4.1《因式分解》暑假巩固练习 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册暑假典题巩固练习 4.1 因式分解 一、基础知识 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 二、典题练习 一、单选典题练习 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．3abc3＝3c•abc2 B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．4t2﹣9＝（2t+3）（2t﹣3） D．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x 2．已知x﹣5是多项式2x2+8x+a的一个因式，则a可为（　　） A．65 B．﹣65 C．90 D．﹣90 3．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 4．有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式x2﹣ky2总能进行因式分解；④若（t﹣2）2t＝1，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（　　） A．①④ B．①③④ C．②③ D．①② 5．已知多项式ax2+bx+c分解因式后结果2（x﹣3）（x+1），则b，c的值为（　　） A．b＝3，c＝﹣1 B．b＝﹣6，c＝2 C．b＝﹣6，c＝﹣4 D．b＝﹣4，c＝﹣6 6．如果x﹣2是多项式x2﹣4x+k的一个因式．则k的值为（　　） A．﹣4 B．1 C．4 D．8 二、填空典题练习 7．若多项式x2+6x+k能因式分解，则正整数k的值等于 　 　． 8．若a，b为整数，且x2﹣x﹣1是ax9+bx8+1的一个因式，则a的值为 　 　． 9．已知关于x的三次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为　 　． 10．若多项式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，则m的值是　 　． 11．如果x2+6x+m因式分解得（x+2）（x+4），则m＝　 　． 12．多项式x2+px﹣4可分解为两个一次因式的积，整数p的值是　 　． 三、解答典题练习 13．已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式及k的值． 14．阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值． 解：设另一个因式是（2x+b）， 根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）． 展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b． 所以，，解得 所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值． 15．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：分解因式：x3﹣5x2+4 解答：对于任意一元多项式f（x），其奇次项系数之和为m，偶次项系数之和为n，若m＝n，则f（﹣1）＝0，若m＝﹣n，则f（1）＝0．在x3﹣5x2+4中，因为m＝5，n＝﹣5，所以把x＝1代入多项式x3﹣5x2+4，得其值为0，由此确定多项式x3﹣5x2+4中有因式（x﹣1），于是可设x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），分别求出p、q的值，再代入x3﹣5x2+4＝（x﹣1）（x2+px+q），就容易分解多项式x3﹣5x2+4，这种分解因式的方法叫做“试根法”． （1）上述式子中p＝　 　，q＝　 　； （2）对于一元多项式x3﹣5x2+3x+9，必定有f（ 　 　）＝0； （3）请你用“试根法”分解因式：x3﹣5x2+3x+9． 16．（1）试说明代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t）的值与s、t的值取值有无关系； （2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求ab的值； （3）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 17．先阅读下面的内容，再解决问题． 如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式． 如：①因为36＝4×9，所以4和9是36的因数； 因为x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），所以x+1和x﹣2是x2﹣x﹣2的因式． ②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下： 解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式 ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2＝（x+1）（mx+n） ∵当x＝﹣1时，（x+1）（mx+n）＝0 ∴当x＝﹣1时，x2+ax﹣2＝0 ∴1﹣a﹣2＝0 ∴a＝﹣1 （1）若x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式，则m＝　 　． （2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求的值． 18．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴n+3＝﹣4 m＝3n 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21． 问题： （1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a＝　 　； （2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b＝　 　； （3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值． 参考答案 一、单选典题练习 1-6．CDAADC． 二、填空典题练习 7．9或8或5． 8．21． 9．x2+2.5x． 10．2． 11．8． 12．0，±3． 三、解答典题练习 13．解：设另一个因式为（2x+a），得2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+a） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（a﹣10）x﹣5a ∴， 解得：， ∴另一个因式为（2x+13），k的值为65． 14．解：设另一个因式是（3x+b）， 根据题意，得3x2+10x+m＝（x+4）（3x+b）． 展开，得3x2+10x+m＝3x2+（b+12）x+4b． 所以，，解得：， 所以，另一个因式是（3x﹣2），m的值是﹣8． 15．解：（1）∵x3﹣5x2+4 ＝（x﹣1）（x2+px+q） ＝x3+px2+qx﹣x2﹣px﹣q ＝x3+（p﹣1）x2+（q﹣p）x﹣q， ∴p﹣1＝﹣5，q＝﹣4， 则p＝﹣4，q＝﹣4， 故答案为：﹣4；﹣4； （2）∵多项式x3﹣5x2+3x+9的奇次项系数之和为1+3＝4，偶次项系数之和为﹣5+9＝4， 则f（﹣1）＝0， 故答案为：﹣1； （3）由（2）可知因式分解后必有因式（x+1）， 设x3﹣5x2+3x+9＝（x+1）（x2+ax+b）， 则（x+1）（x2+ax+b） ＝x3+ax2+bx+x2+ax+b ＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b， 则a+1＝﹣5，b＝9， 即a＝﹣6，b＝9， ∴x3﹣5x2+3x+9＝（x+1）（x2﹣6x+9）＝（x+1）（x﹣3）2． 16．解：（1）代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系． ∵（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t） ＝s2+2st+s﹣2ts﹣4t2﹣2t+4t2+2t ＝s2+s， ∴代数式的值与t的值取值无关系，与s的值取值有关系． （2）（ax﹣b）（2x2﹣x+2） ＝2ax3﹣ax2+2ax﹣2bx2+bx﹣2b ＝2ax3﹣（a+2b）x2+（2a+b）x﹣2b， ∵积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4， ∴2a+b＝0，﹣2b＝﹣4， ∴a＝﹣1，b＝2． ab＝1． （3）设另一个因式为（x+m）． 根据题意得，（x+m）（2x﹣5）＝2x2+3x﹣k， x2﹣5x+2mx﹣5m＝2x2+3x﹣k， x2+（2m﹣5）x﹣5m＝2x2+3x﹣k， ∴2m﹣5＝3，﹣k＝﹣5m， ∴m＝4，k＝20， ∴另一个因式：（x+4），k是20． 17．解：（1）∵x+5是整式x2+mx﹣10的一个因式， ∴存在一个整式（mx+n），使得x2+mx﹣10＝（x+5）（mx+n）， ∵当x＝﹣5时，（x+5）（mx+n）＝0， ∴当x＝﹣5时，x2+mx﹣10＝0， ∴25﹣5m﹣10＝0， ∴m＝3； 故答案为：3； （2）∵整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1， ∴存在一个整式（3x2+mx﹣1），使得3x4﹣ax2+bx+1＝（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）， ∴当x＝1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a+b+1＝0①， 当x＝﹣1时，（x2﹣1）（3x2+mx﹣1）＝0， 即3x4﹣ax2+bx+1＝0， 则3﹣a﹣b+1＝0②， 联立①②解得a＝4，b＝0． ∴2． 学科网（北京）股份有限公司 $$