精品解析：重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

重庆巴蜀中学高2025级高二（下）期末考试 数学试题 （命题人：吴子轩，审题人：韩武红） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集的运算得到，再由集合的并集运算得到. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：B. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整体替换方法解出函数定义域； 【详解】因为函数的定义域为，所以， 则函数可知，解得或 函数的定义域为. 故选：D. 3. 已知函数在区间上连续可导，则“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的（ ）条件. A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数与函数单调性的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，， 此时不是增函数， 若在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 所以“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：A. 4. 对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为，则这个班级的平均身高估计为（ ）. A. 168.75 B. 169 C. 171 D. 171.25 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出男、女生所占的比例，然后由均值的计算公式求解即可. 【详解】设总体身高的平均值为 男生在全部学生中所占的比例为 女生在全部学生中所占的比例为 所以 所以总体身高均值为. 故选：C. 5. 甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单独回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.54 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】设第一天他俩结伴回家的概率为,则由全概率公式可得,解出即可. 【详解】设第一天他俩结伴回家的概率为,则由全概率公式可得, 即,解得. 故选：D. 6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知动点在线段的延长线上，根据椭圆定义可得为定值，即可判断其轨迹为圆，写出方程即可得解. 【详解】由椭圆得， 故， 由题意，动点在射线的延长线上，且， 故， 故动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 其方程为. 故选：D 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质确定再作商比较与的大小关系即可. 【详解】由对数函数的性质得， 所以，同理，， 而， 所以， ， 而， 所以，即，综上， 故选：B. 8. 某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布的概率公式结合不等式组法求解即可. 【详解】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率， 则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设有个学生选择前往北京或上海研学，由题意可得服从二项分布，表达出，是解决本题的关键. 二､多选题 9. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据： 患病 未患病 服用药 10 45 没服用药 20 30 由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 A. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C. 该药物的预防有效率超过 D. 若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意计算出值，逐项分析即可. 【详解】根据列联表 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计 30 75 105 计算， 对于A，因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025，A正确； 对于B，因为根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是无效的，此推断犯错误的概率不超过0.01，B错误； 对于C，可推断该药物的预防有效率超过，C错误； 对于D，若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，则根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005，D正确； 故选：AD. 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D. 【详解】设，代入得， 化简得，所以，解得， ，选项A正确； 当时，由，得， , 解得，当且仅当时成立，选项B正确； 由，得时，， ，解得，选项C错误； 由，得， , 解得，当且仅当时取等号， 选项D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立. 三､填空题 12. 函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的定义域，令，根据在的单调性可得答案. 【详解】有得， 所以函数的定义域， 令，则在都是单调递增函数， 所以在是单调递增函数， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 14. 小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字，假设每次转动转盘后箭头指向数字的概率相等，游戏要转动转盘次，如果这次箭头指向的数字和不大于，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，用列举法结合古典概型的概率公式可解. 【详解】小明参加游戏2胜利，则转动转盘2次，总情况为种. 这2次箭头指向的数字和不大于6的情况数为： 考虑方程正整数解个数， 满足题意的有15种，分别为： . 故小明参加游戏2胜利的概率为：. 故答案为：. 四､解答题 15. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，已知数列为常数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一阶差分数列概念，知道数列为等差数列，再用等差数列的知识解题即可． （2）先求出的通项公式，再运用裂项相消即可解题． 【小问1详解】 由于数列为常数列，且，可知为等差数列. 又．知道，解得． 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 ,则 16. 随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 新能源汽车年 销量万辆 （1）若该地区新能源汽车车主的年龄（单位：岁）近似服从正态分布，其中年龄的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数） （2）已知变量与之间的相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 参考公式与数据： ①若随机变量，则；； ②； ③. 【答案】（1）234万人 （2）39万辆 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，又，所以，可得，则可估计该地区新能源汽车车主共有万人； （2）由题意，求出，进而求出，则由公式可得，则求出，进而求出，，则得到关于的线性回归方程，又2025年对应的年份代码，所以，则可估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 【小问1详解】 由题意，该地区新能源汽车车主的年龄（单位：岁）近似服从正态分布， 则,所以, ， 所以估计该地区新能源汽车车主共有万人. 【小问2详解】 由题意，， 所以， 由已知，， 所以， 所以， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 2025年对应的年份代码，所以当时，， 估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆. 17. 已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. （1）求拋物线的标准方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率. 【小问1详解】 设， 则，解得，即， 将代入抛物线，解得， 拋物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为， 则直线的方程为， 则直线的方程为， 设点， 联立，得， 由韦达定理，， 即，同理， 故， 所以， 故， 综上所述，直线的斜率为. 18. 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为. （1）求； （2）求； （3）记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求. 参考资料：若为个随机变量，则. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）第一次由随机事件分析即可，第二次分析参加比赛的情况，进而可得结果； （2）分析第场与第次参加比赛的关系，整理可得，利用构造法结合等比数列分析求解； （3）记甲参加第次比赛的次数为，根据两点分布可知，根据题意结合等比数列求和运算求解. 【小问1详解】 因为第一场比赛由简单随机抽样中的抽签法决定，所以； 对于第二场可知： 若第一次甲参加比赛，则第一次甲胜即可参加第二场比赛； 若第一次甲未参加比赛，则第二次甲必参加比赛； 所以. 【小问2详解】 对于第场可知： 若第次甲参加比赛，则第次甲胜即可参加第场比赛； 若第次甲未参加比赛，则第次甲必参加比赛； 则，可得， 且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 【小问3详解】 记甲参加第次比赛的次数为，可知满足两点分布，则， 可得， 所以. 【点睛】方法点睛：根据切比雪夫链的问题，要分析第次与前一次或前几次之间的关系，结合概率知识运算求解，往往结合数列知识分析整理. 19. 请阅读下列2段材料： 材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数成为的二阶导数，记为；若仍是可导函数，则的导数成为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义阶倒数：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是阶多项式，分母是阶多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近. 一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足（其中为自然对数的底数）. 请根据以上材料回答下列问题： （1）求函数在处的阶帕德逼近函数； （2）求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小； （3）求证：当时，恒成立. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意设，然后由可求出，从而可求出； （2）根据题意设，然后由可求出，从而可求出，再与作差比较大小； （3）给不等式两边取对数后，转化为证，令，然后利用导数求出其最小值，再次转化为证，然后利用（2）结论证明即可. 【小问1详解】 由题意设， 因为，所以， 所以，则， 所以 因为，所以，， 所以， 所以，所以， 所以由，得，解得， 所以； 【小问2详解】 由题意设， 因为，所以，所以，得， 由，得， 由，得， 因为，所以， 所以，所以， 由，得， 由，得， 因为，所以， 所以，所以，得， 所以得， 所以， 令，则 ， 所以在上递减， 因为， 所以当时，，即， 当时，， 当时，，即； 小问3详解】 证明：当时，要证， 只要证，即证， 令，则， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以只需证，即， 所以只需证， 由（2）可知当时，，即， 所以， 所以原不等式成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆巴蜀中学高2025级高二（下）期末考试 数学试题 （命题人：吴子轩，审题人：韩武红） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间上连续可导，则“在区间上恒成立”是“在区间上单调递增”的（ ）条件. A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为，则这个班级的平均身高估计为（ ）. A. 168.75 B. 169 C. 171 D. 171.25 5. 甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单独回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.54 D. 0.6 6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A B. C. D. 8. 某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二､多选题 9. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据： 患病 未患病 服用药 10 45 没服用药 20 30 由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5024 6.635 7.879 A. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B. 根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C. 该药物的预防有效率超过 D. 若将所有试验数据都扩大到原来10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005 10. 已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数有三个零点 C. 函数对称中心为 D. 过可以作两条直线与图象相切 11. 已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题 12. 函数的值域为__________. 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 14. 小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字，假设每次转动转盘后箭头指向数字的概率相等，游戏要转动转盘次，如果这次箭头指向的数字和不大于，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________. 四､解答题 15. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，已知数列为常数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 16. 随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 新能源汽车年 销量万辆 （1）若该地区新能源汽车车主的年龄（单位：岁）近似服从正态分布，其中年龄的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数） （2）已知变量与之间的相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 参考公式与数据： ①若随机变量，则；； ②； ③. 17. 已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. （1）求拋物线的标准方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 18. 甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第场比赛的概率为. （1）求； （2）求； （3）记前场比赛（即从第1场比赛到第场比赛）中甲参加的比赛的场数为，求. 参考资料：若为个随机变量，则. 19. 请阅读下列2段材料： 材料1：若函数的导数仍是可导函数，则的导数成为的二阶导数，记为；若仍是可导函数，则的导数成为的三阶导数，记为；以此类推，我们可以定义阶倒数：设函数的阶导数仍是可导函数，则的导数称为的阶导数，记为，即. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是阶多项式，分母是阶多项式，那么帕德逼近就是阶的帕德逼近. 一般地，函数在处的阶帕德逼近函数定义为：且满足（其中为自然对数的底数）. 请根据以上材料回答下列问题： （1）求函数在处的阶帕德逼近函数； （2）求函数在处的阶帕德逼近函数，并比较与的大小； （3）求证：当时，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$