精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高一下学期7月期末教育质量监测数学试题

2023—2024学年度第二学期教育质量监测 高一数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 2. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：B 3. 如图，在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正六边形的性质转换相等向量即可. 【详解】. 故选：C 4. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 5. 抽样统计某位学生8次的数学成绩（单位：分）分别为：81，84，82，86，89，92，90，85，则该学生这8次成绩的第75百分位数为（ ） A. 86 B. 86.5 C. 88 D. 89.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再按照百分位数计算规则计算可得. 【详解】学生8次的数学成绩从小到大排列为：， 又，所以第百分位数为第、两数的平均数，即为. 故选：D 6. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率加法公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 8. 如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为，根据球、圆柱的体积公式计算可得. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 所以球的体积，圆柱的体积， 所以. 故选：B 9. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为 ，方差为.则下列说法正确的是（　　） A. 若数据的方差.则所有的数据都为0 B. 若数据的平均数为 .则数据 的平均数为6 C. 若数据的中位数为90.则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90 D. 若数据的方差为.则数据的方差为6 【答案】C 【解析】 【分析】根据一组数据的平均数和方差的计算公式，以及中位数的定义，结合选项依次判断即可． 【详解】对于A，数据的方差时. 所有的数据都相等.但不一定为0.故选项A错误； 对于B，数据的平均数为时. 数据平均数为.故选项B错误； 对于C，数据的中位数为90时. 可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90.故选项C正确； 对于D，数据的方差为时. 数据的方差为.故选项D错误． 故选：C． 10. 已知，，是空间三个不同的平面，a，b是空间两条不同直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中点、线、面位置关系的判定定理和性质逐项判断可得正确的选项. 【详解】对于A，若，则有，或与相交，故A不正确； 对于B，若，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线在平面内或平行，故B不正确； 对于C，若，过正方体同一顶点的三个平面分别为，则，故C不正确； 对于D，若，则取内任意两条相交直线、，使得，， 又，则，，由线面垂直的判定定理得，正确. 故选：D 11. 伯乐树是中国特有国家一级保护树种，被誉为“植物中龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度.他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量.如图，、是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为点.植物学家在、两点测得的仰角分别为45°，30°，，且，则树的高度（ ） A. 25米 B. 米 C. 30米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知仰角求出,再在应用余弦定理求解即可. 【详解】设，、两点测得的仰角分别为45°，30°， ,在, 在,, 应用余弦定理得 . 故选：C. 12. 如图，在直三棱柱中，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直三棱柱性质和等体积法根据，即可求得点到平面的距离为. 【详解】由直三棱柱性质可得， 又，且平面，所以平面， 又，所以平面； 同理可得平面，平面，所以； 可得， 易知三棱锥的体积； 设点到平面的距离为， 则由，解得. 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某校高一年级有男生280人，女生210人，用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个样本量为70的样本，则此样本中男生人数为______人. 【答案】 【解析】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意样本中男生人数为（人）. 故答案为： 14. 已知为虚数单位，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方及除法法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 15. 已知向量，，，，若，则与的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，对两边同时平方化简可得出答案. 【详解】设与的夹角为， 由可得：， 所以，则， 所以，解得：. 因为，所以. 故答案为： 16. 一个封闭的正三棱柱容器的高为，容器内装水若干（如图1，底面处于水平状态）.图1中水面的高度为，现将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为，，，，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式求解. 【详解】设正三棱柱的底面积为，梯形的面积为， 则根据等体积可得，所以， 所以，又因， 所以相似于，且，即. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数，，为虚数单位. （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先判断复数的实部与虚部，根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可； （2）根据实部、虚部均大于得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 复数，的实部为，虚部为， 因为复数为纯虚数，则，解得； 【小问2详解】 因为复数在复平面上对应的点为，位于第一象限， 所以，解得或， 即的取值范围为. 18. 某校对高一下学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）求的值，并计算样本学生的数学考试成绩的平均分； （2）为了进一步了解学生数学成绩与学习习惯等方面的关系，按数学考试成绩再从这100人中用分层抽样的方法抽出20人进行分析，则数学考试成绩在内的应抽多少人？ 【答案】（1），估计样本学生的数学考试成绩的平均分分 （2）数学考试成绩在内的应抽取人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合频率的性质可得，进而可求平均数； （2）根据分层抽样运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：分组的频率依次为， 则，解得， 估计样本学生的数学考试成绩的平均分（分）. 【小问2详解】 由（1）可知：的频率为， 所以数学考试成绩在内的应抽取人. 19. 设，是不共线的两个非零向量. （1）若，，，求证：，，三点共线； （2）若，，，且，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，，根据平面向量共线定理得到，即可得证； （2）首先求出，的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以， ， 又，是不共线的两个非零向量，所以，所以，且有公共点， 所以，，三点共线； 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 又，所以，解得. 20. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若，求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理可求得，从而由，可知的值为正，再利用三角形中，可求得的值，从而由正弦定理可求出的值； （2）由已知条件，结合余弦定理，可直接求出的值，即可求得三角形的周长. 【小问1详解】 由正弦定理，则， ，， 又，，则， . 【小问2详解】 ，，， ，即， 得，即， ， 的周长为20. 21. 与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. （1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设“甲答对”，“乙答对”，则题意所求的事件为，结合互斥事件的定义与事件的独立性计算即可求解； （2）根据对立事件的定义分析题意，建立关于p的方程，解之即可求解. 小问1详解】 设“甲答对”，“乙答对”， 则，，，， “甲，乙两位同学恰有一个人答对”的事件为，且与互斥 由三人答题互不影响，知A，互相独立，则A与，与，与均相互独立， 则， 所以甲，乙两位同学恰有一个人答对的概率为. 【小问2详解】 设“丙答对”，则， 设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人答对”，由（1）知， ，解得， 所以的值为. 22. 如图，已知正四棱柱， （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正四棱柱特点结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过平行四边形的性质并结合面面平行的判定即可证明. 【小问1详解】 因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为正方形，所以， 又因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，且平面，所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期教育质量监测 高一数学 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 如图，正六边形中，（ ） A. B. C. D. 4. 天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A B. C. D. 5. 抽样统计某位学生8次的数学成绩（单位：分）分别为：81，84，82，86，89，92，90，85，则该学生这8次成绩的第75百分位数为（ ） A. 86 B. 86.5 C. 88 D. 89.5 6. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 经过简单随机抽样获得的样本数据为，且数据的平均数为 ，方差为.则下列说法正确的是（　　） A. 若数据的方差.则所有的数据都为0 B. 若数据的平均数为 .则数据 的平均数为6 C. 若数据的中位数为90.则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于90 D. 若数据的方差为.则数据的方差为6 10. 已知，，是空间三个不同的平面，a，b是空间两条不同直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 11. 伯乐树是中国特有国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙凤”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度.他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量.如图，、是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为点.植物学家在、两点测得的仰角分别为45°，30°，，且，则树的高度（ ） A. 25米 B. 米 C. 30米 D. 米 12. 如图，在直三棱柱中，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某校高一年级有男生280人，女生210人，用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个样本量为70的样本，则此样本中男生人数为______人. 14. 已知为虚数单位，则______. 15. 已知向量，，，，若，则与的夹角为______. 16. 一个封闭的正三棱柱容器的高为，容器内装水若干（如图1，底面处于水平状态）.图1中水面的高度为，现将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点分别为，，，，则的值为______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数，，为虚数单位. （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的取值范围. 18. 某校对高一下学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图： （1）求的值，并计算样本学生的数学考试成绩的平均分； （2）为了进一步了解学生数学成绩与学习习惯等方面的关系，按数学考试成绩再从这100人中用分层抽样的方法抽出20人进行分析，则数学考试成绩在内的应抽多少人？ 19. 设，是不共线两个非零向量. （1）若，，，求证：，，三点共线； （2）若，，，且，求实数的值. 20. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若，求； （2）若，求周长． 21. 与国家安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视.为了普及国家安全教育，某校组织了一次国家安全知识竞赛，已知甲、乙、丙三位同学答对某道题目的概率分别为，，，且三人答题互不影响. （1）求甲、乙两位同学恰有一个人答对的概率； （2）若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值. 22. 如图，已知正四棱柱， （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$