， 解得，，则. 故选：A. 5．D 【分析】根据给定的通项公式，利用裂项相法求和即得. 【详解】依题意，， 则， 所以. 故选：D 6．A 【分析】根据递推式写出数列前面几项得出数列周期，进一步即可求解. 【详解】由题意可得：， 由此可以发现数列的周期是3， 从而. 故选：A. 7．C 【分析】根据题意，分析和的几何意义，结合图象分析可得答案． 【详解】根据题意的几何意义为在点B处切线的斜率， 的几何意义为在点A处切线的斜率， ，其几何意义为割线AB的斜率， 则有． 故选：C 8．D 【分析】根据导函数图象上点的坐标特征，依次判断导函数值的符号，得出原函数的单调性，从而得出极值点情况和切线斜率的正负，一一判断选项即得. 【详解】因，当时，，时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 对于A，由上分析知是函数的极大值点，故A错误； 对于B，由上分析知，3不是函数的极值点，故B错误； 对于C，由上分析知，，即在处的切线的斜率小于0，故C错误； 对于D，由上分析知，的单减区间为,故D正确. 故选：D. 9．ABC 【分析】求得导数函数只需即可满足题意. 【详解】 令 ，则或， 当时，即时，在单调递增，单调递减，单调递增， 此时，当x=3时，f（x）有极大值， 则a的取值可以是4,5,6. 故选：ABC. 10．AD 【分析】利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式列方程，整理可得，再由等差中项的性质及通项公式求，即可判断各选项的正误. 【详解】由题设，若的公差和首项分别为，而， ∴，整理得，又公差和首项都不等于0， ∴，故D正确，C错误； ∵， ∴，故A正确，B错误. 故选：AD 11．AD 【分析】A选项，由基本不等式求出；B选项，求出；C选项，在A选项基础上得到；D选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】A选项，正数x，y满足，由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为2，B错误； C选项，由A选项知，，故， 当且仅当时，等号成立，所以，故的最大值为2，C错误； D选项，由于正数x，y满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：AD 12． 【分析】由及递推关系求结果. 【详解】. 故答案为： 13．96 【分析】由等比数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列， 公比，， 因为，解得， 所以（里）. 故答案为：96. 14． 【分析】利用导函数和切线斜率求出的值，利用解析式和切点坐标求出的值，可得. 【详解】函数，， 若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率， 则有，解得， 所以． 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用集合运算即可求解； （2）由得到，借助集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）全集为R， ， ， 所以 （2）， 因为 ， 所以 ， 由题意知   ， 解得 所以实数的取值范围是. 16．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）由乘“1”法结合基本不等式即可得证； （2）由（1）中结论可得，由此转换成解一元二次不等式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以， （当且仅当时等号成立）, 因此有 . （2）由于，可将x看作（1）中的a，看作（1）中的b， 根据（1）的结论，则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4， 所以有成立，解得：. 所以m的取值范围为. 17．(1) (2) (3) 【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算. 【详解】（1） ； （2）； （3）． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据数列递推公式进行合理变形得出，利用等差数列的定义可判断并求得数列的通项公式； （2）依题求得，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）由，可得， 即，即， 故数列是等差数列，其首项为，公差为1， 则，解得； （2）由可得， 则. 19．(1)极小值为0，无极大值. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. （2）方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. （3）证明：，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 答案第6页，共10页 答案第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$