精品解析：云南省昆明市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

昆明市2023-2024学年高一期末质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的分位数是（ ） A. 12 B. 13 C. 30 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解即可. 【详解】这个数据从小到大排列为12，12，13，17，19，23，30，34，40，64， 因为一共有10个数据， 所以有， 所以这组数据的的分位数是数据的第8个数据，即34， 故选：D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方关系求出可得，再由两角和的正切展开式化简可得的答案. 【详解】因为，， 所以，， 则. 故选：D. 3. 已知向量满足，，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为向量满足，，且， 所以， 因为，所以. 故选：A 4. 已知，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、面面、线面关系逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，，， 则，或相交，或异面，故A错误； 对于B，若，，，则，或异面，故B错误； 对于C，若，，，则，故C正确； 对于D，若，，则，或，故D错误. 故选：C. 5. “函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分而不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】若函数为奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 所以，所以是偶函数； 设函数，则，，， 所以是偶函数，但不是奇函数， 故“函数为奇函数”是“函数为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 6. 已知某圆台的两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据侧面积公式求出母线长，利用勾股定理求高，在根据圆台体积公式计算即可. 【详解】圆台的侧面展开图是个扇环，设圆台的母线为， 则，所以 所以圆台的高， 则圆台的体积等于， 故选：B. 7. 点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到A，B的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令，则 ，所以， 所以， 因为， 所以当时，取得最大值. 故选：C 8. 某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可 【详解】选项A：，所以，若，则， 故选项A正确. 选项B： ， 所以 ,不妨令则 ， 故选项B错误. 选项C：若，则故选项C正确. 选项D:若， 因为，所以， 则． 又， 所 故选项D正确. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复数范围内，方程的两个根分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】在复数范围内，方程的两个根分别为，根据韦达定理和求根公式计算判断各个选项； 【详解】对于A,B，在复数范围内，方程的两个根分别为， 根据韦达定理可得，故A错误B正确; 对于C,D，在复数范围内，方程的两个根分别为， 根据求根公式可得， 从而， 故C错误D正确; 故选：BD. 10. 掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次骰子点数为奇数”，“第二次骰子点数为偶数”，“两次骰子点数之和为奇数”，“两次骰子点数之和为偶数”，则（ ） A. C与D互为对立事件 B. A与D相互独立 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据对立事件的定义即可求解A，利用列举法，求解对应事件包含的样本点，即可根据古典概型的概率公式求解CD，结合独立事件的定义即可求解B. 【详解】对于A,事件与事件不能同时发生，且并起来是全部的样本空间，故互为对立事件，A正确； 对于B，抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 事件A的样本点为共18种， 事件的样本点为,共有18种， 事件的样本点为共有9种， 所以,由于，故相互独立，B正确， 对于C，事件的样本点为共9种，故,C正确， 对于D，事件的样本点为共27种， 故， 故选：ABC 11. 函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得为单调函数 B. ，使得有三个零点 C. ，使得有最大值 D. ，使得的值域为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意得，区间长度为.对于，采用赋值法验证即可；对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于，当时，可得有最大值，即可判断；对于，根据，得，解三角函数不等式即可判断. 【详解】，，. 对于，不防令，则，此时单调递减，故正确； 对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为， 而，故不存在使上述区间长度为，故错误； 对于，当时，取得最大值，，使得有最大值，故正确； 对于，由，得， ， 又，故不存在，使得的值域为，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】化简结合，由交运算的定义即可求解. 【详解】， 故， 故答案为： 13. 设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数结合分段函数和二次函数的图象求解. 【详解】当时，当时 函数图象示意图为 则与有两个零点知a的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，，绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为____________；一般地，绕A逆时针旋转得到，则的坐标为____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用向量逆时针旋转的角度得到对应向量的坐标，结合三角函数的和差公式即可得解. 【详解】依题意，得设与轴的正方向的夹角为， 所以所以 所以， 将向量绕点逆时针旋转得到， 则 因为绕点A逆时针旋转得到， 所以， 又，所以P的坐标为： 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解， （2）由面积公式可得，即可由余弦定理求解，进而求解周长. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 又，所以， 因为锐角三角形，故． 【小问2详解】 的面积为，所以， 在中，由余弦定理得，即， 整理得，所以，即，所以， 所以的周长为． 16. 为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示． （1）估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内． 【答案】（1）众数为85、平均数为85 （2）925家 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中利用众数、平均数的公式计算得出结果； （2）以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间，在频率分布直方图中利用相应小长方形面积求解相应概率； 【小问1详解】 记这80家企业2023年销售额的众数、平均数分别为、， 由频率分布直方图可得 ， ， 所以估计该地区中小型企业2023年净利润的众数为85、平均数85． 【小问2详解】 由题，以平均数为中心，2倍标准差的范围为之间， 估计该地区企业净利润在之间的概率为， 所以（家）， 估计该地区有925家企业在以平均数为中心、2倍标准差的范围内． 17. 如图，已知长方体中，E为的中点，，． （1）证明：平面； （2）设平面平面，且，在图中作出与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析，12 【解析】 【分析】（1）连接交于P，连接，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）设M，N分别为，的中点，连接，可证得与长方体的面的交线围成平行四边形，然后根据已知条件求解即可. 【小问1详解】 证明：如图，连接交于P，连接， 在长方体中，由为矩形得P为的中点， 由E为的中点，得， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 设M，N分别为，的中点，连接， 因为E为的中点，所以四边形为矩形， 所以∥，， 因为∥，，所以∥，， 所以四边形为平行四边形，所以∥，， 因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以，∥，所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 因为∥，平面，平面， 所以∥平面，同理可证得∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 所以与长方体的面的交线围成平行四边形， 由已知得，，， 所以，， 所以四边形的面积为 ． 18. 已知函数 （且）． （1）讨论的单调性（不需证明）； （2）若， （ⅰ）解不等式； （ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）根据增函数加增函数是增函数，减函数加减函数是减函数得出结论； （2）（ⅰ）先考虑，利用函数的单调性得出答案，在根据奇偶性得出时的答案； （ⅱ）令，把问题转化为二次函数含参最值问题，然后分类讨论求解. 【小问1详解】 若，则在R上单调递增； 若，则在R上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ），即， 设，则，，所以为奇函数， 当时，单调递增，由，解得， 根据奇函数的性质，当时，的解为， 综上所述，的解集为． （ⅱ）， 令，因为，则， 所以，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得． ②当，即时，， 解得，矛盾． ③当，即时，，解得． 综上所述，或． 19. 平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率估计概率． （1）为了估算曲线与x轴围成的区域M的面积，记点集表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（，结果保留一位小数） （2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为，如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，． （ⅰ）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式； （ⅱ）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点，利用（1）的结论，求圆周率的近似值（用m，n表示）． 【答案】（1）2.0 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出，再根据，计算面积； （2）（ⅰ）当中点在平行线上时，，当针一个端点在平行线上时，，可得不等式； （ⅱ）试验条件对应的点集，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集，分别求出点集表示的面积相除可得针与平行直线有公共点的概率，可解. 【小问1详解】 由题，区域N的面积为，记区域M的面积为， 则，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）当中点在平行线上时，，当针的一个端点在平行线上时，， 针与平行直线有公共点，y与x满足不等关系式为． （ⅱ）试验条件对应点集表示的区域面积为； 由（1）可知，事件“针与平行直线有公共点”对应的点集表示的区域面积为2，所以针与平行直线有公共点的概率为， 由题，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昆明市2023-2024学年高一期末质量检测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据12，12，13，17，19，23，30，34，40，64的分位数是（ ） A. 12 B. 13 C. 30 D. 34 2. 已知，，则（ ） A. B. C. 7 D. 3. 已知向量满足，，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. “函数为奇函数”是“函数为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知某圆台两底面半径分别为1和4，侧面积为，则该圆台的体积等于（ ） A B. C. D. 7. 点P是以为直径的单位圆上的动点，P到A，B的距离分别为x，y，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在复数范围内，方程的两个根分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次骰子点数为奇数”，“第二次骰子点数为偶数”，“两次骰子点数之和为奇数”，“两次骰子点数之和为偶数”，则（ ） A. C与D互为对立事件 B. A与D相互独立 C. D. 11. 函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. ，使得为单调函数 B. ，使得有三个零点 C. ，使得有最大值 D. ，使得的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则____________． 13. 设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是____________． 14. 已知，，绕点A逆时针旋转得到，则点P的坐标为____________；一般地，绕A逆时针旋转得到，则的坐标为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示． （1）估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内． 17. 如图，已知长方体中，E为的中点，，． （1）证明：平面； （2）设平面平面，且，在图中作出与长方体表面交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积． 18 已知函数 （且）． （1）讨论的单调性（不需证明）； （2）若， （ⅰ）解不等式； （ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值． 19. 平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率估计概率． （1）为了估算曲线与x轴围成的区域M的面积，记点集表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（，结果保留一位小数） （2）1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为，如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时，． （ⅰ）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式； （ⅱ）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点，利用（1）的结论，求圆周率的近似值（用m，n表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$