精品解析：上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（A）

复旦大学附属中学2023学年第二学期 高一年级数学期末考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第16题每题4分，第7—12题每题5分，清在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 已知，则__________. 2. 设是虚数单位，若复数满足，则__________. 3. 设向量，则在方向上的数量投影为__________. 4. 设，函数的导函数为，则__________. 5. 设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比__________. 6. 设，向量，则的取值范围是__________. 7. 设，则函数的极值点为__________. 8. 数列满足，则数列的通项公式为__________. 9. 已知直线：是曲线的切线，则______． 10. 设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是__________. 11. 设等比数列的前项和，若存在实数，使得对于任意的正整数都成立，则数列的通项公式为__________. 12. 已知，如果有且仅有四个不同的复数，同时满足和，则的取值范围是__________. 二､选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应点在（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.则“”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（ ）个. ①； ②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点； ③若关于方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 设实数，对于函数的图象上的点，记，则下列说法中正确的是（ ） A. 不存在，使得在区间上不是单调函数 B. 存在，使得在区间上不是单调函数 C. 存在，使得在区间上不是单调函数 D. 以上说法都不正确 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. （1）求的值； （2）当为何值时最大，并求出此最大值. 18. 设是虚数单位，是关于方程的两根，且满足. （1）若，求与的值； （2）若，求的值. 19. 某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. （1）求的长. （2）若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. （3）若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 20. 已知数列满足以下条件：①是严格增数列；②各项均为自然数；③.设集合. （1）若数列共有4项，且，用列举法表示集合； （2）设数列为无穷数列，其前项和为，若对一切正整数都有成立，求证：对任意不小于3的正整数，不等式都成立； （3）设数列为有穷数列，若，求数列项数的最小值. 21. 设，，函数的定义域为. （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数的导函数的最小值为； （3）若对任意的恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复旦大学附属中学2023学年第二学期 高一年级数学期末考试试卷（A卷） 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一､填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第16题每题4分，第7—12题每题5分，清在答题纸相应编号的空格内直接写结果. 1. 已知，则__________. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 2. 设是虚数单位，若复数满足，则__________. 【答案】5 【解析】 【详解】由得， 故，故， 故答案为：5 3. 设向量，则在方向上的数量投影为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的概念和公式可解． 【详解】在方向上的数量投影为． 故答案为： 4. 设，函数的导函数为，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】求出函数的导数，代入计算即可. 【详解】，，因此，. 故答案为：. 5. 设数列为无穷等比数列，，且，则数列的公比__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用无穷递缩等比数列所有项和公式列式计算即得. 【详解】依题意，，，解得. 故答案： 6. 设，向量，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示，结合辅助角公式及正弦函数性质求解即得. 【详解】向量，则， 其中锐角由确定，而，则， 因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 7. 设，则函数的极值点为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质和极值点的定义得到方程，解出即可. 【详解】根据三角函数极值点即为其最值点，则转化为求解其对称轴通式， 令 其对称轴为 则其极值点为. 故答案：. 8. 数列满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 9. 已知直线：是曲线的切线，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义表示斜率，由切点在曲线上得出方程组，解得，即可求解. 【详解】由已知设切点坐标为， 因为，则， 所以，解得或 ， 所以或. 故答案为：或. 10. 设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【详解】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 11. 设等比数列的前项和，若存在实数，使得对于任意的正整数都成立，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定等式，取建立关于的方程组，求出通项并验证即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 即，则， 即有， 于是，， 而，因此，整理得，即， 解得，，，从而，此时， ，当为偶数时，， 当为奇数时，，即当时，对于任意的正整数都成立， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 12. 已知，如果有且仅有四个不同的复数，同时满足和，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的运算性质，再数形结合，转化为三次函数来研究即可. 【详解】由可得， 又由可得，复数在复平面上对应的点在单位圆上， 设单位圆上动点，，，则表示长度，表示长度， 即，又因为，所以， 令，可设， ，令，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 由，，， 所以当时，在有两解，即在轴上方一定存在两个复数对应的点满足条件， 再利用圆关于轴对称，所以在轴下方也一定存在两个复数对应的点满足条件， 综上此时有四个不同的复数， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用数形结合，把问题转化为，再利用消元，然后再利用函数求导来研究值域，即可求得的范围. 二､选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. 13. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上所对应的点在（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据复数的乘方运算以及复数的几何意义即可判断. 【详解】设，，则，因为， 则其在复平面上所对应的点在第二象限， 故选：B. 14. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和大边对大角，小边对小角的性质判断即可. 【详解】当时，根据三角形中大边对大角，小边对小角，得，再根据正弦定理得，所以; 当时，根据正弦定理，得，又，所以，根据正弦定理得，所以； 所以“” 是“”的充分必要条件. 故选：C. 15. 设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（ ）个. ①； ②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点； ③若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】运用极值的概念和性质，求出，代入判断①；函数解析式知道后，根据导数研究处函数单调性，极值，对称性，进而画出图像，观察图像，数形结合判断②；根据图像和函数对称性，判断③即可． 【详解】求导，即，由于函数在处取得极大值3，则 ，解得，则，则①正确； 由上面知道，， 且，解得. 当，，单调递减； 当或者，，单调递增． 则当时，由极大值；时，由极小值； 且对称中心为.画出函数图像． 由图像，可知对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点，故②正确； 若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则 ，根据函数对称性，知道，,则，.故③正确． 故选：D. 16. 设实数，对于函数图象上的点，记，则下列说法中正确的是（ ） A. 不存在，使得在区间上不是单调函数 B. 存在，使得在区间上不是单调函数 C. 存在，使得在区间上不是单调函数 D. 以上说法都不正确 【答案】D 【解析】 【分析】构造，求导，即可利用正弦函数的性质，针对选项逐一求解.根据正弦函数单调性结合新定义分别判断各个选项即可. 【详解】， 记，则， 当，当， 故当时，， 因此时，对于，故单调递增，因此单调递增，故BC错误， 当，取，存在，故 在不单调，A错误， 故选：D 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤. 17. 设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. （1）求的值； （2）当为何值时最大，并求出此最大值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可； （2）求出，用二次函数知识来解题即可． 【小问1详解】 ，则，， 故的值为. 【小问2详解】 由（1）知道，，， ， 由于开口向下，且对称轴为. 而，则或者时，最大. ． 18. 设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足. （1）若，求与的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，及，得，即可求解； （2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由，得， 而，得， 因为是关于的方程的两根， 所以， 得，由，得， 得，则； 【小问2详解】 当时，则是关于的方程的两根， 则， 当时，则，不满足， 当时，得 得， 由得， 得， 得， 得， 当时，不成立，当时，得， 当时，得， 不妨记， 由得， 得， 故的值为：或 19. 某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. （1）求的长. （2）若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. （3）若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】（1）； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【小问1详解】 依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. 【小问2详解】 在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. 【小问3详解】 最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 20. 已知数列满足以下条件：①是严格增数列；②各项均为自然数；③.设集合. （1）若数列共有4项，且，用列举法表示集合； （2）设数列为无穷数列，其前项和为，若对一切正整数都有成立，求证：对任意不小于3的正整数，不等式都成立； （3）设数列为有穷数列，若，求数列项数的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列举即可求解； （2）根据数学归纳法即可证明； （3）设项数最小值为，有，求出的取值范围，扩大数列的的最快方法：取除数列中最大值外的，使为数列中的最长连续自然数子列，给数列末尾加入一个，可使张至，据此即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，所以， 由数学归纳法可设， 因为， 所以原假设正确，所以对任意不小于3的正整数，不等式都成立； 【小问3详解】 设项数最小值为，有， 所以，在单增数列中，最大值为， 而， 所以，发现若，且， 则当时，中取得最大值， 可得扩大数列的的最快方法：取除数列中最大值外的，使为数列中的最长连续自然数子列，给数列末尾加入一个，可使张至， 所以只需平衡与添加元素的多少， 首先令为从开始的连续自然数数列， 设添加个元素，则需在满足， 所以的条件下使最小， 得到，所以项数的最小值为. 【点睛】关键点点击：本题（3）关键在于找到扩大数列的的最快方法：取除数列中最大值外的，使为数列中的最长连续自然数子列，给数列末尾加入一个，可使张至. 21. 设，，函数的定义域为. （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：函数的导函数的最小值为； （3）若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）函数为奇函数，理由见解析. （2）证明见解析. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可判断； （2）利用换元将导函数转化为二次函数，利用二次函数的性质可得导函数的最小值为； （3）由猜测最大值在时取到，此时正数，先证时，的最大值为，再证当时最大值大于，即可. 【小问1详解】 函数为奇函数，理由如下： 当时，，定义域R， 故， ， 故为奇函数. 【小问2详解】 设，则， 当时，，此时， 当时，，此时， 而对于时，此时也满足最小值为， 故函数的导函数的最小值为. 【小问3详解】 先证明：当时，的最大值为. 当时，， ， 由函数是周期为的周期函数得只需求，的最大值即可. 考虑在上的驻点： 令得或，于是驻点，，， 列表如下 + 0 0 + 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 非极值 单调递增 比较和，得，的最大值为， 又函数是周期为的周期函数， 由上述过程得满足题意. 若，由不满足题意. 综上所述：的最大值为. 【点睛】关键点定睛：第三问的关键点是能由联想到最大值在时取到，进而可以先证时，的最大值为，再证当时最大值大于，即可得到的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$