精品解析：山东省济南市商河县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期八年级期末考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分； 第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将班级、姓名、考场和考号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分，，点是上的动点，若，则的长可以是（ ） A. B. C. D. 6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 7. 如图，将绕点A逆时针旋转至，此时边过点C，于点O，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，中，，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，分别交，于点E和点F．若，，则的长为​（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：______． 12. 如图，是五边形的一个外角，若，则______． 13. 边长为的等边三角形的面积为______． 14. 如图，沿方向平移后得到，已知，，则平移的距离为_________． 15. 若分式方程的解为正数，则a的取值范围是______． 16. 如图，在平行四边形中，，，对角线交于点O，经过点O的直线交于点E，且平分的周长，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解不等式，并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组：， （3）因式分解：． 18. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出； （3）经观察：与成中心对称，请直接写出它们的对称中心的坐标______； （4）请求出的面积． 21. 在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下： ． （1）若，，则______； （2）若m满足，求的值，同样可以应用上述方法解 决问题．具体操作如下： 解：设，， 则，， 所以． 请参照上述方法解决下列问题： 若，求的值： （3）如图，某校园艺术社团在一面靠墙（阴影）的空地上，用长米的篱笆（不含墙所在边的长度）围成一个长方形的花圃，面积为平方米，其中墙足够长，墙，墙．随着学校艺术社团成员的增加，学校在花圃旁分别以，边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积． 22. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 23. 在中，点，分别在边，上，且，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 24. 某数学托管兴趣小组对图形的旋转进行了如下探究： 【特例发现】 （1）如图①，在中，，，为边上一点（不与点、重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【类比探究】 （2）如图②，在与中，，，，，将绕点旋转，使点落在边上，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证朋你的结论； 【迁移应用】 （3）如图③，在四边形中，．若，，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期八年级期末考试 数学试题 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷满分为40分； 第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将班级、姓名、考场和考号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项： 第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、等式从左到右为整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式左边是单项式，从左到右为单项式变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式右边是多项式，从左到右属于整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式从左到右是因式分解，该选项符合题意； 故选：． 3. 如果，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； B、如果，那么，本选项错误，不符合题意； C、如果，那么，故本选项正确，符合题意； D、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 要使分式有意义，a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得： 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分式的分母不为0是解题的关键． 5. 如图，平分，，点是上的动点，若，则的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可． 【详解】解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA， ∴PD=PC， ∵PC=5cm， ∴PD=5（cm）， 即PD的最小值是5cm， ∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等． 6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转至，此时边过点C，于点O，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到，根据旋转的性质，得，计算，计算即可，本题考查了旋转的性质，直角三角形的特征，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 根据旋转的性质，得， ∴， ∴， 故选C． 8. 若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．只需要找到正比例函数的图象在一次函数图象上方时的取值范围即可得到答案 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象上方， 当时，， 不等式的解集为， 故选：D 9. 如图，中，，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，分别交，于点E和点F．若，，则的长为​（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得到垂直平分，可得到，然后再根据勾股定理可得到三边之间的关系，进而求得结果． 【详解】解：由作图得：垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形，解题的关键是准确找到各边之间的关系． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，且顶点A的坐标为，点B的坐标为，将平行四边形沿着直线翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为(　　) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据翻折的对称性，显然直线OC是满足条件的直线l．另外考虑到过平行四边形的中心任作一条直线都可以把这个四边形分为面积相等的两部分，故过两个平行四边形的中心的直线也是满足条件的直线l，仿照这两条思路问题不难得解． 【详解】分两种情况讨论： ①如下图， 因为平行四边形的对边相等， ∴，因点B的横坐标为6， ∴C点的横坐标为． 即：C点的坐标为． 设直线的解析式为：， 则：． 故的解析式为：． 因是对称轴，故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即为满足条件的直线l． ②自点B作x轴的垂线，垂足为点E，取的中点I，连接EI，如下图． ∵ A的坐标为，点B的坐标为 ∴，， 由勾股定理得：． 因， ∴． ∴平行四边形是菱形． 因是直角斜边AB上的中线，所有， ∵， 所以． 则△IAE是等边三角形． ∴． ∴， ∴四边形是含内角的菱形． 由翻折性知，四边形也是菱形，且． ∴平分， 则：， ∴． ∴在y轴上． 连接，交y轴于点，则，即垂直于y轴． 因也垂直于y轴， 所以，点位于同一条直线上， ∴点的坐标为． 设与相交于点M，自M点作垂直于x轴，垂足为点D． 则为的中位线， ∴，， ∴点M的坐标为． 因为点的坐标是、， 设直线的解析式为：， ∴ 求得：． ∴直线的解析式为：． 因点是菱形与菱形的中心， 故直线把六边形的面积分成相等的两部分，即就是满足的条件的直线l． 综合①②两种情况，直线l的解析式为：或， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形、一次函数的解析式、直角三角形中线性质、三角形中位线性质等知识点，解题的关键是根据对称特性作出正确的辅助线． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 计算：______． 【答案】199 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，正确理解用平方差公式因式分解是解题的关键．用平方差公式因式分解化简计算即可． 【详解】． 故答案为：199． 12. 如图，是五边形的一个外角，若，则______． 【答案】##400度 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角与内角和，熟练掌握多边形的内角和、多边形外角与内角的关系是解题的关键．根据多边形内角与外角的关系解得的值，再根据多边形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 边长为的等边三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作，则是等边底边上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得，所以，在直角中，利用勾股定理，可求出的长，代入面积计算公式，解答出即可； 【详解】解：作， 是等边三角形，， ， 在直角中， ， ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想． 14. 如图，沿方向平移后得到，已知，，则平移的距离为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质；根据题意，点平移后对应点是点，可判断线段就是平移距离，进而求解；熟练掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：点平移后对应点是点， 线段就是平移距离， ， ． 故答案为：7． 15. 若分式方程的解为正数，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组求解即可． 【详解】解： 去分母，得，解得：， ∵分式方程的增根为：， ∴，即 ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴且． 故答案为：且． 16. 如图，在平行四边形中，，，对角线交于点O，经过点O的直线交于点E，且平分的周长，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的中位线定理可得，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，过点作于， 四边形是平行四边形， ， 平分的周长， ， ， 即， 又， ， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解不等式，并把解集表示在数轴上． （2）解不等式组：， （3）因式分解：． 【答案】（1），数轴见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、在数轴上表示解集、解不等式组、因式分解等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先去括号，再根据不等式的性质解不等式，然后将解集在数轴上表示出来即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可； （3）先提取公因式，然后再运用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 在数轴上表示为： （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． （3）． 18. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据分式混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，，点E 在延长线上，，垂足为P，交于点 F．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据得，再根据垂直定义得，进而根据直角三角形的两个锐角互余得，，由此得，则，即可作答．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，互为余角的性质是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 和是直角三角形， ，， 又有， ， ∵， ， ， 是等腰三角形． 20. 在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）把向左平移4个单位后得到对应的，请画出； （2）把绕原点旋转后得到对应的，请画出； （3）经观察：与成中心对称，请直接写出它们的对称中心的坐标______； （4）请求出的面积． 【答案】（1）见详解 （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，旋转，中心对称的性质，割补法求面积的方法是解题的关键． （1）根据图形的平移规律作图即可； （2）根据图形旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称图形的定义和性质即可求解； （4）运用割补法求几何图形的面积即可． 【小问1详解】 解：画出，如图所示； 【小问2详解】 画出，如图所示； 【小问3详解】 根据中心对称图形的性质，连接对应点的连线交于点， ∴与成中心对称，对称中心的坐标为； 【小问4详解】 ． 答：的面积为3.5． 21. 在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下： ． （1）若，，则______； （2）若m满足，求的值，同样可以应用上述方法解 决问题．具体操作如下： 解：设，， 则，， 所以． 请参照上述方法解决下列问题： 若，求的值： （3）如图，某校园艺术社团在一面靠墙（阴影）的空地上，用长米的篱笆（不含墙所在边的长度）围成一个长方形的花圃，面积为平方米，其中墙足够长，墙，墙．随着学校艺术社团成员的增加，学校在花圃旁分别以，边向外各扩建两个正方形花圃，以边向外扩建一个正方形花圃（扩建部分如图所示虚线区域部分），求花圃扩建后增加的面积． 【答案】（1）37 （2）13 （3）花圃扩建后增加的面积为61平方米 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形求值和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据完全平方公式，即计算即可； （2）①设，，可得，，则，代入计算即可； （3）设米，米，由题意可得：，，由图可知，扩建部分的面积为：，代入计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， 故答案为：37； 【小问2详解】 解：设，， ∴， ； 【小问3详解】 解：设米，米， 由题意可得：，， 由图可知，扩建部分的面积为：平方米， 扩建部分的面积为： （平方米）， 答：花圃扩建后增加的面积为61平方米． 22. 某服装店用元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了元． （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是元件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，则第二批衬衫每件要售多少元？ 【答案】（1）第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件 （2）元件 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的应用； （1）设第一次购进这种衬衫x件，则第二次购进这种衬衫件，根据进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元，列出分式方程，进行求解即可； （2）设第二次衬衫每件要售��元，根据老板想让这两批衬衫售完后的总利润为元，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次购进这种衬衫件，则第二次购进这种衬衫件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：第一次购进这种衬衫件，第二次购进这种衬衫件； 【小问2详解】 设第二批衬衫的售价是元件， 根据题意得：＋， 解得：， 23. 在中，点，分别在边，上，且，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接分别交，于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质与判定定理是解题关键． （1）结合平行四边形的性质，证明，由全等三角形的性质可得； （2）连接，交于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得，结合，根据“对角线相互平分的四边形是平行四边形”，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 24. 某数学托管兴趣小组对图形的旋转进行了如下探究： 【特例发现】 （1）如图①，在中，，，为边上一点（不与点、重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【类比探究】 （2）如图②，在与中，，，，，将绕点旋转，使点落在边上，连接，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证朋你的结论； 【迁移应用】 （3）如图③，在四边形中，．若，，求的长 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，可得，即可得出结论； （2）由（1）知，则，，勾股定理可得，又，，即可得出结论； （3）如图，过点作，使，连接，，证明，可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）， 证明：∵将线段绕逆时针旋转得到， ∴， 即：，∴ ∵， ∴， ∴，∴． （2） 证明：由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴ （3）如图，过点作，使，连接， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $