精品解析：河南省驻马店市新蔡县新蔡县第一高级中学2023-2024学年高一下学期7月月考数学试题

新蔡县第一高级中学高一2024年7月份期末模拟考试数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（ ） A. B. C. D. 4. 我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若上有两点到平面距离相等，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与没有公共点 D. 若，则与一定相交 6. 已知，是函数零点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象可以由的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到 B. 函数是偶函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的最小正周期为 8. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 每一个直角三角形的面积为 B. C. D. 11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．如图，在堑堵中，，且，过点分别作于点于点，则下列结论正确的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 直线AE与平面ABC所成的角为 C. D. 堑堵的外接球的体积为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则_________________. 13. 已知中，，，，则在方向上的数量投影为______． 14. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的值. （2）设为正实数，已知， 求①的值；②的值. 16. 锐角中角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P. （1）令，，用，表示； （2）证明：； （3）若，，，求∠MPN的余弦值. 18. 如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． （1）若点在棱上，平面，求证：； （2）求点到平面距离． 19. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）记1号座舱与5号座舱高度之差绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新蔡县第一高级中学高一2024年7月份期末模拟考试数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：B 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的值，利用同角三角函数间基本关系求出的值，继而求出的值，原式利用诱导公式化简将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】，， 当时，，此时； 当时，，此时 故选：B 3. 已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出与向量共线的单位向量，再判断即得. 【详解】依题意，，与共线的单位向量为或. 故选：B 4. 我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合面度制的定义，以及扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设角所在的扇形的半径为，则，解得， 故. 故选：D. 5. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若上有两点到平面距离相等，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与没有公共点 D 若，则与一定相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行意义判断A；利用面面平行的意义判断CD；由的位置关系判断D. 【详解】对于A，上有两点到平面距离相等，平面可以过这两点的中点，此时与相交，A错误； 对于BC，，则没有公共点，由，得与没有公共点， 与是平行直线或者是异面直线，C正确，B错误； 对于D，，则或与是相交直线，当时，，D错误. 故选：C 6. 已知，是函数的零点，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，，再由诱导公式变形，最后由和（差）角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切. 【详解】因为，是函数的零点， 所以，， 所以 . 故选：B 7. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象可以由的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到 B. 函数是偶函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的最小正周期为 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则判断A，求出函数的定义域即可判断B，代入法检验C，根据正切函数的性质判断D. 【详解】对于A：将的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到，故A错误； 对于B：由，解得， 即的定义域为， 则的定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故B错误； 对于C：因为，所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D：函数的最小正周期，故D错误. 故选：C 8. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形的外接圆圆心为，连接，由勾股定理及球体积公式计算即可． 【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则， 设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则， 所以， 因为该艺术吊灯总高度为14，，所以， 设球半径为，则， 在中，，解得， 所以球的体积为， 故选：C． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的几何运算及数量积逐一计算判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：BCD. 10. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 每一个直角三角形的面积为 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知，利用正方形、直角三角形的性质以及和角公式计算求解. 【详解】由题可知，可知大的正方形的边长为，小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为，故A正确； 如图，设直角三角形的两直角边分别为，则，， 所以，则，如下图， 因为，，，， 所以，故B错误； ，故C正确； 因为，，，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”．如图，在堑堵中，，且，过点分别作于点于点，则下列结论正确的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 直线AE与平面ABC所成的角为 C. D. 堑堵的外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，证明线面垂直判断A；求出线面角的大小判断B；利用线面垂直的判定性质推理判断C；确定堑堵的外接球球心位置，计算判断D. 【详解】对于A，在堑堵中，平面，而平面， 则平面平面，又平面平面，， 平面，因此平面，又四边形为矩形，则四棱锥为“阳马”，A正确； 对于B，显然平面平面，平面，则是在平面内的射影， 是直线AE与平面所成的角，由，， 得，又，则，B错误； 对于C，由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 于是，又，平面，因此平面， 而平面，则，C正确； 对于D，由平面，平面，得， 而，则平面，平面，得， 由选项B知，点为的中点，因此， 则点为堑堵的外接球球心，球半径为，体积为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 在中，角的对边分别为且若三角形的面积为且则_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换求得，根据三角形面积公式可得，由可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由正弦定理，得，又， 所以， 得，又， 所以，即，又，所以； 由，得， 由，得，所以， 由余弦定理，得， 由，解得. 故答案为：. 13. 已知中，，，，则在方向上数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 14. 早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，切线方程为，Ω的水平截面为圆环，外半径为，内半径为，故截面面积，利用祖暅原理，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥．Ω与圆锥的体积相等，直接用圆锥的体积公式求V． 【详解】设切线方程为x＝ky+1，代入y＝x2，得kx2﹣x+1＝0，由＝1﹣4k＝0，得， 故切线方程为，且切点坐标为 过点（0，t）（0≤t≤1）作Ω的水平截面，截面为圆环， 当y＝t时，代入得截面圆环外半径， 当y＝t时，代入y＝x2得截面圆环内半径，截面圆环面积． 为了截出面积为的图形，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥PO， 圆锥及其轴截面如下图：其中,， 在距离底面为t的处作底面的平行截面，设此时截面半径为r0， ，即，解得， 此截面的面积为，与截面圆环面积相同， 圆锥体积为，所以的体积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的值. （2）设为正实数，已知， 求①的值；②的值. 【答案】（1）=；（2）①；② . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系求解即得. （2）利用指数运算法则计算即得. 【详解】（1）由，得，即， 则，由，得，则， 所以. （2）①正实数满足：，两边平方得，所以； ②，由①知，，两边平方得，所以. 16. 锐角中角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； 【小问2详解】 由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P. （1）令，，用，表示； （2）证明：； （3）若，，，求∠MPN的余弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，结合可解； （2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得； （3）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小. 【小问1详解】 由题可知是的重心，且， 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得 . 【小问3详解】 因为，，， 所以， 所以，即的余弦值为. 18. 如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2． （1）若点在棱上，平面，求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）取的中点，连接，即可得到，再由面面垂直的性质得到平面，再由设点到平面的距离为，则，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，所以平面平面， 平面，所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，依题意，所以且， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 连接、，则，所以， 又，，，， 所以 ， 又平面，平面，所以， 所以， 则， 则， 所以， 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面距离为. 19. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟． （1）求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式； （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式； （2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解； 【小问1详解】 设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为 则， ∴， 依题意，∴， 当时，∴， ∴． 【小问2详解】 令，即， ∴， ∵，∴， ∴或， 解得或， ∴或时，1号座舱与地面的距离为17米． 【小问3详解】 依题意， ∴ 令，解得， 所以当时，H取得最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$