精品解析：广东省部分学校2023-2024学年高二下学期联合教学质量检测数学试题

2023—2024学年度第二学期联合教学质量检测 高二数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 3. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 4. 5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 12 C. 48 D. 36 5. 已知直线与椭圆相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 四棱锥至多有几个面是直角三角形？（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03 C. 用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D. 用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 10. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 当时，则 D. 当时，则 11. 如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 该正四棱台的高为 C. 若.，则动点的轨迹长度是 D. 过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有______种． 13. 已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为______. 14. 已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 16. 已知数列满足且. （1）求的通项公式. （2）设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求； ②证明：当时，为定值. 17. 已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项； （3）若第k项是有理项，求k的取值集合． 18. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中AD⊥AB，，且，，，点E，F分别为棱，的中点. （1）若平面平面， ①求证：； ②求三棱锥的体积； （2）若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长. 19. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）证明：直线的斜率为定值； （2）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期联合教学质量检测 高二数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数据的平均数，方差，则的平均数和方差分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用平均数和方差的公式计算即可． 【详解】因为的平均数是10，方差是10， 则，， 所以的平均数是， 方差是 故选：A. 2. 已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 3. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 故选：C． 4. 5名同学站成一排拍照，甲、乙要求站在一起，丙不站在两端，则不同的安排方法数有（ ） A. 24 B. 12 C. 48 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑和插空法进行求解. 【详解】将甲乙捆绑，有种情况，将甲和乙看作一个整体， 和除丙外的两个人进行全排列，有种情况， 然后将丙进行插空，两边的空不插，共有2空，故有种情况， 综上，不同的安排方法数有. 故选：A 5. 已知直线与椭圆相切，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 6. 四棱锥至多有几个面是直角三角形？（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】在正方体中考虑一个四棱锥，即可得到四个面均为直角三角形. 【详解】在正方体中，取四棱锥， 其四个侧面均为直角三角形，又四棱锥仅有四个三角形面，所以四棱锥至多有四个面是直角三角形. 故选：C. 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为在区间恒成立，设，利用导数求得的单调性，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上单调递减， 可得在恒成立，即恒成立， 设，则，所以， 所以在单调递减，所以. 故选：B． 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可得，即可得结果. 【详解】因为在内单调递增， 则，即， 又因为在内单调递增， 则，，可得； 令，则，， 构建， 则， 可知在上递减，则，即； 综上所述：. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据构建，利用导数判断其单调性，进而可得. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某校举办了一次法律知识竞赛，为了解学生的法律知识掌握程度，学校采用简单随机抽样从全校2400名学生中抽取了一个容量为200的样本，已知样本的成绩全部分布在区间内，根据调查结果绘制学生成绩的频率分布直方图.对于该组数据，下列说法正确的是（ ） A. 样本的众数为70 B. 样本中得分在区间内的学生人数的频率为0.03 C. 用样本数据估计该校学生成绩在80分以上的人数约为600人 D. 用样本数据估计该校学生成绩平均数约为71.5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率分布直方图众数的定义判断选项A；补全频率分布直方图求指定组的频率判断选项B；由频率计算频数判断选项C；由频率分布直方图平均数的算法判断选项D. 【详解】对A,众数为区间的中点横坐标70，A选项正确； 对B,由，得，得分在区间内的学生人数的频率为0.3 ，B选项错误； 对C,样本中成绩在80分以上的频率约为，用样本估计总体， 总体人数为2400人，其中成绩在80分以上的人数约为，C选项正确； 对D,样本平均数为，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 当时，则 D. 当时，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项. 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C正确； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛： （1）在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，进而转化为直线与圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题. （2）复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值. 11. 如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 该正四棱台的高为 C. 若.，则动点的轨迹长度是 D. 过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，利用余弦定理求出，然后勾股定理证，，从而得证；对于B选项，作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解；对于C选项，求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长；对于D选项，在棱上取点，利用平行作出平面的平行平面，求三角形的面积即可. 【详解】对于选项，因为，所以， 由余弦定理可知， 即，解得， 所以，即，同理可得， 又因为，平面，所以平面，故正确；对于选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，为上靠近点的四等分点， 所以，故错误； 对于选项，由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②， 圆与相交于点，与相交于点， 过点作，垂足为，，垂足为， 为上靠近点的四等分点，则，， 又，由勾股定理得， 由于，所以，故， 故动点的轨迹长度是，故C错误； 对于D选项，如图①，分别在棱上取点，使得，则有， 平面，平面，平面， 同理平面，，平面 所以平面平面， 所以即为平面截该四棱台所得截面多边形， ，所以， 所以截面多边形的面积为，故D正确， 故选：AD. 【点睛】方法点睛：空间图形中的轨迹问题，根据已知条件判断轨迹形状，再根据形状求轨迹长度；截面问题，先由截面的特征，结合已知的平行和垂直关系，作出截面图形，由图形求面积. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有______种． 【答案】14 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①在5名航天员中选出3人，在天和核心舱工作，两名国际航天员不能同时入选，有种安排方法， ②剩下2人安排到问天实验舱与梦天实验舱工作，有2种情况， 则有种安排方法， 故答案为：14 13. 已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为6，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，利用轴截面面积求得圆台得底面半径和高，然后根据圆台体积公式计算即可. 【详解】如图所示，设圆台的上下底面中心分别为,为其轴截面. 由题意得，设，则， 在轴截面中过点作⊥于点，则， 故， 由勾股定理， 轴截面的面积为，解得， 故圆台上底面半径，下底面半径，高， 故该圆台的体积为. 故答案为： 14. 已知函数对任意一个负数x，不等式恒成立，则整数a的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】对任意一个负数x，不等式恒成立，转化为对恒成立，构造函数，利用导数以及零点的存在性定义求解的最大值，即可得到答案． 【详解】对任意一个负数x，不等式恒成立，即对恒成立， 设，则， 设，则，令，解得， 当时，，故单调递减，当时，，故单调递增， 又，，时， 故存在，使得，即， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以当时，取得最大值，因为中，，， 故，所以的最大值， 当时，，又整数，所以整数a的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B; （2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； 【小问2详解】 设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 16. 已知数列满足且. （1）求的通项公式. （2）设的前项和为，表示不大于的最大整数. ①求； ②证明：当时，为定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造数列，结合等差数列定义计算即可得； （2）①借助错位相减法计算即可得；②构造数列，结合数列单调性可得当时，，即可得为定值. 【小问1详解】 由，则，即， 则数列是以为公差的等差数列，又， 故，即； 【小问2详解】 ①由，则， ， 则 ， 故； ②令，则， 则， 故数列为单调递减数列，又， 故当时，，故， 即当时，恒成立，即为定值. 17. 已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项； （3）若第k项是有理项，求k的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）利用二项式定理求出通项，令，求出，代入通项求解即可 （3）当为整数时为有理项，即可求解 【小问1详解】 在展开式的二项式系数和为256， 即， ， 展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项， 所以， 【小问2详解】 ， 由，所以展开式中含的项是第2项， 所以 【小问3详解】 ， 当为整数时为有理项，即， 则k的取值集合 18. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中AD⊥AB，，且，，，点E，F分别为棱，的中点. （1）若平面平面， ①求证：； ②求三棱锥的体积； （2）若，请作出四棱锥过点，，三点的截面，并求出截面的周长. 【答案】（1）①证明见解析.② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用面面垂直的性质定理证明结合面面垂直的定义求证即可. ②利用两条相互平行的直线其中一条垂直于一个平面，另外一个也垂直于这个平面计算这个三棱锥的高. （2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长. 【小问1详解】 ①因为平面平面平面平面 又因为底面为直角梯形，且面 所以面又因为面所以 ②由①知面取的中点设为连结则则面 则点到面的距离为 又因为在直角梯形中，， 解得所以在等腰三角形中 三棱锥的体积 【小问2详解】 取线段的中点，连接， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段， 所以， 所以，则四边形为四棱锥过点及棱中点的截面， 则，，， 在中，，， 所以， 则， 所以截面周长为. 19. 已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. （1）证明：直线的斜率为定值； （2）求面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出椭圆方程，设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据化简即可得出结论； （2）由（1）得，根据求出的范围，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，列出面积的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 由题意，解得， 所以椭圆的标准方程为， 设， 由得， ， ， 解得， 所以直线的斜率为定值； 【小问2详解】 由（1）得， 与椭圆方程联立得， 则， ， 点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得或，即在和上单调递减， 又， 所以当时，取到最大值， 所以的面积得最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $