精品解析：福建省龙岩市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检查数学试题

龙岩市2023~2024学年第二学期期末高二教学质量检查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由得， 故， 故选：B 2. 已知事件A，B满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率公式求解 【详解】. 故选：. 3. 在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用基底分别表示向量，再利用空间向量的减法可得结果. 【详解】根据题意，. 故选：C 4. 若函数在上单调递减，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上单调递减，故在恒成立，则由即可求解. 【详解】由题意可知，在上单调递减， 所以在恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为， 所以的最小值为. 故选：B. 5. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点为，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,根据题意写出各点坐标，求出与平面的法向量，根据夹角公式可得线面角的正弦值，再由同角关系式得余弦值，即可求解. 【详解】取中点为，连接，，， 又侧面底面，侧面底面，面， 底面， ，，，连接，则. 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，设平面的法向量为，则，可取， ， 设直线与平面所成角为，， ， 直线与平面所成角的正切值为. 故选：. 6. 某观影平台对新近上映的某部影片的观众评价情况进行调查，得到如下数据（单位：人）： 作出评价 不作评价 男 30 15 女 45 10 附：， 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 则下列说法正确的是（ ） A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关 B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关 C. 没有95%的把握认为是否作出观影评价与性别有关 D. 有99%的把握认为是否作出观影评价与性别有关 【答案】C 【解析】 【分析】计算出卡方，结合题意表格中的数据即可判断. 【详解】由题意知，， 所以没有的把握认为是否作出观影评价与性别有关. 故选：C 7. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两边取对数得，令，通过导数判断函数单调性即可. 【详解】由题意，因为， 所以等式两边取对数化解得， 令， 所以， 当时，即，在单调递增； 当时，即，在单调递减； 因为， 且， 所以， 所以. 故选：D. 8. 已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在， B. 对任意， C. 存在， D. 对任意， 【答案】D 【解析】 【分析】对A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某校学生的数学测试成绩服从正态分布，则（ ） A. 越大，测试成绩在概率越大 B. 无论取何值，测试成绩落在与落在的概率相等 C. 若随机变量满足，则 D. 若随机变量满足，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质及期望、方差的性质计算可得. 【详解】对于A：因为，则，越大，则数据越分散， 所以测试成绩在的概率越小，故A错误； 对于B：因为，， 所以根据正态曲线的对称性可知，无论取何值，测试成绩落在与落在的概率相等，故B正确； 对于C：因为，，则， 所以，故C正确； 对于D：因为，，则， 又，即，所以，即， 所以，故D错误. 故选：BC 10. 已知正方体棱长为1，动点M满足，则（ ） A. 当，时，直线⊥平面 B. 当，，时，点M到直线的距离为 C. 当，，时，的值可能为 D. 当且时，点M的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，先得到点为的中点，建立空间直角坐标系，计算出，故与不垂直，故直线与平面不垂直；B选项，求出，利用点到直线的距离向量公式求出点M到直线的距离；C选项，求出，计算出，利用图形关系得到其最小值，由于最小值大于，C错误；D选项，推出点在平面上，并得到⊥平面，且，又，故，求出点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆，轨迹长度为，D正确. 【详解】A选项，当，，此时点为的中点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由于，， 故， 故与不垂直，故直线与平面不垂直，A错误； B选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故，， 又，故， 故点M到直线的距离为，B正确； C选项，当，，时， ， 设，则，解得， 故， 其中，故， 故 ， 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为， 则的最小值为， 当且仅当，即时，等号成立， 故的值不可能为，C错误； D选项，当时， ， 故，即， 故点在平面上， 连接，交平面于点，则， 因为， ， 故⊥，且⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 且， 又，故， 故点M的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 故轨迹长度为，D正确. 故选：BD 【点睛】立体几何中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. 已知函数有两个零点，，且，则（ ） A. 当时，在处的切线与y轴垂直 B. 实数a的取值范围是 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数，解决切线斜率问题，利用导数来判断单调性，利用极值点偏移法来证明不等式. 【详解】当时，，，所以A项正确； 由题意，函数，则， 当时，在上恒成立，所以函数单调递增，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为函数有两个零点且， 则，且， 所以，解得，所以B项正确； 由，得，， 则，设， 则由和解得， 故，由变形得， 令，可知，即在递增， 所以，即，所以C项不正确； ， 令，则， 即在递减，所以，所以，即D项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：对于零点满足的不等式，利用极值点偏移的方法来加以证明. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一个不透明的密封盒子中装有8只昆虫，其中蜜蜂和蝴蝶的数量各占一半.现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫，且任意一只昆虫都等可能地飞出.则“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只是蝴蝶”的概率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】从盒子中任意飞出2只昆虫，共有种，至少有1只是蝴蝶，有种，根据古典概型概率求解. 【详解】“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只是蝴蝶”为事件A， 则. 故答案为： 13. 已知函数，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的最小值. 【详解】因为，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以时，，即，则单调递减， 所以时，，即，则单调递增， 所以. 故答案为： 14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法来计算动点坐标关系，从而去解决平面问题. 【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴 则 ， 设平面的法向量， 则，得， 设平面，与平面交于点， 则，点，由，得，即， 当平面经过直线并绕着直线旋转时， 平面与平面的交线绕着点旋转， 当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形， 令平面与平面的交线交于点，交于点， 设，， 则， ， 由三点共线，得，， 所以，因此，所以 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码（t） 1 2 3 4 5 交易额y（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算y与t的相关系数r，并说明y与t的线性相关性的强弱；（已知：，则认为y与t线性相关性很强；，则认为y与t线性相关性一般；，则认为y与t线性相关性较弱.） （2）利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2024年该平台的交易额. 参考数据：，， 参考公式：相关系数 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】（1）0.92，线性相关性程度很强 （2），15.9百亿. 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的计算公式可得，判断即可； （2）根据公式求线性回归方程，再将代入方程，进行预测. 【小问1详解】 依题意，，， ， 故， 所以线性相关性程度很强； 【小问2详解】 ，， 则， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预计2024年该平台的交易额为15.9百亿. 16. 如图，已知平行四边形，点E为的中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知的边和异面直线所成的角转化为已知的平面角，即可以证明线线垂直，再证线面垂直，最后到面面垂直； （2）利用空间向量法来求两平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连结，，由于是中点，可知， 所以为等边三角形，即， 又因为与夹角的余弦值为，， 所以与的夹角就是，即， 由余弦定理得：， 所以，即， 因为，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，所以， 因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以． 因为为的中点，则，所以为等腰三角形， 可得，，即. 取的中点，则，所以， 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，， 可得，，设是平面的一个法向量， 所以，即，取， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为， 所以. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17 已知函数. （1）求函数的极小值点； （2）证明：. 【答案】（1）0 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求的定义域，求导，得到，且时，，时，，故0是的极小值点； （2）对不等式变形得到，令，求导，得到其单调性，从而得到正负，故恒成立，结论得证. 【小问1详解】 定义域为，， 其中， 当时，，故， 当时，，故 故在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值点是0. 【小问2详解】 等价于， 即， 令， 则， 当时，，所以在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 则恒成立，故. 18. 手机芯片（以下简称“芯片”）是手机中的核心组件之一，负责处理和控制手机的各种功能和任务.某大型企业准备把芯片的生产任务交给甲工厂或乙工厂，经过调研和抽样调查发现：甲工厂试生产的一批芯片的次品率为6%；乙工厂试生产的另一批芯片的次品率为2%；若将这两批芯片混合放在一起，则次品率为3%. （1）从混合放在一起的芯片中随机抽取3颗，用频率估计概率，记这3颗芯片中来自甲工厂的颗数为X，求X的数学期望； （2）为了获得芯片的生产订单，甲工厂通过采用最新的制造工艺，可以提高芯片的性能.记在甲工厂提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，在甲工厂不提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，已知.设事件 “甲工厂提高了芯片性能”，事件“该大型企业把芯片交给甲工厂生产”，其中，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先应用对立事件概率和为1再结合全概率公式计算可得独立事件的概率，最后应用二项分布求出数学期望； （2）应用条件概率公式结合对立事件概率和为1证明即可. 【小问1详解】 设事件“混合放在一起的芯片来自甲工厂”，事件“混合放在一起的芯片是次品”， 设，则， 所以， 计算得．的可能取值为0，1，2，3，，. 【小问2详解】 依题意得：．即． 因为，，所以． 因为，， 所以．即得， 所以． 即． 又因为，，所以． 因为，，所以． 即得证． 19. 已知函数的定义域为，其导函数为.若存在实数a和函数，其中对任意都有，使得，则称函数具有优化特质.（参考数值：） （1）设函数，其中b为实数. ①证明：函数具有优化特质； ②若，对任意，都成立，求实数b的取值范围； （2）已知函数具有优化特质，给定，，对于两个大于1的实数，，且，，使得不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）①证明见解析；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①求出函数，结合给定的定义即可得证；②利用导数、结合零点存在性定理，分类讨论并借助单调性求解即得. （2）利用给定定义确定函数的单调性，结合不等式性质分类讨论求解. 【小问1详解】 ①，当时，恒有， 根据定义得函数具有优化特质. ②，令得，， 当时，，此时，函数在上单调递增，又，则不成立； 当时，，设，其对称轴大于1，， 若，即，则函数在上单调递减，又，则恒成立，符合题意； 若，即，则在上存在唯一零点， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，则只需满足，于是，从而得， 所以. 【小问2详解】 由函数具有优化特质，得， 则函数在上单调递增， 当时，， ，即，同理：， 由函数单调性知：，， 从而不等式恒成立； 当时，， ，即， 由函数单调性知：， 得，与题设不符； 当时，同理得，由函数单调性知：， 得，与题设不符； 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩市2023~2024学年第二学期期末高二教学质量检查 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上. 2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知事件A，B满足：，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，D是的中点，E是的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上单调递减，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 某观影平台对新近上映某部影片的观众评价情况进行调查，得到如下数据（单位：人）： 作出评价 不作评价 男 30 15 女 45 10 附：， 0.10 0.05 0.01 k 2.706 3841 6.635 则下列说法正确的是（ ） A. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关 B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否作出观影评价与性别有关 C. 没有95%的把握认为是否作出观影评价与性别有关 D. 有99%的把握认为是否作出观影评价与性别有关 7. 已知，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在， B. 对任意， C. 存在， D. 对任意， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某校学生的数学测试成绩服从正态分布，则（ ） A. 越大，测试成绩在的概率越大 B. 无论取何值，测试成绩落在与落在的概率相等 C. 若随机变量满足，则 D. 若随机变量满足，且，则 10. 已知正方体棱长1，动点M满足，则（ ） A. 当，时，直线⊥平面 B. 当，，时，点M到直线距离为 C. 当，，时，的值可能为 D. 当且时，点M的轨迹长度为 11. 已知函数有两个零点，，且，则（ ） A. 当时，在处的切线与y轴垂直 B. 实数a的取值范围是 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在一个不透明的密封盒子中装有8只昆虫，其中蜜蜂和蝴蝶的数量各占一半.现在盒子上开一小孔，每次只能飞出一只昆虫，且任意一只昆虫都等可能地飞出.则“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只是蝴蝶”的概率是_______. 13. 已知函数，则最小值是_______. 14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码（t） 1 2 3 4 5 交易额y（单位：百亿） 1.5 2 3.5 8 15 （1）据上表数据，计算y与t的相关系数r，并说明y与t的线性相关性的强弱；（已知：，则认为y与t线性相关性很强；，则认为y与t线性相关性一般；，则认为y与t线性相关性较弱.） （2）利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2024年该平台的交易额. 参考数据：，， 参考公式：相关系数 线性回归方程中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为，. 16. 如图，已知平行四边形，点E为的中点，，.将沿折起，使点D到达点P的位置，且与夹角的余弦值为. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知函数. （1）求函数的极小值点； （2）证明：. 18. 手机芯片（以下简称“芯片”）是手机中的核心组件之一，负责处理和控制手机的各种功能和任务.某大型企业准备把芯片的生产任务交给甲工厂或乙工厂，经过调研和抽样调查发现：甲工厂试生产的一批芯片的次品率为6%；乙工厂试生产的另一批芯片的次品率为2%；若将这两批芯片混合放在一起，则次品率为3%. （1）从混合放在一起的芯片中随机抽取3颗，用频率估计概率，记这3颗芯片中来自甲工厂的颗数为X，求X的数学期望； （2）为了获得芯片的生产订单，甲工厂通过采用最新的制造工艺，可以提高芯片的性能.记在甲工厂提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，在甲工厂不提高芯片性能的条件下，该大型企业把芯片交给甲工厂生产的概率为，已知.设事件 “甲工厂提高了芯片性能”，事件“该大型企业把芯片交给甲工厂生产”，其中，证明：. 19. 已知函数的定义域为，其导函数为.若存在实数a和函数，其中对任意都有，使得，则称函数具有优化特质.（参考数值：） （1）设函数，其中b为实数. ①证明：函数具有优化特质； ②若，对任意，都成立，求实数b的取值范围； （2）已知函数具有优化特质，给定，，对于两个大于1的实数，，且，，使得不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$