精品解析：辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（解析版） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 直接代入弧长与圆心角的计算公式即可. 【详解】根据公式得，，所以扇形圆心角的弧度数为. 故选：C. 2. 已知平面向量，，且，则 A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出m，然后由向量减法的坐标表示和向量模公式可得. 【详解】， ，. 故选：C. 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式可得答案. 【详解】由题意可得的面积为. 故选：B 4. 以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解. 【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求； 对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求； 对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求; 对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求； 故选：B 5. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理解三角形即可. 【详解】， 所以. 故选：D. 6. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出在上的图象，考虑直线与其交点，从而可得的值，故可得的值. 【详解】在上的图象如图所示： 令，则， 令，故,即. 由图可得， 故， 故选：A. 7. 已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，利用同角三角函数商数关系和平方关系可得，解方程即可得，，即可得解. 【详解】由得即， 即， 解得或，由可得， 或， ，，显然MN与x轴交于点， . 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了转化化归思想，属于中档题. 8. 在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，结合二倍角公式判断甲、乙，利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式判断丙，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式判断丁. 【详解】对于甲:，由正弦定理可得， 即，又，所以或，即或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于乙:，由正弦定理可得， 所以， 又，所以，， 所以， 即，又，所以或， 即或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于丙:，由正弦定理可得， 所以，又且， 所以，所以，即，所以为等腰三角形； 对于丁:，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 即， 所以或， 又且， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式一一计算. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列公式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公司号、二倍角公式、诱导公式、降次公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由差角余弦公式有，所以A选项错误. 由倍角余弦公式有，B选项正确. 由诱导公式有，C选项正确. 由倍角余弦公式有，D选项正确. 故选：BCD 10. 若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可． 【详解】解：因为∈[0，2π]，sinsincoscoscos＝0， 则或， 故选：CD． 11. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 是奇函数 B. 的单调递增区间为， C. 在上的值域为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到， 则是奇函数，故A、D正确； 令，，解得，， 故的单调递增区间为，，故B正确． 因为，，则，所以在上的值域为，故C错误． 故选：ABD 12. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ） A 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，，，则的面积为 D. 若，，，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，则，进而利用正弦定理化边为角即可判断A；利用正弦定理角化边为角得，再利用余弦定理即可判断B；利用余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可判断C；利用正弦定理求得，即可判断D. 【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得， 所以，因为，所以，即为钝角， 所以是钝角三角形，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 即，解得或， 当时，， 当时，， 所以的面积为或，故C错误； 对于D，由正弦定理得，即， 因为，所以，为锐角， 所以存在满足条件的有两个，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量与的夹角为，且，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义即可得解. 【详解】因为，，与夹角为， 所以. 故答案为：. 14. 已知向量，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直，得出数量积为0，求出的值，即可求的值． 【详解】解：因为，所以 即： 所以，即，， 故答案为：. 【点睛】本题考查两个平面向量的垂直关系的数量积公式，还利用辅助角公式化简和特殊角的三角函数值，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 15. 如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，根据图象过求出，可得函数的解析式，从而得到的值． 【详解】根据函数，的部分图象，，两点之间的距离为5， 可得，求得． 根据图象过，可得，求得， ， ，可得， 故， 故答案为：． 16. 已知正三角形ABC按如图所示的方式放置，，点A．B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则的最大值是___________． 【答案】12 【解析】 【分析】设，，写出点的坐标，根据数量积的坐标运算及三角函数的最值即可求解. 【详解】设， 则，， 所以 \ ， 故当，即时，有最大值，是12． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，三角函数的恒等变形、三角函数的最值，属于中档题. 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17. 已知分别为三个内角的对边，. （1）求的值； （2）若，求b的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同一个角的正余弦平方和为1求解即可； （2）由正弦定理，代入原式求出b. 【小问1详解】 在中，因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，，又， 所以. 18. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系求出，再根据二倍角的正弦公式即可得解； （2）根据二倍角的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 . 19. 已知向量，，其中． （1）若，求角； （2）若，求的值． 【答案】（1）或；（2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得，根据数量积的坐标表示可求得，由此可求出答案； （2）由题意得，则，由此可求出，再根据二倍角的余弦公式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 即， ∴或； （2）∵， ∴， 又， ∴， 即为， 即有， 可得， ∴． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示及其应用，考查倍角公式和同角的平方关系，属于基础题． 20. 已知函数. （1）把化为的形式，并求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解； （2）由正弦函数的单调区间可得． 【小问1详解】 （1）， 所以最小正周期为． 【小问2详解】 由，，解得，， 所以的增区间为． 21. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若. （1）求角的大小； （2）若，求面积取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角A；（2）利用正弦定理将所给等式转化为关于a、b、c的等式，结合余弦定理即可求出a，从而可得，代入三角形面积公式并将角统一为B，即可根据三角函数的值域求得三角形的面积的范围. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，，所以，， 所以，又，所以； （2）由正弦定理，，， 由得：， 即①，由余弦定理得，解得， 所以， ， ∵为锐角三角形，∴且， 即，∴， ∴，∴. 面积的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式、正弦型函数的值域，属于中档题. 22. 已知函数. （1）已知，求的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变化化简得，得到，然后将利用诱导公式，余弦的倍角公式转化计算； （2）根据（1）求出当时，进而，原不等式等价于，看成关于的一次函数，其端点函数值大于等于0，得，化简即可. 【详解】解：（1） ， ， . （2）当时，，可得， 由，不等式可化为 ，有. 令，，则， 若不等式恒成立，则等价于，解得：. 故实数的取值范围为. 【点睛】本题考查三角函数恒等变形和化简求值，与三角函数相关的不等式恒成立问题求参数取值范围问题，属中档题. （1）三角函数知值求值是，要将已知中的角进行整体处理，将所求式子转化为已知角的三角函数的形式，然后综合利用公式计算； （2）不等式恒成立问题要注意先进行等价转化，注意换元思想方法的应用，等价转化为二次函数在闭区间上恒成立问题，利用二次函数的图象和性质转化求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（解析版） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，且，则 A. B. C. D. 10 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期偶函数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图像与函数的图像交于M，N两点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列公式正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 若∈[0，2π]，sinsincoscos0，则的值是（ ） A B. C. D. 11. 将函数图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 是奇函数 B. 的单调递增区间为， C. 在上值域为 D. 12. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，，，则的面积为 D. 若，，，则符合条件的有两个 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量与的夹角为，且，，则的值为______. 14. 已知向量，，若，则值为______. 15. 如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么______. 16. 已知正三角形ABC按如图所示的方式放置，，点A．B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则的最大值是___________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17. 已知分别为三个内角的对边，. （1）求的值； （2）若，求b的值. 18. 已知， （1）求的值； （2）求的值． 19. 已知向量，，其中． （1）若，求角； （2）若，求的值． 20. 已知函数. （1）把化为的形式，并求的最小正周期； （2）求的单调递增区间. 21. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若. （1）求角的大小； （2）若，求面积的取值范围. 22. 已知函数. （1）已知，求的值； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$