精品解析：广东省部分学校2023-2024学年高一下学期联合教学质量检测数学试题

2023—2024学年第二学期联合教学质量检测 高一数学解析版 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 2. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由频率分布直方图可得： ，解得，故①正确； 前三个矩形的面积为， 即第60百分位数为80，故②正确； 估计这200名学生竞赛成绩的众数为，故③错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确； 故选：B 3. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量. 故选：B. 4. 的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理解出或，再根据三角形内角和定理求出，从而可以由面积公式解得． 【详解】由正弦定理得，即，解得， 是三角形内角，或 当时，，； 当时，． 故选：C． 5. 如图正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据台体的结构特征结合台体的体积公式运算求解. 【详解】 如图，过作下底面的投影，垂足为， 上底面对角线长，下底面对角线长， 则， 可得正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 故选：B 6. 苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（ ） A. 30米 B. 33米 C. 36米 D. 44米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数可得，，即可根据余弦定理求解. 【详解】设苏州双塔的高度为h米，依题意可得米，米. 因，所以由余弦定理得， 解得. 故选：B 7. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分第一次接通，第一次没接通第二次接通和第一次，第二次没接通，第三次接通，利用互斥事件和独立事件的概率求解. 【详解】设{第i次拨号接通电话}，． 拨号不超过3次而接通电话可表示为， 所以拨号不超过3次而接通电话的概率为 . 故选：B. 8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 为纯虚数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数除法运算可得，即可判断A，根据复数的减法运算以及几何意义可判断B，根据模长公式可判断C，根据乘法运算，结合纯虚数定义可判断D. 详解】,故A正确， ，对应的点为，故B正确， ，故，C正确， ，不为纯虚数，故D错误， 故选：ABC 10. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对B，若与互斥，则，故B正确； 对于C，若与相互独立，则与相互独立， 所以，故C正确； 对于D，若与相互独立， 则，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点，使得平面 B. 二面角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 的周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当点是棱的中点时，平面，利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；取的中点，可得是二面角的平面角，由余弦定理可判断B；设三棱锥的内切球半径为，利用求出可判断C；将平面沿展开到与平面共面，此时当，，三点共线时，取得最小值可判断D． 【详解】对于A，当点是棱的中点时，平面，因为在正方形中， 点是棱的中点，点是棱的中点，所以． 在正方体中，平面，又平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连接，，， 在中，，， 所以，． 在中，，， 所以，， 所以是二面角的平面角． 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为，故B错误； 对于C，设三棱锥的内切球半径为， ， 又，又 ， 解得，所以三棱锥的内切球的体积为，故C正确； 对于D，将平面沿展开到与平面共面， 此时当，，三点共线时，取得最小值， 所以，又， 所以的周长的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：解答关键点是要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，依据相关定理以及性质，准确求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，，，利用余弦定理求出，由三角形的面积公式，即可求得. 【详解】由余弦定理，， 代入，，， 得，即， 解得或（舍去）， 则的面积为. 故答案为：. 13. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”，或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”，三种情况计算即可，分别计算可得结论. 【详解】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 故答案为：. 14. 如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出该拟柱体的上底面边长，上底面正六边形的边为底边的等腰三角形底边上的高，再依次求出面积即得. 【详解】如图，上底面正六边形的顶点在下底面上的射影分别为点，则， 显然，四边形为矩形，点是下底面正六边形边的中点， 则，，， 底边上的高为，则， 因此，该拟柱体上底面面积为， 下底面面积为，侧面积为， 所以该拟柱体的表面积为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 【答案】（1），20.32小时 （2）21.73小时 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出，利用平均数的定义进行计算； （2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为，从而得到方程，求出答案； （3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率. 【小问1详解】 由，解得， 因为小时， 所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时. 【小问2详解】 时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格， 由题意知，即求60百分位数，又，， 所以60百分位数位于18~22之间， 设60百分位数为，则，解得小时. 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀. 【小问3详解】 易知，5名学生中， 优秀有人，设为， 良好有人，设为， 合格有人，设为. 任选3人，总共有，10种情况， 其中符合的有，共4种， 故概率为. 16. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理实现边角互化，再结合三角形内角和定理和诱导公式可求角. （2）由三角形面积公式和角，可求的值，再结合余弦定理可求，即可得三角形的周长. 【小问1详解】 由 又得 其中 化简得 又得. 即 因为是三角形的内角，所以. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理，得， 得，得， 所以的周长为． 17. 如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为菱形，，为等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，根据边长求出余弦值. 【小问1详解】 平面图形中，连接，因为，， 所以，故，又， 所以四边形为平行四边形， Rt中，由勾股定理得，且， 因为，， 所以为等边三角形，四边形为菱形，为等边三角形， 取中点，连接，则， 连接，，又， 故，即， 又，平面， 平面，平面， 平面平面； 小问2详解】 由（1）知，平面，平面，所以， 作于，连接， 因为，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 在直角中，，，可得， ，故二面角的余弦值为. 18. 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围； （3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 在中由余弦定理 ； 【小问2详解】 在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. . 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到，从而结合第2小问中的结论即可得解. 19. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对总次数分情况讨论，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次、第二次甲均投中， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次，则甲不能获胜， 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次甲未投中，第二次乙未投中，第三次、第四次甲均投中， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次为事件A，乙获胜为事件， 则，， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； 【小问2详解】 若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期联合教学质量检测 高一数学解析版 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 3. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图正四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 6. 苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（ ） A 30米 B. 33米 C. 36米 D. 44米 7. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9 已知复数，，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 为纯虚数 10. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 11. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点，使得平面 B. 二面角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 的周长的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为________． 13. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为______． 14. 如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为，则该拟柱体的表面积为_________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格. （1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. （3）根据社会实践活动成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 16. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长 17. 如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使得. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 19. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $