安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第1页（共9页） 省十联考 合肥一中 2023～2024 学年度高二下学期期末联考 数学参考答案 一.单选题 1．【答案】 D 【解析】对于命题 p ，当 1x = − 时， | 1 | 0 1x + = < ，故 p 是假命题，则 p 的否定为真命题， 对于命题q ， 0∆ < ，故q 是假命题， q 的否定是真命题， 综上可得， p 的否定和q 的否定都是真命题. 故选 .D 2．【答案】 A 【解析】由已知 1 2 3 4 5 3 5 x + + + += = ， 2 4 4 7 8 5 5 y + + + += = ， 因为点 ( ),x y 在回归直线 ˆ ˆ1.5y x a= + 上， 所以 ˆ 0.5a = ， 所以 3x = 时残差为 ( )ˆ4 3 4 5 1y− = − = − . 故选: .A 3．【答案】 D 【解析】 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 23 3 3 3 S t SS t t t t t − ++ ∆ −∆ + ∆= = = ∆ ∆ ∆ + ∆ ， 所以 ( )0 0 2 2lim lim 3 3 9t t S t t∆ → ∆ → ∆ = = ∆ + ∆ ，即该质点在 3t s= 时的瞬时速度为 2 9 ; 从 1t s= 到 3t s= 这两秒内的平均速度为 ( ) ( )3 1 2 3 1 3 S S− = − ; 故选: .D 4．【答案】 B 【解析】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精 良。从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具;反过来如果有锐利精良的工 具，不能得出一定能做好活儿。 故选: .B 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第2页（共9页） 省十联考 5．【答案】 D 【解析】对于选项A，若 1, 1a b= = − 时， 1 1 a b a < − ，则A错误． 对于选项B，若 ,a b c d< < ，当 1, 1, 2, 3a b c d= − = = = ，则 ac bd< ，则B错误． 对于选项C，若取 3a = ， 2b = ， 1c = ，则 1b c a c a b = = − − ，故C错误． 对于选项D，因为函数 1y x x = + 在 ( )1,+∞ 上单调递增，故D正确． 故选: .D 6．【答案】 A 【解析】在二项式 12 n x x  −    展开式中，二项式系数的和为 62 64 2= =n ，所以 6n = . 则 12 n x x  −    即 612 x x  −    ，通项公式为 ( ) ( )6 6 3 1 1 , 0,1, 2, ,6C 2 r rr r rT x r − − + = ⋅ ⋅− =  ， 故展开式共有7项，当 0,2,4,6r = 时，展开式为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排，再把这4 个奇次项插入其中的4个空中，方法共有 3 4 3 4A A 种, 故奇次项都互不相邻的概率为 3 4 3 4 7 7 A A 1 A 35 P = = , 故选: .A 7．【答案】C 【解析】设10名学生中有n名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为 ξ ，由 ( 1) 4 21 0 P ξ = = ，得 21 10 10 3 40 21n nC C C − = ， 化 简 得 ( )( )10 9 6 3 7n n n− − = × × ， 解 得 3n = ， 即 本 次 测 试 的 不 合 格 率 为 3 10 × 100% 30%.= 故选: .C 8．【答案】 B 【 解 析 】 因 为 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2d ca b c a b b c ab bc cd ab bc cd ab bc d cd ab bc cd + + + + + + ++ + + = = + + + + + +  ， 当 且 仅 当 a b c d= = = 时等号成立. 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第3页（共9页） 省十联考 1, [ ,1] 3 a b∈ ，由对勾函数性质，所以 10 3 b a a b +  ， 则 ( )2 210 3ab a b+ ，同理 ( )2 2310bc b c+ ， ( ) 2 23 10 cd c d+ 则 ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 32 23 10 a b c a b c ab bc cd a b c d d d + ++ + + + + = + + + +  ， 故 2 2 222 2a b c b c d ab c d ++ + + + 的取值范围是 2 , 10 3 .    故选: .B 二、多选题 9．【答案】ABD 【解析】对于选项A，若 ~ (0,1)Nξ ， 1 2 ( 1) 1( 1 0) 2 2 PP pξξ − >− < = = − ，则A正确． 对于选项B，设 ~ ( , )B n pξ ，则 ( ) ( ) ( ) 30 1 20 E np D np p ξ ξ  = =  = − = ，解得 90 1 3 n p =   = ，则B正确． 对于选项C， (2 3) 4 ( )D X D X− = ，故C错误． 对于选项D，因为 ~ (10,0.8)X B ，则 ( ) 1010 0.8 0.2k k kP x k C −= = ⋅ ; 因为 ( ) ( ) 1 1 9 10 10 10 1 0.8 0.2 40 4 0.8 0.2 1 k k k k k k P x k C k P x k C k + + − − = + ⋅ − = = = ⋅ + ，若 40 4 391 8 1 5 k k k − = ⇒ = < + ， 则当 7k ≤ 时， ( ) ( )1P x k P x k= + > = ，当 8k ≥ 时， ( ) ( )1P x k P x k= + < = ， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 7 8 9 10P x P x P x P x P x P x= < = < < = < = > = > = ，所以当 8X = 时概率 最大，故D正确． 故选: .ABD 10．【答案】BD 【解析】对于选项A， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ! - 1 1 ! m m n n nnA n nA n m n m − − − = = ⋅ = − − −   ！ ！ ，则A错误． 对 于 选 项 B ， 11 ( 1)! ! ! n n n nA A n n n + + − = + − = ( 1 1) !n n n+ − = ⋅ ， ( )2 1 21 1 ! !nnn A n n n n−− = − = ⋅ ， 所 以 1 2 1 1 1 n n n n n nA A n A + − + −− = ，则B正确． 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第4页（共9页） 省十联考 对于选项C， 3 3 3 3 3 3 3 3 33 4 5 2023 4 5 2023 5 2 4 4 4 25 0 3C C C C C C C C C C C+ + + + = + + + + + + +=   4 2020 2024 2024C C= = = ，故C错误. 对于选项D，考虑二项式 2(1 ) nx+ 展开式的 nx 前的系数是 2 n nC ，又因为 2(1 ) (1 ) ( 1)n n nx x x+ = + ⋅ + 的 nx 前的系数可看成 0 0 1 1 n nn n n n n nC C C C C C⋅ + ⋅ + + ⋅ ，故D正确． 故选: .BD 11．【答案】 BC 【解析】对于选项A，若函数 ( )f x 在 R 上单调递增，则 2 0 2 2 1 a a a a −− = − ≥ − − ≤ − ，即 0 1 a a ≤  ≥ − ，即 [ ]1,0a∈ − ，则A错误． 对于选项B，令 ( ) 0f x = ，当 0x ≥ 时， xa e= ，若函数 ( )f x 有3个零点，则 xa e= 需有一个零点，则 1a ≥ ; 当 0x < 时，得 2 2 2 0x ax a− − − = ，若函数 ( )f x 有3个零点，则 2 2 2 0x ax a+ =+ 需有两个不等的负实根 ，则 ( )22 4 2 0 2 0 a a a ∆ = − ⋅ >  > ，解得 2.a > 故若函数 ( )f x 有3个零点，则a 的取值范围是 ( )2,+∞ ，则B正确． 对于选项C，设函数 ( )f x 的3个零点分别是 1x ， 2x ， 3 1 2 3( )x x x x< < ，则 3 1 2 2 x x x a e a + = −  = ，得 1 2 3 12 ln 3 3 1x x x a a= − −+ − ，令 1( ) 2 ln 3 g x x x= − − ， ( )2,x∈ +∞ 则 1 6 1( ) 2 3 3 xg x x x − − ′ = − − = ，则 ( )g x 在 ( )2,+∞ 上单调递减， max 1( ) (2) 4 ln 2 3 g x g= = − − 当 x 趋近于+∞时， ( )g x 趋近于负无穷大，则函数 ( )g x 的取值范围为 1, 4 ln 2 3  −∞ − −    即 1 2 33 1x x x+ − 的取值范围是 1, 4 ln 2 3  −∞ − −    ，故C正确． 对于选项D，当 0x < 时，函数 ( ) 21 2 2x x af x a− − −= 是开口向下的二次函数，故函数 ( )1f x 只能在两 边端点处取得最小值;当 0x ≥ 时，函数 ( )2 xf x e a= − 单调递增，故 ( ) ( )2 2min 0 1f x f a= = − ;要使函 数 ( )f x 在 ( )1,1− 内有最小值，即 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 2 1 f a f a a − = − ≥ −  = − ≥ − ，即 2 1 a a ≥  ≤ − ，故a 无解，所以不存在a ，故D 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第5页（共9页） 省十联考 错误． 故选: .BC 三、填空题 12．【答案】[6,8] 解析: ( ,0] [6, )U B = −∞ ∪ +∞ ，所以 ( ) [6,8]UA B =  13．【答案】4. 解析:由三次函数对称性可知 1 2( ) ( ) 4.f x f x+ = 答案:4. （24年全国1卷18题第2问思路） 另解: 2 2( ) 3 0 2 af x ax′ = − = 解得 1 2,6 6 a ax x= = − 所以 1 2( ) ( )f x f x+ = ( ) ( ) 46 6 a af f+ − = 14．答案: 2 1 3 1 2 2 m m− + . 解析:设三组中的数的个数分别为3 ,3 ,3 ( , , )x y z x y z N+∈ 则3 3 3 2 3 2,x y z m+ + + = + 所以 x y z m+ + = 隔板法可得 2 2 1 ( 1)( 2) 1 3 1. 2 2 2m m mC m m− − − = = − + （24年全国1卷19题第3问思路） 四、解答题 15． 解析:（Ⅰ）因为 2 ( 1) 0x a x a− + + = 解得 1 2, 1.x a x= = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅2分 当 1a > 时，不等式解集为 ( ,1] [ , )a−∞ ∪ +∞ ;当 1a = 时，不等式解集为 R ; 当 1a < 时，不等式解集为 ( , ] [1, )a−∞ ∪ +∞ . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅8分 (Ⅱ)易知 2 3 3xa x x x + ≤ = + 在 [1, 2]x∈ 上有解，所以 max 3( )a x x ≤ + ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅10分 因为 [1, 2]x∈ ，所以 3 4x x + ≤ . 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第6页（共9页） 省十联考 所以 4a ≤ . 答案: 4a ≤ ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅13分 16． 解析:（Ⅰ）零假设为 0H :是否喜欢篮球和学生性别没有关联. 2 2 ( ) 4.167 ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ −= ≈ + + + + 0.01 6.635 x< = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅4分 根据 0.01α = 的独立性检验，没有充分证据推断 0H 不成立，因此可以认为 0H 成立，即该高中学生是 否喜欢篮球和学生性别没有关联. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅5分 不一致.原因是根据全面调查数据作判断，其结论是确定且准确的.而根据样本数据作判断，会因为随 机性导致样本数据不具代表性，从而不能得出与全面调查一致的结论. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅8分 (Ⅱ)将样本列联表中所有数据扩大为原来的2倍，经计算: 2 2 ( ) 8.333 ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ −= ≈ + + + + 0.01 6.635 x> = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅12分 根据 0.01α = 独立性检验，可以推断该高中学生是否喜欢篮球和学生性别有关联 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 13分 与原样本数据得到的结论不一致，样本变大为原来的2倍，相当于样本量变大为原来的2倍，导致推断 结论发生了变化. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅15分 17． 解析:（Ⅰ） 2 2 1( ) 2, ( 0)s x x x x = + ≥ > ，当且仅当 1x = 时，等号成立，所以当 (1,1)P 时， 点 P 是 ( )f x 到点 M 的“最近点”; ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅6分 (Ⅱ) 2 2( ) (ln 1) , ( 0)s x x x x= + − > ; 所以 22 2 ln( 2) x xs x x − +′ = ; ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅9分 记 2( ) 1 ln , ( 0)h x x x x= − + > ，则 ( )h x 在 (0, )+∞ 上单调递增， 因为 (1) 0h = ，所以 ( )s x 在 (0,1) 单调递减，在 (1, )+∞ 单调递增， 所以 ( ) (1)s x s≥ ，即点 (1,0)P 是 ( )f x 到点 M 的“最近点”. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅13分 切点为 (1,0)P ，则 ( )f x 在点 P 处的切线 l 的斜率为1， 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第7页（共9页） 省十联考 1 0 1 0 1MP k −= = − − 所以直线MP与 ( )f x 在点 P 处的切线垂直， 当且仅当取 (1,0)P 时，它是 ( )f x 到点M 的“最近点”，且直线MP与 ( )f x 在点 P 处的切线垂直. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 15分 18． 解析:（Ⅰ）设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B. 3 3 2 1 3 34 4 3 32 2 ( ) 1( ) . ( ) 7 An ABP B A Cn A C A A A = = = + ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅4分 (Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅5分 2 3 1 3 1 5 3 5 3 3 5 93( 0) ; 3 243 C A C A CP X + += = = 1 2 35 4 32 2 5 90( 1) ; 3 243 C C A AP X = = = 1 1 35 4 32 2 5 60( 2) ; 3 243 C C A AP X = = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅8分 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 P 93 243 90 243 60 243 X 的数学期望 93 90 60 70( ) 0 1 2 . 243 243 243 81 E X = × + × + × = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅10分 (Ⅲ)选择方案1获取奖金总额的数学期望为 70 7000300 . 81 27 × = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅11分 设选择方案2获奖人数为Y ，Y 的可能取值为0,1,2. 则 2 2 5 2( 0) ; 2 32 AP Y = = = 1 2 5 2 5 10( 1) ; 2 32 C AP Y = = = 2 2 5 2 5 20( 2) ; 2 32 C AP Y = = = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅14分 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第8页（共9页） 省十联考 方案2获奖人数的数学期望 2 10 20 25( ) 0 1 2 . 32 32 32 16 E Y = × + × + × = 选择方案2获取奖金总额的数学期望为 25 625200 . 16 2 × = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅16分 因为 625 7000 . 2 27 > 所以选择方案2. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅17分 19． 解析:（Ⅰ） ( )f x 的定义域为{ }0x x ≠ ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅1分 2 2 ( 1)( ) 0. x x xxe e e xf x x x − −′ = = = 得到 1x = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅2分 所以 ( )f x 在 (1, )+∞ 单调递增，在 ( ,0)−∞ 和 (0,1) 单调递减. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅4分 (Ⅱ)因为 2 ( ) x xg x e = ，所以 2 2 2 2 2( ) , . x x x x xe x e x xg x x R e e − −′ = = ∈ ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅6分 设切点坐标为 0 2 0 0( , ) xx x e− ，则切线方程为 0 0 2 2 0 0 0 0 2 ( )x x x xy x e x x e − −− = − . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅7分 因为曲线 ( )y g x= 的切线的斜率为负数，所以 0 2 0 02 0x x x e − < ，解得 0 0x < 或 0 2x > . 在切线方程中，令 0y = ，得 0 0 2 2 0 0 0 0 2 ( )x x x xx e x x e − −− = − ， 解得 2 0 0 0 0 0 22 3 2 2 x xx x x x − = = − + + − − . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅8分 令 0 2t x= − ，则 2 3( 2x t t t = + + < − 或 0)t > ， 可得 ( ,0) [3 2 2, ).x∈ −∞ ∪ + +∞ 即 l 在 x 轴上的截距的取值范围为 ( ,0) [3 2 2, )−∞ ∪ + +∞ . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅10分 (Ⅲ)因为 ( ) 2sin . xex x x ϕ = − 则 2 2 ( 1) 2 cos( ) . xx e x xx x ϕ − −′ = ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅11分 当 [ ,0) 2 x π∈ − 时， ( ) 0.xϕ′ < .故 ( )xϕ 在[ ,0) 2 π − 上单调递减. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅12分 当 ( , ) 2 x ππ∈ − − 时，令 2( ) ( 1) 2 cosxh x x e x x= − − 则 2( ) 4 cos 2 sin ( 4cos 2 sin ) 0x xh x xe x x x x x e x x x′ = − + = − + < ， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅13分 合肥一中高二下学期期末联考·数学参考答案 第9页（共9页） 省十联考 所以 ( )h x 在 ( , ) 2 ππ− − 上单调递减，因为 ( ) 0, ( ) 0 2 h h ππ− > − < ， 所以 ( )h x 在 ( , ) 2 ππ− − 上有唯一零点.即 ( )xϕ 在 ( , ) 2 ππ− − 上有唯一零点 x a= . ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅15分 当 ( , )x aπ∈ − 时， ( ) 0h x > ，即 ( ) 0xϕ′ > ， 当 ( ,0)x a∈ 时， ( ) 0h x < ，即 ( ) 0xϕ′ < ，所以 x a= 时 ( )xϕ 取最大值. 所以 2 2 2( 1)( ) ( ) 0 2 ea e π π π πϕ ϕ π − > − = > ， ( ) 2sin 2sin 2 aea a a a ϕ = − < − < ， 即0 ( ) 2aϕ< < 得证. ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅17分 合肥一中高二下学期期末联考·数学 第1页（共4页） 省十联考 合肥一中 2023～2024 学年度高二下学期期末联考 数学试题 (考试时间:120分钟 满分:150分) 注意事项: 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。 2．答题时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作 图题可先用铅笔在答题卷．．．规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必 须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.） 1．已知命题 p : x R∀ ∈ ， | 1 | 1x + > ，命题q : 0x∃ > ， 2 1 0x x− + = ，则( ) A．命题 p 、命题q 都是真命题 B. 命题 p 的否定、命题q 都是真命题 C．命题 p 、命题q 的否定都是真命题 D. 命题 p 的否定、命题q 的否定都是真命题 2．给定两个随机变量 x 和 y 的 5 组数据如下表所示，利用最小二乘法得到 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ ˆ1.5y x a= + ，则（ ） x 1 2 3 4 5 y 2 4 4 7 8 A. ˆ 0.5, 3 1a x= = −时的残差为 B． ˆ 0.5, 3 1a x= = 时的残差为 C． ˆ 0.4, 3 0.9a x= = −时的残差为 D． ˆ 0.4, 3 0.9a x= = 时的残差为 3．若质点 A运动的位移 S （单位: m ）与时间 t （单位: s ）之间的函数关系是 ( ) ( )2 1S t t t = − ≥ ，那么 该质点在 3t s= 时的瞬时速度和从 1t s= 到 3t s= 这两秒内的平均速度分别为（ ） A． 2 2, 3 9 − B． 2 2, 3 9 C． 2 2, 9 3 − D． 2 2, 9 3 4．子曰:“工欲善其事，必先利其器。”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》。此名言中的“利其器” 是“善其事”的( ) A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 合肥一中高二下学期期末联考·数学 第2页（共4页） 省十联考 5．对于实数 , , ,a b c d ，下列说法正确的是( ) A．若 a b> ，则 1 1 a b a > − B．若 ,a b c d< < ，则 ac bd> C．若 0a b c> > > ，则 b c a c a b > − − D．若 1a b> > ，则 1 1a b a b + > + 6．在二项式 12 n x x  −    的展开式中，二项式系数的和为 64，把展开式中所有的项重新排成一列， 奇次项（未知数 x 的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（ ） A． 1 35 B． 1 6 C． 1 4 D． 2 7 7．现有 10 名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不 合格人数为ξ ，已知 21( 1) 40 P ξ = = ，则本次测试的不合格率为( ) A．10% B. 20% C. 30% D. 40% 8．已知 1, , , [ ,1] 3 a b c d ∈ ，则 2 2 2 22 2a b c d ab bc cd + + + + + 的取值范围是（ ） A． 52 , 2      B. 102 , 3      C. 5 10, 2 3      D. [ )2,+∞ 二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 6 分，部分选择对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9．下列说法中正确的是( ) A．若 ~ (0,1)Nξ ，且 ( 1)P pξ > = ，则 1( 1 0) 2 P pξ− < = − B．设 ~ ( , )B n pξ ，若 ( ) 30E ξ = ， ( ) 20D ξ = ，则 90n = C．已知随机变量 X 的方差为 ( )D X ，则 (2 3) 2 ( ) 3D X D X− = − D．若 ~ (10,0.8)X B ，则当 8X = 时概率最大 10．已知 ,m n N ∗∈ 且 1n m≥ > ，下列等式正确的有( ) A． 11 m m n nA mA − −= B. 1 2 1 1 1 n n n n n nA A n A + − + −− = C． 3 3 3 3 20213 4 5 2023 2024C C C C C+ + + + = D. 2 2 20 12( ) ( ) ( )n nn n n nC C C C+ + + = 11．设函数 2 2 2 , 0 ( ) , 0x x ax a x f x e a x − − − <=  − ≥ ，则下列说法正确的是( ) A．若函数 ( )f x 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ]( ,0−∞ B．若函数 ( )f x 有3个零点，则实数 a 的取值范围是 ( )2,+∞ C．设函数 ( )f x 的 3 个零点分别是 1x ， 2x ， 3 1 2 3( )x x x x< < ，则 1 2 33 1x x x+ − 的取值范围是 1, 4 ln 2 3  −∞ − −    D．存在实数 a ，使函数 ( )f x 在 ( )1,1− 内有最小值 合肥一中高二下学期期末联考·数学 第3页（共4页） 省十联考 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．全集U R= ， [4,8], (0,6)A B= = ，则 ( )UA B =  . 13．已知 0a > ，函数 2 3( ) 2 2 af x ax x= − + 有两个不同极值点 1 2,x x ，则 1 2( ) ( )f x f x+ = . 14．从一列数 1 2 3 3 2, , , , ma a a a +⋅⋅ ⋅ （ 3,m m Z≥ ∈ ）中抽取 ,i ja a （1 3 2i j m< < < + ）两项，剩余的项 分成（ 1 2 1, , , ia a a −⋅⋅ ⋅ ）,（ 1 2 1, , ,i i ja a a+ + −⋅⋅ ⋅ ）,（ 1 2 3 2, , ,j j ma a a+ + +⋅⋅ ⋅ ）三组，每组中数的个数均大于 零且是 3 的倍数，则 ,i ja a 有 种不同的取法.（答案用m 表示） 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明证明、过程或演算步骤.） 15．（13 分） （Ⅰ）解关于 x 的不等式: 2 ( 1) 0.x a x a− + + ≥ （Ⅱ）关于 x 的不等式 2 3 0x ax− + ≥ 在 [1, 2]x∈ 上有解，求实数a 的取值范围. 16．（15 分）为了研究合肥市某高中学生是否喜欢篮球和学生性别的关联性，调查了该中学所有学生， 得到如下等高堆积条形图: 从所有学生中获取容量为 100 的样本，由样本数据整理得到如下列联表: 男生 女生 合计 喜欢 35 15 50 不喜欢 25 25 50 合计 60 40 100 （Ⅰ）根据样本数据，依据 0.01α = 的独立性检验，能否认为该中学学生是否喜欢篮球和学生性 别有关联?与所有学生的等高堆积条形图得到的结论是否一致?试解释其中原因. （Ⅱ）将样本列联表中所有数据扩大为原来的 2 倍，依据 0.01α = 的独立性检验，与原样本数据 得到的结论是否一致?试解释其中原因. 参考公式: 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ −= + + + + 其中n a b c d= + + + ）． α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 合肥一中高二下学期期末联考·数学 第4页（共4页） 省十联考 17．（15 分）对于一个函数 ( )f x 和一个点 ( , )M a b ，定义 2 2( ) ( ) ( ( ) )s x x a f x b= − + − ，若存在 0(P x ， 0( ))f x ，使 0( )s x 是 ( )s x 的最小值，则称点 P 是函数 ( )f x 到点 M 的“最近点”． （Ⅰ）对于 1( ) ( 0)f x x x = > 和点 (0,0)M ，求点 P ，使得点 P 是 ( )f x 到点 M 的“最近点”. （Ⅱ）对于 n( l)f x x= ， (0,1)M ，请判断是否存在一个点 P ，它是 ( )f x 到点M 的“最近点”，且直 线 MP与 ( )f x 在点 P 处的切线垂直，若存在，求出点 P ；若不存在，说明理由. 18．（17 分）某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从 , ,A B C 三个 字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如: 5人中2 人选 A，2 人 选 B ，1人选C ，则选择C 的人获奖; 5人中3人选 A，1人选 B ，1人选C ，则选择 B 和C 的人 均获奖;如 , ,A B C 中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖） （Ⅰ）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率; （Ⅱ）设每组5人中获奖人数为随机变量 X ，求 X 的分布列和数学期望; （Ⅲ）商家提供方案2 ：将 , ,A B C 三个字母改为 A和 B 两个字母，其余规则不变，获奖的每个人 奖励200 元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方 案 2 ？ 19．（17 分）函数 ( ) . xef x x = （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间; （Ⅱ）已知函数 ( ) ( ) xg x f x = ，当函数 ( )y g x= 的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上的截距的 取值范围; （Ⅲ）设 ( ) ( ) 2sinx f x xϕ = − ，若 x a= 是函数 ( )xϕ 在 ( ,0)π− 上的极值点，求证: 0 ( ) 2aϕ< < .