精品解析：吉林省延边第二中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段考试数学试卷

延边第二中学2023—2024学年度第二学期第二次阶段考试 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：A 2. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 3. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的性质将化为： f（log2a）f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以f（-log2a）=f（log2a）， 则为：f（log2a）f（1）， 因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log2a|1，解得a2， 则a的取值范围是， 故选D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题． 4. 设，则“”是的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，因为， 所以是奇函数. 因为，所以函数单调递增. 因此， 所以“”是的充分且必要条件. 故选：C 5. 已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 6. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点， 函数的定义域为， , 令，解得 ， ,的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，有极小值， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图象： 由图象得：当时，交点为0个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图象与的图象有两个交点， 则由图可知，实数的取值范围为. 故选：A. 7. 设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（    ） A 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在时取得极值，可求得，，代回验证可得，，再根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意， 因为在时取得极值， 所以， 解得或， 当，时， ， 所以在上单调递增，不合题意， 当，时， ， 所以时，， 时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得极小值，满足题意， 所以， 又，，同号， 所以. 故选： 8. 已知函数，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再利用倒序相加法计算可得； 【详解】因为， 所以 ， 令， 则， 所以， 则， 即. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题：“，都有”的否定为“，使得”； B. 设定义在上函数，则； C. 函数的单调递增区间是； D. 已知，，，则的大小关系为. 【答案】BD 【解析】 【分析】写出全称量词命题的否定可判断A；利用分段函数的解析式计算可判断B；根据复合函数的定义域和单调性可判断C；先判断，，然后根据弧度得到，最后比较大小可判断D. 【详解】对于A，命题：“，都有”的否定为“，使得”， 故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由题可得，解得或， 所以的定义域为， 二次函数的对称轴为， 且在上的单调递增区间为， 根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是， 故C错误； 对于D，因为，， 而 ，所以，所以， 故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为2 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 的极小值为：， 的极大值为：， 有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误； 对C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，故C正确； 对于D，，解得：， 当时，， 切线方程为：，即，故D正确. 故选：. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为函数的“倍伴随区间”，另函数的定义域为，值域也为，则称为的“伴随区间”，下列结论正确的是（ ） A. 若为函数的“伴随区间”，则 B. 函数存在“伴随区间” C. 若函数存在“伴随区间”，则 D. 二次函数存在“3倍伴随区间” 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABC：利用伴随区间的定义来判断；对于D：不妨取，则，列方程求解即可. 【详解】对于A．在上单调递增，又 ∴即，∴（舍）或，A正确； 对于B．在和上单调递减，若存在“伴随区间”则，， 即,，解得或，与矛盾，B错误； 对于C．在上单调递减，假设存在“伴随区间”，，则且， ∴， ∴即或， 因此， ∴在内有两个不同根， 令，∴，，，， ∴，C错误； 对于D．不妨取，则， 所以，解得，故存在，，所以D正确． 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式列式求得，再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 则有,解得：， 所以. 故答案为： 13. 若直线与曲线和圆，都相切，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点的坐标为，利用导数的几何意义列出方程组求得的值，得到切线方程，再利用直线与圆相切，列出方程，求得的值. 【详解】设直线与曲线相切的切点坐标为， 由曲线，可得，则，解得， 所以切线方程为， 因为直线与圆相切， 所以，解得或（舍）． 故答案为：． 14. 定义在R上的函数满足，且， ①的值域为； ②的最小正周期是4； ③当时，； ④方程恰有4个实数解. 上述正确命题的序号是______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】取验证可判断①；由周期定义，结合在上的解析式可判断②；当时，，代入解析式，结合周期性可判断③；转化为与的图象的交点个数问题，作图可判断④. 【详解】对于①，因为，所以①错误； 对于②，因为，所以， 所以4是的周期， 又，所以的最小正周期是4，②正确； 对于③，当时，，所以， 所以，③错误； 对于④，方程恰有4个实数解，等价于与的图象有4个交点. 作出和的图象如图： 由图可知与的图象有且只有4个交点，故④正确. 故答案为：②④ 【点睛】思路点睛：函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，利用图象判断即可. 四、解答题：本题共5小题，满分87分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. 已知集合，集合. （1）若；求实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，建立不等式组，即可求出实数m的取值范围； （2）利用集合法判断充要条件，有建立不等式组，即可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）集合，集合. 当时，显然有，此时，解得：； 当时， 要使，只需或，解得：或无解. 综上： 所以实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，则有. 所以解得：. 所以实数m的取值范围. 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法得到，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证. 【小问1详解】 因为， 当时，所以； 当时， 所以，所以， 经检验当时也成立， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 当时，， 且， 所以单调递增，所以． 17. 已知函数，的解集为． （1）求a，b的值； （2）若是定义在上的奇函数，且当时， （ⅰ）求的解析式 （ⅱ）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先求导，结合题意可得1和2是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解； （2）（ⅰ）由题意根据奇函数的定义以及当时，，可以求出当时的表达式，从而即可进一步求解. （ⅱ）结合导数分析时，的单调性，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性，进而转化为，利用单调性即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又的解集为， 所以1和2是方程的两个根，且， 所以，解得，. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，， 当时，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，， ， 故， 所以. （ⅱ）当时，， ，所以函数在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，， 所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增. 由，得， 所以，即， 所以不等式的解集为. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，然后对函数求导，结合导数可求函数单调区间,即可得解； （2）由不等式的恒成立，结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论，进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）， ①当时，，在区间上单调递增，所以满足条件； ②当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 故， 令，则， 当时，，所以上单调递减，所以， 所以无解，故不符合题意； 综上所述，实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 19. 若给定数列，对于任意，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，． （1）判断数列是否为“型数列”，并证明； （2）求数列的通项公式； （3）若，，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是“型数列”，证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）变形得到，数列是首项为2，公比为2的等比数列，得到，得到结论； （2）在（1）的基础上，累加得到通项公式； （3）求出，参变分离得到，换元后，利用导函数得到函数单调性，进而得到，得到的取值范围. 【小问1详解】 数列是“型数列”，理由如下： 由，得， 因为，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则，， ， 所以数列满足“型数列”的定义， 即数列是“型数列”． 【小问2详解】 由（1）知，，…，， 累加得， 又，所以． 【小问3详解】 由（2）可知，，不等式有解， 整理为，有解，即， 设，，则， 设，，， 所以在上单调递增， ，所以函数的值域为， 则， 当时，，所以， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法， （1）若，采用累加法； （2）若，采用累乘法； （3）若，可利用构造进行求解； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 延边第二中学2023—2024学年度第二学期第二次阶段考试 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A 或 B. 或 C. D. 3. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 4. 设，则“”是的（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（    ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 命题：“，都有”的否定为“，使得”； B. 设定义在上函数，则； C. 函数的单调递增区间是； D. 已知，，，则的大小关系为. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极小值为2 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 一般地，若函数定义域为，值域为，则称为函数的“倍伴随区间”，另函数的定义域为，值域也为，则称为的“伴随区间”，下列结论正确的是（ ） A. 若为函数的“伴随区间”，则 B. 函数存在“伴随区间” C. 若函数存在“伴随区间”，则 D. 二次函数存在“3倍伴随区间” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，，则______． 13. 若直线与曲线和圆，都相切，则a的值为______． 14. 定义在R上的函数满足，且， ①的值域为； ②的最小正周期是4； ③当时，； ④方程恰有4个实数解. 上述正确命题的序号是______. 四、解答题：本题共5小题，满分87分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. 已知集合，集合. （1）若；求实数m的取值范围； （2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，记数列前项和为，证明：. 17. 已知函数，的解集为． （1）求a，b的值； （2）若是定义在上的奇函数，且当时， （ⅰ）求的解析式 （ⅱ）求不等式的解集． 18 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 若给定数列，对于任意，若满足，则称为“型数列”．若数列满足：，，当时，． （1）判断数列是否为“型数列”，并证明； （2）求数列的通项公式； （3）若，，使不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$