精品解析：北京市平谷区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

平谷区2023—2024学年度第二学期教学质量监控试卷 初二数学 注意事项： 1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数，的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如果函数是正比例函数，那么（ ） A. 或 B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 6. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对角分别相等 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 图象必经过点 D. 当时， 8. 如图，中，，分别在上，四边形为菱形，若，则长为（ ） A 3 B. C. 2 D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 10. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为______． 11. 如图，在中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是_____________（写出一个即可）． 12. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为______． 13. 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则________．（填“”或“”） 14. 某经济开发区今年一月份工业产值是亿元，三月份工业产值达到了亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意列方程为_____． 15. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么绳索的长度为________． 16. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处．平面内存在一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18－25题，每题5分，第26－28题每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理依据） 19. 已知直线经过点． （1）求此直线的解析式； （2）若点在该直线上，到轴的距离为2，求的坐标． 20. 如图，在菱形中，交于点，取边中点，连接并延长使，连接． 求证：． 21. 某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量（）与汽车行驶路程（）之间的关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： （1）充满电最多可以行驶 ． （2）汽车每行驶消耗 ． （3）电池中的剩余电量不大于15（）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ （4）现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为元（），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 22. 如图，有长为的篱笆，围成矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体．（墙体的最大可用长度为），如果围成的花圃的面积为，试求的长． 23. 如图，，延长到，使，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，与交于点．若，，求的长． 24. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 25. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．为普及航天知识，某中学八年级举办了一次“航天知识竞赛”，共有200名学生参加．为更好的了解本次比赛得分的分布情况，随机抽取了部分学生的比赛得分，进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息（数据分成5组：，，，，）： a．学生比赛得分频数分布表： 分组/分 频数 频率 2 0.05 0.20 14 0.35 6 015 合计 100 b．学生比赛得分频数分布直方图： c．学生比赛得分在这一组的是： 80 81 86 87 85 81 89 88 85 83 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若得分在85分及以上均为“优秀”，请估计参加这次比赛的200名学生中得分优秀的人数 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与轴交于点． （1）求该函数解析式； （2）求的面积； （3）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 27. 已知，矩形，，对角线交于点，点在射线上，，作，与交于点，与交于点． （1）如图1 ①依题意补全图形，求证：； ②连接，求证：． （2）当在延长线上时，依题意补全图2，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间距离始终足，则称图形与图形相离． （1）已知点． ①与直线为相离图形的点是 ； ②若直线与相离，求的取值范围． （2）设直线、直线及直线围成的图形为，图形是边长为2的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平谷区2023—2024学年度第二学期教学质量监控试卷 初二数学 注意事项： 1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的外角和定理，根据凸多边形的外角和定理求解即可． 【详解】解：任意凸多边形的外角和为， ∴正六边形的外角和为， 故选：B． 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的实数，的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程，根的判别式；当一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， A、，， ∴， ∵的方程中， ∴A不符合题意； B、，， ∴，不符合题意； C、，， ∴，不符合题意； D、，， ∴，符合题意； 故选：D． 4. 如果函数是正比例函数，那么（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的概念，根据正比例函数定义可得且，再解即可，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：， 故选：． 5. 在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，平移后的直线经过点（﹣1，m），则m的值为（ ） A. ﹣1 B. 1 C. ﹣5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出的值． 【详解】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， 把点代入，得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 6. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 两组对角分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的相关性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．（1）菱形四边相等； （2）菱形对角线相互垂直平分且平分一组对角；（3）菱形的对边平行、对角相等邻角互补；（4）菱形的面积等于两对角线乘积的一半．根据矩形及菱形的性质，逐一分析即可进 行解答． 【详解】解：A、菱形和矩形两组对边都分别平行，故A选项不符合题意； B、菱形对角线不相等，故B选项不符合题意； C、菱形对角线互相垂直，矩形对角线互相不垂直，故C选项符合题意； D、菱形和矩形两组对角都分别相等，故D选项不符合题意． 故选：C． 7. 已知一次函数，那么下列结论正确的是（ ） A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、四象限 C. 图象必经过点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项错误，不符合题意； B.由于一次函数的，，所以图象经过第一、三、四象限，故该选项错误，不符合题意； C.将代入中得等式成立，所以图象必经过点，故该选项正确，符合题意； D. 由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，所以当时，，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，中，，分别在上，四边形为菱形，若，则长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 如图：过F作，连接交于O，先说明四边形是矩形可得；再根据等腰三角形的性质及勾股定理可得，进而得到，即即可解答． 【详解】解：如图：过F作，连接交于O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ , ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴, ∴． 故选A． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 10. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 11. 如图，在中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是_____________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据的性质得到，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可． 【详解】解：如图，在中，，则． 当添加时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形是平行四边形， 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是能够灵活应用平行四边形的判定解决问题． 12. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是衡量一组数据的波动情况，掌握数据波动程度越大，方差越大成为解题的关键． 根据甲、乙两单位“综合满意度”评分的折线图的波动情况即可判断方差大小． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，即． 故答案为：． 14. 某经济开发区今年一月份工业产值是亿元，三月份工业产值达到了亿元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为，根据题意列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均每月增长的百分率为，根据题意列出方程即可，理解题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为， 根据题意得：， 故答案为：． 15. 荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小亮想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为，即．此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么绳索的长度为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，可设秋千的绳索长为，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：． 故答案为：5． 16. 一次函数与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，使点落在点处．平面内存在一点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，旋转的性质，平行四边形的性质等知识，先求出A、B的坐标，然后利用旋转的性质，全等三角形的判定与性质求出M的坐标，再分以、为对角线；以、为对角线；以、为对角线，三种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解∶当时，， 当时，，∴， ∴，， ∴， 过M作轴于C， ∵线段绕点逆时针旋转，使点落在点处． ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴； ③以、为对角线， 则， 解得， ∴； 综上，当点N的坐标为或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18－25题，每题5分，第26－28题每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程 （1）根据题意利用公式法求两个解． （2）根据题意利用十字相乘法求两个解． 【小问1详解】 解：（1）， 由于， ， ， ， 【小问2详解】 解：（2）， ， ， ， ， 18. 在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图和证明四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解决此题的关键． （1）根据作图步骤画出图形即可； （2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行判定即可 【小问1详解】 解：补全图形，如图所示； 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵，即， ∴四边形为矩形．（对角线相等且互相平分的四边形是矩形） ∵， ∴四边形为正方形．（对角线互相垂直的矩形是正方形）． 19. 已知直线经过点． （1）求此直线的解析式； （2）若点在该直线上，到轴的距离为2，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将A与B的坐标代入中求出k与b的值，即可确定出解析式； （2）根据平面直角坐标系内的点到y轴的距离等于其横坐标的绝对值得出的横坐标为，再将分别代入（1）中所求解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴ 解得： ∴此函数解析式； 【小问2详解】 解：∵M到y轴的距离为2 ∴， 当时，； 当时， ∴点的坐标为或 20. 如图，在菱形中，交于点，取边中点，连接并延长使，连接． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点，先证出四边形是平行四边形，再由菱形的性质得出，，然后可证出四边形是矩形，进而即可得证，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． 【详解】∵E为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵为菱形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 21. 某品牌新能源汽车充满电后，电池中剩余电量（）与汽车行驶路程（）之间关系如图所示（不计电池耗损及天气影响）．根据图象回答下列问题： （1）充满电最多可以行驶 ． （2）汽车每行驶消耗 ． （3）电池中的剩余电量不大于15（）时，汽车将自动报警．那么行驶多少千米后，汽车将自动报警？ （4）现有一台充满电的新能源汽车，小明驾驶此车行驶了，正好到达充电站，此时充电桩充电费用为元（），请你帮小明算一算此时将电车充满电需花费多少元？ 【答案】（1） （2）12 （3）375千米 （4）37.44元 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像上获取信息、求函数解析式、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）根据函数图像即可解答； （2）根据函数图像即可解答； （3）先求出与x的函数关系式，再令，求得x的值即可； （4）先求出的函数值，再求出需要冲的电量，然后再求费用即可． 【小问1详解】 解：由函数图像可知：充满电最多可以行驶 ． 故答案为：500； 【小问2详解】 解：汽车每行驶消耗． 故答案为：12； 【小问3详解】 解：设与x的函数关系式为：， 把代入，可得，解得：． ∴此函数解析式； 当时，可得：，解得：． 答：行驶375米后，汽车将自动报警． 【小问4详解】 解：当时，， 则将电车充满电需花费． 答：将电车充满电需花费元． 22. 如图，有长为的篱笆，围成矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体．（墙体的最大可用长度为），如果围成的花圃的面积为，试求的长． 【答案】的长为12米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解答本类题目的关键．设的长为，则，根据围成的花圃的面积为建立方程求解，排除不符合实际的解，即可得出结果． 【详解】解：设的长为，则， 由已知，， 则 依据题意列方程得：， 解得：（舍）， 答：的长为12米． 23. 如图，，延长到，使，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，与交于点．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】对于（1），先结合平行四边形的性质及已知条件说明四边形是平行四边形，再说明，可得结论； 对于（2），先求出，再设，表示，然后根据勾股定理求出答案． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， 设，则， 在中，， 解得（舍负）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法． 24. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 25. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．为普及航天知识，某中学八年级举办了一次“航天知识竞赛”，共有200名学生参加．为更好的了解本次比赛得分的分布情况，随机抽取了部分学生的比赛得分，进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息（数据分成5组：，，，，）： a．学生比赛得分频数分布表： 分组/分 频数 频率 2 0.05 0.20 14 035 6 0.15 合计 1.00 b．学生比赛得分频数分布直方图： c．学生比赛得分在这一组的是： 80 81 86 87 85 81 89 88 85 83 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）若得分在85分及以上均为“优秀”，请估计参加这次比赛200名学生中得分优秀的人数 【答案】（1）0.25，40 （2）图见解析 （3）60名 【解析】 【分析】本题考查分布表和直方图，利用样本估计总体，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）利用频数除以频率求出，其他组的频率求出； （2）利用总数乘以频数求出的值，补全直方图即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：0.25，40； 【小问2详解】 解：，，补全直方图如图： 【小问3详解】 解：（名）． 26. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与轴交于点． （1）求该函数解析式； （2）求的面积； （3）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用，解方程组等知识点， （1）先利用待定系数法求出函数解析式即可得解； （2）先利用一次函数的图象的性质求出点C坐标，进而即可求出三角形的面积； （3）由图象知，当在点的左侧时，满足函数的值大于函数的值，进而即可得解； 熟练掌握一次函数的图象和性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴该一次函数的表达式为， 【小问2详解】 解：如图所示， 令，则， ∴， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：令，则， ∴， ∴如图所示，直线与直线交点的坐标为， ∴当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∵， ∴根据图象知， 时符合题意． 27. 已知，矩形，，对角线交于点，点在射线上，，作，与交于点，与交于点． （1）如图1 ①依题意补全图形，求证：； ②连接，求证：． （2）当在延长线上时，依题意补全图2，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①作图见解析，证明见解析；②证明见解析 （2）补全图形见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． （1）①先根据题意补全图形，再根据垂直的定义、矩形的性质可得、，然后根据同角的余角相等即可证明结论；②先根据矩形的性质可得，再根据结合等量代换可得，即，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）先根据题意补全图形，过点D作交的延长线于点N，先证明四边形为平行四边形，然后证明可得，最后根据等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 解：①补全图形如下： 证明：∵， ∴． ∵矩形 ∴． ∴； ②如图：连接， ∵矩形 ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为中点 ∴． 【小问2详解】 解：当在延长线上时，根据题意补全图形如下： 数量关系，证明如下： 证明：如图：过点D作交的延长线于点N， ∵矩形， ∴, 又∵， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 已知：图形上任意一点，图形上任意一点，若点与点之间的距离始终足，则称图形与图形相离． （1）已知点． ①与直线为相离图形的点是 ； ②若直线与相离，求的取值范围． （2）设直线、直线及直线围成的图形为，图形是边长为2的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围． 【答案】（1）①A，B；②或 （2）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识，是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题是解题的关键． （1）①将A，B，C，D四个点的坐标代入直线计算即可判断．②根据直线经过点A和点B计算b的值即可解答； （2）先画出图形，再分三种情形，观察图象得出经过特殊位置的T的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：①∵点， ∴当时，， ∴点A不在直线上， 同理，点不在直线上，点，点在直线上， ∴与直线相离的点是C，D； 故答案为：C，D； ②当直线过点时， ∴, 解得：． 当直线过点时， ∴， 解得：． ∴b的取值范围是或． 小问2详解】 解：如图所示： 图形与图形相离时的取值范围是或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$