广东省阳江市阳西县第二中学2023-2024学年高二下学期第三次月考数学试题

阳西二中2023-2024-2高二级第三次月考数学科测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 3．复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 4．经过两点的直线的方向向量，则（    ） A． B．0 C．2 D．1 5．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=（    ） A． B． C． D． 6．某单位为了解该公司员工家庭情况，用分层随机抽样方法作抽样调查，现从A部门和B部门共抽取3名员工，已知A部门和B部门分别有6名和3名员工，则不同的抽样结果共有（    ） A．45种 B．18种 C．9种 D．90种 7．已知平面向量，，若 ，则（    ） A．0 B． C． D． 8．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的有（    ） A．若则 B．若 则 C．若则 D． 则 10．下图是2024年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：℃）的折线图，则下列结论正确的是（    ） A．这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为 B．这5天的最低气温的极差为 C．这5天的最高气温的众数是 D．这5天的最低气温的第40百分位数是 11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域是 . 13．设服从二项分布，则 . 14．已知，，，四点都在表面积为的球的表面上，若是球的直径，且，，则三棱锥体积的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角的对边分别为 且 ． (1)求； (2)若的面积为边上的高为1，求的周长． 16．（15分）已如曲线在处的切线与直线垂直. (1)求的值； (2)若恒成立，求的取值范围. 17．（15分）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，M、N分别为、的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求 的模； (2)求的值； (3)求证：平面． 18．（17分）我市为了解学生体育运动的时间长度是否与性别因素有关，从某几所学校中随机调查了男､女生各100名的平均每天体育运动时间，得到如下数据： 分钟 性别 （0，40] （40，60] （60，90] （90，120] 女生 10 40 40 10 男生 5 25 40 30 根据学生课余体育运动要求，平均每天体育运动时间在（60，120]内认定为“合格”，否则被认定为“不合格”，其中，平均每天体育运动时间在（90，120]内认定为“良好”. (1)完成下列22列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育运动时间与性别因素有无关联； 不合格 合格 合计 女生 男生 合计 (2)从女生平均每天体育运动时间在的100人中用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取2人，记为2人中平均每天体育运动时间为“良好”的人数，求的分布列及数学期望； (3)从全市学生中随机抽取100人，其中平均每天体育运动时间为“良好”的人数设为，记“平均每天体育运动时间为'良好'的人数为”的概率为，视频率为概率，用样本估计总体，求的表达式，并求取最大值时对应的值. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19．（17分）对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． (1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． (2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． (3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2．C 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算作答. 【详解】因为， 所以当时，， 故选：C. 3．B 【分析】利用复数的除法运算化简为标准形式，进而根据共轭复数的定义得解. 【详解】, , 故选：B. 4． D 【分析】由题意与向量共线，所以由对应分量成比例即可求解. 【详解】由题意与直线的方向向量共线，所以，解得. 故选：D. 5．D 【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得. 【详解】是奇函数， 时，． 当时，，，得．故选D． 【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 6．A 【分析】由分步乘法计数原理以及组合数的计算即可得解. 【详解】抽样比为，所以可以先从部门抽取2名员工，再从部门抽取1名员工，不同的抽样结果共有种. 故选：A. 7．B 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为，所以，即， 所以， 故选:B. 8．C 【分析】根据全概率公式计算可得. 【详解】设事件为“任意调查一名学生，每天玩手机超过”，事件为“任意调查一名学生，该学生近视”， 则，， 所以， 则． 故选：C 9．BD 【分析】根据不等式的性质判断A、C、D的正误，利用基本不等式判断B的正误. 【详解】对于A：若，则，故A错误； 对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C：由于不确定的符号，故无法判断， 例如，则，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 故选：BD. 10．ACD 【分析】根据折线图计算平均值及中位数可判断A，计算极差判断B，由众数判断C，由百分位数概念判断D. 【详解】对于A，这5天的最高气温的平均数为，最低气温的中位数为，它们的差为，A正确． 对于B，这5天的最低气温的极差为，B错误． 对于C，这5天的最高气温的众数为，C正确． 对于D，最低气温从小到大排列为，且，所以这5天的最低气温的第40百分位数是，D正确． 故选：ACD 11．BCD 【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断AB,由投影向量和投影判断CD得答案． 【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于A，，故A错误； 对于B，，则以，为邻边的对角线长是的倍， 可得，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C正确； 对于D，设的夹角为则，其中表示在上的投影， 易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影最大， 易知为等腰直角三角形，且, 则在中，, 在等腰三角形中，则 .故D正确． 故选:BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积及性质，关键是利用数量积的几何意义确定在上的投影的最大值解决D选项. 12． 【分析】由对数函数定义域列出不等式即可求解. 【详解】由题意令，解得，所以函数的定义域是. 故答案为：. 13．/ 【分析】利用二项分布的期望公式计算作答. 【详解】因为服从二项分布，所以. 故答案为： 14． 【分析】设的外接圆半径为，圆心为，根据正弦定理可求，根据几何关系可求到平面的距离为定值，当面积最大时，三棱锥体积最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求面积的最大值，即可得解. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，故，解得（负值已舍去）， ∵，，设的外接圆半径为，圆心为， ∴根据正弦定理知，，即， ∴， ∵是球的直径，是中点，故到平面的距离为， 在中，根据余弦定理得， 即， ∴，当且仅当时等号成立， ∴面积， ∴三棱锥体积的最大值． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出到平面的距离为定值，再借助基本不等式求出的最大值，从而得到面积的最大值. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理得的值，则得到其周长. 【详解】（1）因为，........................................................................1分 由正弦定理，得，.......................................................................2分 即，........................................................................3分 即.........................................................................4分 因为在中，，........................................................................5分 所以........................................................................6分 又因为，所以.........................................................................7分 （2）因为的面积为， 所以，得........................................................................8分 由，即，.......................................................................9分 所以.由余弦定理，得，即，................................................10分 化简得，.............................................11分 所以，即，..............................................12分 所以的周长为.........................................................................13分 16．(1) (2) 【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解， （2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解. 【详解】（1）由于的斜率为，...........................................................................1分 所以，...........................................................................2分 又,...........................................................................3分 故，...........................................................................4分 解得，...........................................................................5分 （2）由（1）知，所以，...........................................................................7分 故当时，单调递增，...........................................................................9分 (列式对，结果算错该步骤给1分) 当时，单调递减，...........................................................................11分 (列式对，结果算错该步骤给1分) 故当时，取最小值，...........................................................................12分 要使恒成立，故，...........................................................................13分 解得，..........................................................................14分 故的取值范围为........................................................................15分 17．(1) (2) (3)见详解 【分析】建立空间直角坐标系，通过坐标表示出相应的直线，用向量法求解向量的模、数量积，证明向量垂直，转化为线线垂直，得出线面垂直证明线面垂直. 【详解】（1）由已知得，CA、CB、三线两两垂直. 以点C为坐标原点，分别以CA、CB、所在得射线为轴，如图建立空间直角坐标系，........................................................1分 则，，，....................................................2分 ，，...................................................................................3分 则，，.............................................................................4分 .............................................................................5分 所以，.所以，BN的模为..............................................................................6分 （2）由（1）可得，，，.............................................................................7分 所以，...........................................................................8分 ，，...........................................................................9分.............................................................................10分 （3）由（1）可得，，，.............................................................................11分 所以，，，.............................................................................12分 所以，，，则，..............................................................13分 又，平面，平面，............................................................14分 所以，平面．.............................................................................15分 18．(1)列联表见解析，认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于； (2)分布列见解析，数学期望为； (3)， 【分析】（1）通过题意可得列联表，计算的值，可得结论； （2）根据分层抽样的比例可得抽取的女生平均每天体育运动时间在的人数，确定的取值，根据超几何分布可求得每个值对应的概率，即得分布列，从而计算数学期望； （3）通过题意可得满足二项分布，能得到，然后通过作商法可得到当时，，当时，，即可得到答案 【详解】（1）由题意可知，22列联表如下表 不合格 合格 合计 女生 50 50 100 男生 30 70 100 合计 80 120 200 ..............................................................................................................................................................................1分 零假设为：性别与学生体育运动时间无关联............................................................................................2分 根据列联表中的数据，经计算得到 ，.......................................4分 (公式用对，结果算错该步骤给1分) 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立即认为性别因素与学生体育运动时间有关联，此推断犯错误的概率不大于；....................................................................................................................5分 （2）抽取的20人中，女生平均每天运动时间在的人数分别为2人，8人，8人，2人，易知的所有可能取值为，...............................................................................................6分 ，..................................................................................................................................7分 ，....................................................................................................................................8分 ，..................................................................................................................................9分 所以的分布列为 0 1 2 ............................................................................................................................................................................10分 所以数学期望为；................................................................................11分 （3）平均每天运动时间在的频率为，.......................................................................12分 由题意可知， 所以，................................................................................13分 由，得，...........................................................14分 所以，当时，，即，..........................................................................................................15分 当时，，即，.......................................................................................................16分 所以，即取最大值时，....................................................................17分 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论； （2）设，可得，进而可得结论； （3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，可求的通项公式． 【详解】（1）是等差数列，设，.......................................................................1分 令，.......................................................................2分 则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的．...........................................................3分 （2）因为数列是“优分解”的，设，.......................................................................4分 其中，.......................................................................5分 则．..........................................6分 当时，.......................................................................7分 当时，是首项为，公比为的等比数列．.......................................................................8分 （3）一方面，数列是“优分解”的，设，...................................................9分 其中，由（2）知....................................10分 因为，所以．................................11分 是首项为2，公比为的等比数列．.......................................................................12分 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中，.......................................................................13分 ..................................14分 是首项为2，公比为的等比数列， ，且，.......................................................................15分 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列．.......................................................................16分 又， 又解得， 综上所述，．.......................................................................17分 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$