江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

江苏省南京市金陵中学2023—2024学年高二下学期期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3 2. 若关于的不等式的解集为或，则（ ） A. 70 B. 90 C. 180 D. 495 3. 已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（ ） A. 3 B. －3 C. 2 D. －2 4. 已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（ ） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 7. 已知函数的最小正周期为，若在区间上恰有8个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知动点分别在直线与上移动，则线段的中点到坐标原点的距离可能为（ ） A. B. C. D. 10. 设的内角的对边分别为．已知，则（ ） A. 的外接圆半径为 B. C. D. 为锐角三角形 11. 围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一．东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率．甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率．若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 存在，对任意的，都有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是______．（用数字作答） 13. 已知等边的边长为1，若平面内一点满足，则与夹角的余弦值为______． 14. 一个顶点为，底面中心为的圆锥的体积为，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，． （1）求的离心率； （2）若射线交椭圆于点，且，求的值． 16. 如图，在直三棱柱中，为的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长度． 17. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）是否存在，使得在区间上的最小值为且最大值为2？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知数列，其中数列是等差数列，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设数列的前项和为，记集合且，求集合中所有元素的和． 19. 已知函数，且． （1）求的最大值； （2）判断与的大小关系，并说明理由； （3）判断，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由． 江苏省南京市金陵中学2023—2024学年高二下学期期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）； （2）． 【16题答案】 【答案】（1） 由题意知平面，又平面， 所以， 因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形为正方形，所以， 因为平面， 所以平面． 又平面，所以， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面． （2）6. 【17题答案】 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增． （2）存在，，理由如下： 若在区间有最大值2和最小值-2， 由知，在区间上单调递减，上单调递增． 若，则在区间上单调递减，， 所以，解得 若，则在区间上单调递减，上单调递增． 的最小值为的最大值为和中较大的值． 当，即，即时, 即，解得，舍去； 当，即，即时，， 即，即，无解． 综上可得． 【18题答案】 【答案】（1），； （2）； （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） ，证明如下： 由题意可知，，，， 又由（1）可知，又因为， 所以， 则 ， 又，， 所以； （3） ，，能作为三边长，理由如下： 由（2）知，，同理， 又， 即任意两边之和大于第三边，，，能作为三边长， 设当作边时所对的角为， 则 ， 又因为，，所以， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为， 即为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $