精品解析：四川省达州市开江县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春季八年级期末教学质量监测 数学试卷 温馨提示： 1．本试卷全卷总分150分，考试时间120分钟；2．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置，待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己准考证上的信息是否一致；3．试题作答必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效，在草稿纸、试题卷上作答无效；4．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答；5．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等；6．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回． 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段下列新能源汽车标志图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、当时，；当时，，则此项错误，不符合题意； C、由得：，所以，但无法判断与的大小，则此项错误，不符合题意； D、由得：（不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变），则此项正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列等式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项分解错误，不符合题意； B、，不是因式分解，不符合题意，不符合题意； C、，分解正确，符合题意； D、，原选项分解错误，不符合题意； 故选C． 4. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角以及多边形的对角线，先根据该多边形的内角和是外角和2倍，可得出：，求出多边形的边数n，再根据n边形对角线的总条数为：，求解即可． 【详解】解：∵该多边形的内角和是外角和2倍， ∴， 解得：， ∴这个多边形的对角线的总条数为：． 故选：B． 5. 上周末，李老师准备去离家15千米的研学基地考察，由于恰逢打出租车高峰期，他决定骑自行车前往研学基地，结果比打出租车要多花40分钟．已知出租车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，若设骑自行车的平均速度为千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据出租车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，结果比打出租车要多花40分钟，列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的平均速度为千米/时，则出租车的速度为千米/时， 由题意，得：； 故选A． 6. 一次函数和的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可． 【详解】解：由图象可知，两函数的交点坐标为， 当时，函数的图象在函数得图象上方， 关于的不等式的解集是， 故选：C． 7. 如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据勾股定理的逆定理可得，从而得到，由作法得：垂直平分，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程，使方程的解大于零，再使分式方程有意义即可． 【详解】解： ， ∵分式方程的解为正数，即， ∴， 又∵使分式方程有意义，， ∴， ∴， 综上：且， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意义是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．然后通过旋转发现，每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，且的纵坐标为4，根据这个规律可以求得点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，每偶数之间的B的横坐标相差12个单位长度，点的纵坐标为4， ∵， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为4， ∴点的坐标为． 故选：B． 10. 如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据平行四边形的性质及角平分线的定义可证明是等边三角形，进一步可推得，从而可求得，即可求得； 对于②，根据勾股定理可证明，即，进一步可求出，即可判断②错误； 对于③，设，根据①②中的结论，及平行四边形的对角线互相平分，可分别求得，，由此即得结论③； 对于④，由①可知，，根据等腰三角形三线合一性质可得，即知结论④正确； 对于⑤，运用反证法证明，假设，逐步推理得到，这与②中的结论矛盾，从而得到证明． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 所以①正确； 四边形是平行四边形， ，，， 在中，， ， ， ， 所以②错误； 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， 所以③正确； ，， ， 即垂直平分， 所以④正确； 假设，则， ， ， ， ， ， 这与矛盾， 假设不成立， 故， 所以⑤错误； 综上所述，成立的结论是①③④， 所以成立的个数是3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理及反证法，灵活运用相关知识是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11 分解因式：3a2+6a+3=_____． 【答案】3（a+1）2 【解析】 【分析】首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解. 【详解】3a2＋6a＋3＝． 故答案为． 考点：分解因式． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须且． 故答案为x≥-1且x≠2 【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件． 13. 已知不等式组的解集为，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由，得： 由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， 则 故答案为：． 14. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，阴影部分面积为35，则平移距离为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，即得，求出，即可求出，即为平移的距离． 【详解】解：∵，沿着点B到C点的方向平移到的位置， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：，即为平移的距离； 故答案为：5． 15. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上一点，点、分别为，的中点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，得，当时，的值最小，此时的值也最小，根据等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵点、分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， ∵，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识点．解题的关键是掌握：三角形的中位线等于第三边的一半． 三、解答题（共10小题，共90分） 16. （1）分解因式：； （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来； （3）解分式方程：． 【答案】（1）；（2），数轴见解析；（3）是分式方程的解． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解一元一次不等式组，解分式方程，在数轴上表示不等式组的解集： （1）利用先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可； （3）先去分母把原方程化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 由不等式①得：，即， 整理得：， 解得：， 由不等式②得：， 整理得：， 故原不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集如图所示： （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 17. 先化简，再求值∶，请从，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，3 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【详解】解： ， ∵，， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 18. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）①根据长方形的周长是即可得出的值； ②由图可得空白部分的面积是，故我们可以根据第一步中求出的的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【小问1详解】 解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据长方形的周长为，可得： ， ， ， ． 答：的值为5． ②空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为， 且阴影部分的面积表示为， 故， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：空白部分的面积为． 19. 如图，已知点、、的坐标分别为、、． （1）将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ （2）将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ （3）将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）连接，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，△即为所求； ∴； 【小问2详解】 解：如图，△即为所求； ∴； 【小问3详解】 解：将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点，则这个定点的坐标． 故答案为：． 20. 如图，平分，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识， （1）过点作于点，则，证明，得，即可得证； （2）证明，得，则，进一步得到，得到，可得答案； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【小问1详解】 证明：过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的长度为． 21. 复课返校后，为了拉大学生锻炼的间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多元，用元购买的跳绳个数和用元购买的子数量相同． （1）求跳绳和毯子的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毯子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】（1）跳绳售价为元，毯子的售价为元；（2）学校花钱最少的购买方案为：购进跳绳根，毯子个． 【解析】 【分析】（1）设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为（x+4）元，根据数量=总价÷单价结合用1000元购买的跳绳个数和用800元购买的毽子数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买毽子m个，则购买跳绳（400-m）根，根据跳绳的数量不少于毽子数量的3倍且跳绳的数量不多于310根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，根据总价=单价×数量可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）设毯子的售价为元，则跳绳的售价为元 依题意得： 解得： 经检验，是分式方程的解 （元） 答：跳绳的售价为元，毯子的售价为元 （2）设购买毽子m个，则购买跳绳（400-m）根， 依题意，得：， 解得：90≤m≤100． 设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，则w=20×0.8（400-m）+16×0.75m=-4m+6400． ∵-4＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=100时，w取得最小值，最小值=-4×100+6400=6000． 答：当学校购买300根跳绳、100个毽子时，总费用最少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 22. 已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，连接，． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，进而由勾股定理得，再由全等三角形的性质得，则，得，然后由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ，， ， ，又， ， 由（1）可知，， ， ， 即， ， ． 23. 新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，关于的不等式得的“关联方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】（1）①②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式组，理解“关联方程”的概念，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解以及不等式组的解集，进行判断即可； （2）求出方程的解和不等式组的解集，根据“关联方程”的定义，得到的取值范围即可； （3）根据不等式组有个整数解，结合“关联方程”的定义，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：解，得：； 解，得：； 解，得：， 解，得：， 故①②是的关联方程； 故答案为：①②； 【小问2详解】 解不等式，得：， 解不等式，得：， 原不等式组的解集为， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内， 解得； 【小问3详解】 解不等式得：， 解不等式得：， 的解集为， 此时不等式组有4个整数解， ， 解得， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内 ， 解得， 综上所述，． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点，与轴正半轴相交于点． （1）若点的坐标为，分别求，的值； （2）在(1)的条件下，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，过点作交直线于点，试探究的形状． 【答案】（1）， （2）或或 （3）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入，得出，代入，可得； （2）分三种情况讨论，分别根据，，为对角线时，根据中点坐标公式即可求解； （3）根据题意可得直线过定点，而直线与坐标轴的交点分别为，，可得四边形是正方形，得出，设，则，进而根据是正方形的对角线，进而推导出，即可得出是等腰三角形． 【小问1详解】 解：将点代入， 即， ∴， 将代入， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵与轴正半轴相交于点 当时，，则， 设，又 当为对角线时，的中点与的中点重合， 解得：，则； 当为对角线时，的中点与的中点重合， 解得：，则 当为对角线时，中点与的中点重合， 解得：，则 综上所述，点的坐标为：或或； 【小问3详解】 解：是等腰三角形，理由如下， 如图所示， ∵， ∴ 过定点， ∵与坐标轴交于点，设分别为， 则四边形是正方形，则在上， ∴， 设，则， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，数形结合是解题的关键． 25. 已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 【答案】（1）相等，见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】(1)根据题意可证得，据此即可解答； (2)连接，可证得，据此即可证得，，，根据勾股定理可得，再根据等腰直角三角形性质可证得，根据勾股定理即可证得结论； (3)过点O作于点E，利用勾股定理可求得，根据面积公式可求得，再分两种情况，分别计算即可求得． 【小问1详解】 解：与相等； 理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：结论： 理由如下： 如图：连接， ， ， 即 在和中 ， ，， ，，， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图：过点O作于点E， ，， ， ， ， 如图：当点F在的延长线上时， ，， ， ， ； 如图：当点F在线段上时， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，作出辅助线，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季八年级期末教学质量监测 数学试卷 温馨提示： 1．本试卷全卷总分150分，考试时间120分钟；2．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置，待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己准考证上的信息是否一致；3．试题作答必须写在答题卡对应的框内，超出答题区答案无效，在草稿纸、试题卷上作答无效；4．选择题必须使用2B铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答；5．保持答题卡整洁，不要折叠、弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等；6．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回． 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段下列新能源汽车标志图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C D. 4. 一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形对角线的条数是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 18 5. 上周末，李老师准备去离家15千米的研学基地考察，由于恰逢打出租车高峰期，他决定骑自行车前往研学基地，结果比打出租车要多花40分钟．已知出租车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍，若设骑自行车的平均速度为千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数和的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去…，若点，，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④垂直平分；⑤，其中成立的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11. 分解因式：3a2+6a+3=_____． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 13. 已知不等式组的解集为，则的值是___________． 14. 如图，将沿着点到的方向平移到的位置，，，阴影部分面积为35，则平移距离为___________． 15. 如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上一点，点、分别为，的中点，则的最小值是___________． 三、解答题（共10小题，共90分） 16. （1）分解因式：； （2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来； （3）解分式方程：． 17. 先化简，再求值∶，请从，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且 （1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ； （2）若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 19. 如图，已知点、、的坐标分别为、、． （1）将沿着轴向左平移5个单位后得到，请画出；并写出的对应点的坐标______ （2）将绕着O顺时针旋转90°后得到，请画出；并写出A的对应点坐标______ （3）将线段绕着某个定点旋转180°后得到（其中点对应点为点，点的对应点为点），则这个定点的坐标是______ 20. 如图，平分，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 21. 复课返校后，为了拉大学生锻炼间距，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多元，用元购买的跳绳个数和用元购买的子数量相同． （1）求跳绳和毯子的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买跳绳和毯子两种器材共个，由于受疫情影响，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七五折出售，学校要求跳绳的数量不少于毽子数量的倍，跳绳的数量不多于根，请你求出学校花钱最少的购买方案． 22. 已知：如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 23. 新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，关于的不等式得的“关联方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与一次函数的图象在第一象限相交于点，与轴正半轴相交于点． （1）若点的坐标为，分别求，的值； （2）在(1)条件下，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，过点作交直线于点，试探究的形状． 25. 已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$