精品解析：浙江省宁波市海曙区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023 学年第二学期海曙区期末调研八年级数学试题卷 一、选择题 （每小题 3 分， 共 30 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1. 现越来越多的年轻人用 “” 表达对宁波的喜爱， 其中的下列字母中， 不能将其看成中心对称图形的字母是（ ） A. I B. C. B D. 2. 下列方程中， 为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点 ，点 在反比例函数 上，则 值为（ ） A. B. 12 C. D. 6 5. 若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 3 C. -1 D. -2 6. 在综合实践课上，小明画出 ，利用尺规作图找一点 ，使得四边形 为平行四边形． 如图是其作图过程． 小明这一作法判定四边形 为平行四边形的直接依据是（ ） （1）以点 为圆心， 为半径作出第一段圆弧 （2）以点 为圆心， 为半径作出第二段圆弧， 并与第 一段圆弧交于点 ； （3）连接 ， ，四边形 即为所求． A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 7. 用反证法证明 “四边形中至少有一个内角小于或等于 ” 时，应该先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 有一个内角小于或等于 C. 每一个内角都小于 D. 每一个内角都大于 8. 如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 12 9. 已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 中 ，分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点，连结 ，若要知道 的值，只需知道下列哪个值（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 线段 的长 D. 线段 的长 二、填空题 （每小题 3 分， 共 18 分） 11. 当 __________________时， 的值最小． 12. 如图，在平行四边形 中，若 ，则 的度数是 _________________ ． 13. 已知反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大，则a的取值范围为______． 14. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击比赛，每人 5 场比赛成绩的平均数（单位：环）及方差 （单位∶ 环）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.7 9.8 9.8 9.7 2 2 2.5 2.5 根据表中数据， 要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛， 应选择_____________ ． 15. 在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是___． 16. 如图，在等腰 中，，点从点出发沿 方向以的速度向点A匀速运动，同时点从点 A 出发沿方向以 的速度向点匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．过点 作于点，若平面内存在一点，使得以为顶点的四边形为菱形，则的值为___． 三、解答题 （第 17~21 题每题 8 分， 第 22、23 题每题 10 分， 24 题 12 分， 共 72 分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 正方形网格的每个小正方形边长都是1， 以格点为顶点分别按下列要求画图 （1）在图1中以边画一个菱形（不为正方形）； （2）在图2中画出一个正方形，使其面积为10． 19. 第 33 届夏季奥林匹克运动会将于 2024 年 7 月 26 日在巴黎开幕．某校组织七、 八年级进行了奥运知识竞赛， 并从七、八年级各随机抽取了 20 名学生竞赛成绩， 进行了整理和分析∶ 【数据的收集与整理】 素材 1∶ 竞赛成绩用 表示，总分 100 分，80 分及以上为优秀，共分为四个等级∶ 素材 2∶ 八年级 20 名学生的竞赛成绩统计图如图所示， 其中 等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82 ． 素材 3∶ 七年级 20 名学生的竞赛成绩为： ， ． 素材 4∶ 七、八年级抽取学生竞赛成绩统计如下表： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 73 a 78 八年级 73 81 【数据分析与应用】 （1）任务一：结合上述素材，直接写出素材 4 中， ， ， ； （2）任务二：结合上述竞赛成绩统计表， 你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？ 请说明理由（至少写出一条理由）； （3）任务三：若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有 600 人（七、八年级人数相同）， 请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀． 20. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当不等式 成立时， 的取值范围． 21. 如图． 在平行四边形中，分别是 边上的点，且 ， 交于点 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，求的长． 22. 如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ， （1）用含 的代数式表示 ； （2）当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ； （3）若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ． 23. “端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变） （1）设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示） （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额； （3）水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由． 24. 如图1，点是正方形内一点，， （1）填表∶ 的度数 的度数 （2）若，求的值； （3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023 学年第二学期海曙区期末调研八年级数学试题卷 一、选择题 （每小题 3 分， 共 30 分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求） 1. 现越来越多的年轻人用 “” 表达对宁波的喜爱， 其中的下列字母中， 不能将其看成中心对称图形的字母是（ ） A. I B. C. B D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义和各字母的特点即可求解． 【详解】解：由中心对称的定义知，绕一个点旋转后能与原图重合，则有字母、、是中心对称图形，字母不是中心对称图形． 故选：C 2. 下列方程中， 为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4. 已知点 ，点 在反比例函数 上，则 的值为（ ） A. B. 12 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入反比例函数，求出的值，进而即可求解． 【详解】解：把代入反比例函数， ， 反比例函数上， ， ， 故选：C 5. 若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ） A 1 B. 3 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．将代入原方程即可解决问题． 【详解】解：将代入原方程得， ， 解得． 故选：A 6. 在综合实践课上，小明画出 ，利用尺规作图找一点 ，使得四边形 为平行四边形． 如图是其作图过程． 小明这一作法判定四边形 为平行四边形的直接依据是（ ） （1）以点 为圆心， 为半径作出第一段圆弧 （2）以点 为圆心， 为半径作出第二段圆弧， 并与第 一段圆弧交于点 ； （3）连接 ， ，四边形 即为所求． A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，，根据平行四边形的判定方法即可得解．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】由步骤（1）可知， 由步骤（2）可知， 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”,可得四边形是平行四边形． 故选：B 7. 用反证法证明 “四边形中至少有一个内角小于或等于 ” 时，应该先假设（ ） A. 有一个内角小于 B. 有一个内角小于或等于 C. 每一个内角都小于 D. 每一个内角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明“四边形中至少有一个内角小于或等于”时，假设每一个内角都大于， 故选：D 8. 如图，平行四边形 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴正半轴上，点 在 轴上， 与 轴交于点 ，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数的几何意义，应用是解题的关键．作轴于，易得矩形的面积平行四边形的面积三角形面积的2倍，再利用等于矩形的面积即可． 【详解】解：作轴于， ， ， ， ， 在第二象限， ， 故选：C 9. 已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 10. 如图， 中 ，分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点，连结 ，若要知道 的值，只需知道下列哪个值（ ） A. 的面积 B. 的面积 C. 线段 的长 D. 线段 的长 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，如图，连，，利用等边三角形的性质和勾股定理得出，然后推出，证出，进而利用相似三角形的性质即可得解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连，， ∵ 和都为等边三角形， M、N 分别是， 的中点， ∴，，， ， ∴，， 在和中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴若要知道的值，只需知道线段的值就可以了， 故选：D． 二、填空题 （每小题 3 分， 共 18 分） 11. 当 __________________时， 的值最小． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：∵0， ∴当，即时，的值最小． 故答案为：3． 12. 如图，在平行四边形 中，若 ，则 的度数是 _________________ ． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．由“在平行四边形中，”可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数中，时，反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内都是y随x的增大而增大， ∴反比例函数中，得， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，理解掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 14. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击比赛，每人 5 场比赛成绩的平均数（单位：环）及方差 （单位∶ 环）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.7 9.8 9.8 9.7 2 2 2.5 2.5 根据表中数据， 要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛， 应选择_____________ ． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度． 【详解】解：丙、乙的平均数较大， 乙的方差甲的方差， 乙比较稳定， 成绩较好状态稳定的运动员是乙， 故答案：乙． 15. 在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是___． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的判定性质，正方形的判定和性质，勾股定理，弄清相关线段间的关系，能灵活运用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质，正方形的性质，翻折的性质用表示，，再利用勾股定理列方程解出即可． 【详解】解：由题意可知：四边形是正方形，四边形和四边形都是矩形， ，，， 是由折叠得到的， ， 在中，，即， 在中，，即， 联立解得：， 故答案为：10． 16. 如图，在等腰 中，，点从点出发沿 方向以的速度向点A匀速运动，同时点从点 A 出发沿方向以 的速度向点匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．过点 作于点，若平面内存在一点，使得以为顶点的四边形为菱形，则的值为___． 【答案】或或 5 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理的应用，先根据题意结合勾股定理分别表示出，及，再根据菱形性质分情况列方程计算即可． 【详解】解：在等腰 中，， ， 设点运动的时间为秒，则，， ，， ， ， ， 作于点H， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 为顶点的四边形为菱形， 分三种情况：①当时，则， ， 解得：， ， ， ②当时，则， ， 解得：（不合题意舍去）， ③当时，则， ， 解得：（不合题意舍去）， 综上所述，的值为或或5． 三、解答题 （第 17~21 题每题 8 分， 第 22、23 题每题 10 分， 24 题 12 分， 共 72 分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程、二次根式的加减法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、二次根式的加减法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质把二次根式化简，合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解出一元二次方程． 【详解】（1） （2） 解∶ 解得∶ 18. 正方形网格的每个小正方形边长都是1， 以格点为顶点分别按下列要求画图 （1）在图1中以为边画一个菱形（不为正方形）； （2）在图2中画出一个正方形，使其面积为10． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形、格点画图、勾股定理，熟练掌握格点画图的方法是解题关键． （1）结合格点，利用勾股定理和菱形的定义画图即可； （2）先求出正方形的边长为，再结果勾股定理和网格特点画出图形即可． 【小问1详解】 解：菱形如图所示： 【小问2详解】 解：正方形，如图所示： 19. 第 33 届夏季奥林匹克运动会将于 2024 年 7 月 26 日在巴黎开幕．某校组织七、 八年级进行了奥运知识竞赛， 并从七、八年级各随机抽取了 20 名学生的竞赛成绩， 进行了整理和分析∶ 【数据的收集与整理】 素材 1∶ 竞赛成绩用 表示，总分 100 分，80 分及以上为优秀，共分为四个等级∶ 素材 2∶ 八年级 20 名学生的竞赛成绩统计图如图所示， 其中 等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82 ． 素材 3∶ 七年级 20 名学生的竞赛成绩为： ， ． 素材 4∶ 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计如下表： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 73 a 78 八年级 73 81 【数据的分析与应用】 （1）任务一：结合上述素材，直接写出素材 4 中， ， ， ； （2）任务二：结合上述竞赛成绩统计表， 你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？ 请说明理由（至少写出一条理由）； （3）任务三：若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有 600 人（七、八年级人数相同）， 请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀． 【答案】（1）78；80.5； （2）八年级的学生成绩更好，理由见解析 （3）该校七八年级大约共有 270 人成绩优秀 【解析】 【分析】题考查条形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据众数和中位数的定义解答即可求出、的值，用优秀的人数除以总人数即可得的值； （2）根据平均数、中位数、众数和优秀率进行判断即可； （3）用样本估计总体可得结果． 【小问1详解】 在七年级20名学生的竞赛成绩中78出现的次数最多，故众数； 把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，中位数是第10位、第11位的平均数，故中位数； 八年级的优秀率， 故答案为：78，80.5，； 【小问2详解】 八年级的学生成绩更好，理由如下： 因为七八年级的平均数相同，但八年级的中位数（众数、优秀率）高于七年级，所以八年级的学生成绩更好（答案不唯一）； 【小问3详解】 （人）， 答：该校七八年级大约共有270人成绩优秀． 20. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ． （1）求反比例函数和正比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出当不等式 成立时， 的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质与正比例函数图象和性质等知识点， （1）待定系数法求出正比例函数与反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可； 熟练掌握反比例函数的对称性质是关键． 小问1详解】 将点坐标分别代入和得： ， ∴正比例函数解析式为，反比例函数解析式为； 【小问2详解】 根据反比例函数对称性可知点B坐标为， ∵不等式成立时，即一次函数的图象要位于反比例函数图象上方， ∴由图象可知，x的取值范围为：或． 21. 如图． 在平行四边形中，分别是 边上的点，且 ， 交于点 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得出 ，由已知条件得出，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得出四边形是平行四边形． （2）先证明平行四边形是菱形，由菱形的性质可得出，，由勾股定理可得出，即可得出． 【小问1详解】 证明∶四边形是平行四边形， 又 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 平行四边形是菱形 ，，． ． ∴， 22. 如图， 是渔民骑坐 “木海马” 在滩涂上赶海， 这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．已知人和 “木海马” 对滩涂的压力 （单位∶ ），“木海马” 底面面积 （单位：） 与人和木板对滩涂的压强 （单位∶ ）满足关系： ，若人和木板对滩涂的压力 合计为 ， （1）用含 的代数式表示 ； （2）当 “木海马” 底面面积为 时，人和木板对滩涂的压强是多少 ； （3）若要人和木板对滩涂的压强不超过 ，则 “木海马” 底面面积至少需要多少 ． 【答案】（1） （2）人和木板对滩涂的压强是 （3）至少需要 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用等知识点， （1）根据，得出结论； （2）把代入（1）中解析式即可； （3）根据反比例函数的性质得出结论； 关键是求出反比例函数解析式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 答：人和木板对滩涂的压强是； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，p随S的增大而减小， ∴当时，即， ∴， 答：“木海马”底面面积至少需要． 23. “端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变） （1）设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示） （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额； （3）水果店定了 “每天售出杨梅销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由． 【答案】（1） （2）每千克售价为 54 元或 56 元时， 每天能获得 9072 元的销售额 （3）不能达到这个 “小目标”，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为：； 【小问2详解】 设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 或， 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额； 【小问3详解】 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， ， 不能达到这个“小目标”． 24. 如图1，点是正方形内一点，， （1）填表∶ 的度数 的度数 （2）若，求的值； （3）如图2，作于，交延长线于点，已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）1 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可； （2）过点B作的垂线交延长线于点E，，构造等腰直角三角形，通过证明得，即可求的值； （3）连接，证得是线段的垂直平分线，推出是等腰直角三角形，再证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 当时， ∴，，， ∴； 当时， ∴，，， ∴； 填表如下： 的度数 的度数 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作的垂线交延长线于点E， 由（1）得． ∵， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：连接， 由（1）得． ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质．解答本题的关键是正确作辅助线，构造直角三角形和全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$