预习05 直线的倾斜角与斜率（八大考点）-2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019）

2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习05直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 二、直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 三、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 二、两条直线的位置关系 1.两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 2.两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 考点01 求直线的倾斜角 【方法点拨】求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：. 【例1】直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【例2】已知直线平行于第二、四象限的角平分线，则直线的倾斜角为 （用弧度制表示）． 【变式1-1】已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ）    A． B． C． D．不确定 【变式1-3】已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是 . 考点02 有关直线斜率的问题 【方法点拨】解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． (2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 【例3】已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例4】经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．不存在 【变式2-2】已知点，点，则直线的倾斜角为 ． 【变式2-3】（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 考点03 倾斜角与斜率的取值范围问题 【方法点拨】直线的倾斜角和斜率的关系 （1）直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)； （2）直线的斜率反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 【例5】如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【例6】已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式3-1】图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【变式3-3】已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 考点04 利用直线斜率处理共线问题 【方法点拨】若两直线的斜率相等，则三点共线；反之，若三点共线，则直线的斜率相等(斜率存在时)或直线的斜率都不存在． 【例7】已知三点共线，则的值为 . 【例8】下列各组点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】已知，，三点在同一条直线上，则 ． 【变式4-2】(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知三点、、共线，求点的坐标与所要满足的关系式． 考点05 斜率公式几何意义的应用 【方法点拨】求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 【例9】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【例10】设，比较的大小． 【变式5-1】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【变式5-2】已知实数满足，求的最大值和最小值. 【变式5-3】已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 考点06 两条直线的平行关系 【方法点拨】（1）在判断两直线的平行关系时，应先看两直线的斜率是否存在，然后再进行判断，同时注意不要漏掉两直线重合的情况； （2）平行求参数时利用斜率的坐标公式表示出斜率，由斜率相等列方程求解．但在解题过程中要注意对参数的讨论，不要遗漏直线与x轴垂直的特殊情况．同时，求得值后要注意检验，排除重合的情况． 【例11】下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【例12】已知直线，它们的斜率分别记作，若是方程的两个根，则a的值（    ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【变式6-1】在△ABC中，，，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为 . 【变式6-2】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【变式6-3】已知两条直线，，若与相交，则实数a满足的条件是 . 考点07 两条直线的垂直关系 【方法点拨】两直线垂直与斜率的关系：①与的斜率都存在，分别为，则；②与中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，则 【例13】已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 【例14】已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 【变式7-1】下列说法中，正确的有（    ） ①斜率均不存在的两条直线可能重合； ②若直线，则这两条直线的斜率互为负倒数； ③两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线垂直； ④两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【变式7-3】已知直线的倾斜角，直线，则的倾斜角为 . 考点08 平行、垂直关系在几何中的应用 【例15】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【例16】已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【变式8-1】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【变式8-2】已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 【变式8-3】已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 一、单选题 1．若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 4．已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 7．已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的斜率是 B．直线l的倾斜角是 C．直线l的方向向量与向量平行 D．直线l的法向量与向量平行 三、填空题 8．在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 9．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 . 四、解答题 10．的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 11．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 12．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 13．经过点，的直线的倾斜角为，若点在线段AB的中垂线上，求m，n的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年高二数学暑假复习与预习手册（人教A版2019） 预习05直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 二、直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 三、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 二、两条直线的位置关系 1.两条直线平行 如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有． 2.两条直线垂直 当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然． 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即． 考点01 求直线的倾斜角 【方法点拨】求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围：. 【例1】直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】直线与轴垂直，所以倾斜角为. 故选：D. 【例2】已知直线平行于第二、四象限的角平分线，则直线的倾斜角为 （用弧度制表示）． 【答案】/ 【详解】 设直线的倾斜角为， 因为直线平行于第二、四象限的角平分线，可得直线的斜率为， 所以，可得. 故答案为：. 【变式1-1】已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的倾斜角为，与垂直，所以的倾斜角为. 故选：B. 【变式1-2】如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ）    A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】根据倾斜角的定义可得，该直线的倾斜角为， 故选：B 【变式1-3】已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是 . 【答案】20°，110° 【详解】因为∥l，所以的倾斜角为. 因为，所以的倾斜角为 故答案为：； 考点02 有关直线斜率的问题 【方法点拨】解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用定义式解决． (2)由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式求解． 【例3】已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A 【例4】经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，经过的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：C 【变式2-1】已知直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．不存在 【答案】B 【详解】由l经过可得直线l的倾斜角为，所以直线m的倾斜角为， 又因为，所以直线m的斜率为1， 故选：B. 【变式2-2】已知点，点，则直线的倾斜角为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为， 则 ， 所以直线的倾斜角为； 故答案为：. 【变式2-3】（多选）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 考点03 倾斜角与斜率的取值范围问题 【方法点拨】直线的倾斜角和斜率的关系 （1）直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)； （2）直线的斜率反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 【例5】如图，已知直线的斜率分别为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 【例6】已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 【变式3-1】图中的直线的斜率分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 由图像可得，由倾斜角与斜率的关系可得， . 故选：D. 【变式3-2】已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 【变式3-3】已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 考点04 利用直线斜率处理共线问题 【方法点拨】若两直线的斜率相等，则三点共线；反之，若三点共线，则直线的斜率相等(斜率存在时)或直线的斜率都不存在． 【例7】已知三点共线，则的值为 . 【答案】 【详解】因为三点共线， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 【例8】下列各组点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】A选项：过，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误； B选项：过，的直线斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误； C选项：过点，的直线的斜率．过点，的直线的斜率，，两者相等，故此三点共线．C选项正确 D选项：过点，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误. 故选：C 【变式4-1】已知，，三点在同一条直线上，则 ． 【答案】 【详解】因为，，三点在同一条直线上， 所以，即， 解得． 故答案为：. 【变式4-2】(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 【变式4-3】已知三点、、共线，求点的坐标与所要满足的关系式． 【答案】 【详解】因为两点横坐标不同，所以直线的斜率是． 又由题设知，点在直线上，即与是同一条直线， 当点与点不重合时，两点的斜率与直线的斜率相等， 用两点坐标表示斜率得， 此时与要满足的关系式是，变形得． 当点与点重合时，点的坐标也满足上式． 所以，与满足的关系式是． 考点05 斜率公式几何意义的应用 【方法点拨】求形如的最值，利用的几何意义：连接定点与动点的直线的斜率，借助图形，将求最值问题转化为求斜率的取值范围问题，简化运算过程． 【例9】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 【例10】设，比较的大小． 【答案】 【详解】令， 而可统一成格式， 表示函数上的点到点的斜率，    结合图象与条件，则构造的斜率都是正数， 所以图象的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得. 【变式5-1】已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-2】已知实数满足，求的最大值和最小值. 【答案】. 【详解】因为， 所以， 令 ，则， 所以， 令， 根据对勾函数性质得函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值为； 当时，函数取得最小值为. 故的最大值和最小值. 【点睛】本题考查利用函数单调性求分式函数最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 【变式5-3】已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 考点06 两条直线的平行关系 【方法点拨】（1）在判断两直线的平行关系时，应先看两直线的斜率是否存在，然后再进行判断，同时注意不要漏掉两直线重合的情况； （2）平行求参数时利用斜率的坐标公式表示出斜率，由斜率相等列方程求解．但在解题过程中要注意对参数的讨论，不要遗漏直线与x轴垂直的特殊情况．同时，求得值后要注意检验，排除重合的情况． 【例11】下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【详解】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 【例12】已知直线，它们的斜率分别记作，若是方程的两个根，则a的值（    ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为是方程的两个根，所以，解得. 故选：C. 【变式6-1】在△ABC中，，，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为 . 【答案】 【详解】∵E，F分别为边AC，BC的中点， ∴由三角形中位线可得：EF∥AB. ∴. 故答案为： 【变式6-2】已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为 . 【答案】0或1 【详解】解：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不合题意； 当m≠－2，且m≠－1时， kAB＝， kMN＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 故答案为：0或1 【变式6-3】已知两条直线，，若与相交，则实数a满足的条件是 . 【答案】 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为. 因为与相交，所以，即. 故答案为：. 考点07 两条直线的垂直关系 【方法点拨】两直线垂直与斜率的关系：①与的斜率都存在，分别为，则；②与中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零，则 【例13】已知两条直线和，其斜率分别是一元二次方程的两不等实数根，则其位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面 【答案】B 【详解】由题意，设两条直线和的斜率分别为， 且为一元二次方程的两不等实数根， 则，所以. 故选：B 【例14】已知直线过，且，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】设直线斜率为，直线斜率为， 因为直线过，， 所以斜率为， 因为，所以， 所以，即直线的斜率为. 故答案为：. 【变式7-1】下列说法中，正确的有（    ） ①斜率均不存在的两条直线可能重合； ②若直线，则这两条直线的斜率互为负倒数； ③两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线垂直； ④两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】斜率均不存在的两条直线，倾斜角都为，可能重合，说法①正确； 若直线，可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，说法②错误； 两条直线的斜率互为负倒数，是两条直线垂直的充分条件，说法③正确； 两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线一条倾斜角为，另一条倾斜角为，有，说法④正确. 正确说法有3个. 故选：C. 【变式7-2】已知的倾斜角为45°，经过点．若，则实数m为（    ） A．6 B．－6 C．5 D．－5 【答案】B 【详解】因为，，且， 所以，解得， 故选：B. 【变式7-3】已知直线的倾斜角，直线，则的倾斜角为 . 【答案】 【详解】由直线的倾斜角可得其斜率为， 设的倾斜角为，由直线可得，可得； 又，所以可得. 所以的倾斜角为. 故答案为： 考点08 平行、垂直关系在几何中的应用 【例15】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 【例16】已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【详解】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 【变式8-1】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为 ． 【答案】， 【详解】 设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 【变式8-2】已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】为的垂心    ， 又， 直线斜率存在且， 设，则，解得：     本题正确选项： 【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系. 【变式8-3】已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 一、单选题 1．若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线经过、两点，则其斜率为， 设直线倾斜角为，则， 由于直线的倾斜角范围为大于等于小于， 故该直线的倾斜角为， 故选：B 2．经过两点，的直线的倾斜角为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由于直线AB的倾斜角为，则该直线AB的斜率为， 又因为，，所以，解得． 故选:B． 3．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根， ，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直． 故选：. 4．已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足， 当时，直线l的倾斜角，当时，， 所以直线l的倾斜角的取值范围为. 故选：C 5．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 当时，取，则， 但，即充分性不成立； 当时，取，则， 但，即必要性不成立； 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 二、多选题 6．已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（   ） A．若斜率相等，则平行 B．若平行，则的斜率相等 C．若的斜率乘积等于，则垂直 D．若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】AC 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：AC 7．已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（    ） A．直线l的斜率是 B．直线l的倾斜角是 C．直线l的方向向量与向量平行 D．直线l的法向量与向量平行 【答案】AD 【详解】 A：由题意，知直线l的斜率是，故A正确； B：直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； C：直线l的一个方向向量为，因为， 所以直线l的一个方向向量与向量不平行，故C错误； D：直线l的一个法向量为，因为， 所以直线l的一个法向量与向量平行，故D正确. 故选：AD 三、填空题 8．在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为 ． 【答案】/（0.5） 【详解】设横坐标为，且由题意得， 与相互垂直，，解得,故, 故答案为： 9．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 . 【答案】 【详解】如图所示：设单位圆O上的一点为， 点，，， 则表示直线PA的斜率，因为， 故当P与B重合时，PA的斜率为， 当P与C重合时，PA的斜率最大值为， 所以的值域为.    故答案为：. 四、解答题 10．的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，求的值． 【答案】 【详解】由为直角顶点可得为直角，则， 所以， 即，解得. 故值为. 11．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 12．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 13．经过点，的直线的倾斜角为，若点在线段AB的中垂线上，求m，n的值． 【答案】，． 【详解】因为经过点，的直线的倾斜角为， 所以，解得， 所以，， 设AB的中点为D，则AB的中点D的坐标为， 所以， 因为，所以，即，解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$