精品解析：广东省湛江市赤坎区等2地2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期义务教育阶段教学质量监测八年级数学试卷 （时间：120分钟，总分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】将各个选项化简为最简二次根式即可进行解答． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故B不符合题意； C．，与是同类二次根式，故C不符合题意； D．与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，解题的关键是掌握化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，不能组成直角三角形，故不符合要求； B中，不能组成直角三角形，故不符合要求； C中，能组成直角三角形，故符合要求； D中，不能组成直角三角形，故不符合要求； 故选：C． 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式，根据定义判断． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式的判断，根据二次根式的性质化简，正确理解最简二次根式的定义是解题的关键． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 邻边相等 D. 一条对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等的性质即可作出判断. 【详解】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故选项A符合题意，而选项B、C、D中的性质是菱形所具有的； 故选：A. 【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形对角线相等的性质是解题关键. 6. 在某次“汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学轮比赛成绩的平均分都是分，其中甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙的成绩一样稳定 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定 C. 乙的成绩比甲的成绩稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差越小则成绩就越稳定解答即可． 【详解】解：甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，， 乙的成绩比甲的成绩稳定； 故选：C． 【点睛】本题考查了方差的意义，熟知方差越小则成绩就越稳定是解题的关键． 7. 如图，在中，，，是的中点，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由勾股定理得，，由，是的中点，可得． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵，是的中点， ∴， 故选：C． 8. 智能垃圾箱分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出积分可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品．我市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25．关于这组数据，中位数和众数分别是（ ） A. 23，25 B. 25，23 C. 23，23 D. 25，25 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义求解：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 【详解】将这组数据从小到大的顺序排列：23，23，25，25，25，27，30， 处于中间位置的那个数是25，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是25； 在这一组数据中25是出现次数最多的，故众数是25． 故选：D． 【点睛】本题为统计题，考查中位数与众数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 9. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】图象可知，一次函数经过第一、二、四象限，且过点，y随x的增大而减小，利用图象即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，一次函数经过第一、二、四象限，且过点， ∴y随x的增大而减小， ∴， ∵当时，， ∴当时，， ∴不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，正确理解一次函数的图象及性质是解题的关键． 10. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示．根据图象所提供的信息，其中不正确的有（ ） A. 甲队挖掘30m时，用了3h B. 挖掘5h时甲队比乙队多挖了5m C. 乙队的挖掘速度总是小于甲队 D. 开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， A、甲队挖掘30m时，用的时间为：30÷（60÷6）＝3h，故此选项正确，不符合题意； B、挖掘5h时甲队挖了5×（60÷6）=50(m)，乙队挖了30+（50-30）÷4×3=45(m)，50-45=5(m)，所以挖掘5h时甲队比乙队多挖了5m，故此选项正确，不符合题意； C、前两个小时乙队的速度为30÷2=15（m/h），在2小时到6小时之间速度为（50-30）÷4=5（m/h），而甲的速度是60÷6=10（m/h），所以前两个小时乙队挖得快，在2小时到6小时之间，甲队挖的快，故此选项错误，符合题意； D、设0≤x≤6时，甲对应的函数解析式为y＝kx，则60＝6k，得k＝10， 即0≤x≤6时，甲对应的函数解析式为y＝10x， 当2≤x≤6时，乙对应的函数解析式为y1＝ax＋b， ，解得：， 即2≤x≤6时，乙对应的函数解析式为y1=5x+20， 甲、乙两队所挖河渠长度相等， 则，解得， 即开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝4，故此选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的求法，二元一次方程组的解法，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 13. 一次函数与y轴的交点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟知一次函数图象上的点的坐标特征是解题的关键． 根据y轴上的点的横坐标为0，可令，求出y的值即可． 【详解】解：令，可得：， ∴一次函数的图像与x轴的交点坐标是． 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形． 【详解】解：添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 添加条件 在与中， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形成为菱形． 故答案为：（或或等）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 15. 如图，分别以直角三角形的直角边为边长向外作正方形，面积分别为16和9，以斜边为边长向外作矩形，则矩形的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、算术平方根、正方形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据正方形的性质、算术平方根可得、，即；再根据勾股定理及算术平方根可得，最后根据矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵分别以直角三角形的直角边为边长向外作正方形，面积分别为16和9， ∴，， ∴，即， ∵， ∴矩形的面积为． 故答案为：15． 16. 《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高六尺，依木于垣，上于垣齐．引木却行二尺，其木至地，问木长几何?意思是：如图，一道墙高6尺，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．若木棒下端向右滑，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好落到地上B处，则木棒长__________尺． 【答案】10 【解析】 【分析】设尺，则尺，在中，根据勾股定理得，即，求解即可． 【详解】解：由题意得， 设尺，则尺， 在中，， ∴， 解得， ∴木棒长为10尺， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题一（本大题共3小题，其中第17、18题各4分，第19题6分，共14分） 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数次幂、二次根式的性质等知识点，灵活运用二次根式的性质成为解题的关键． 先根据绝对值、负整数次幂、二次根式的性质化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 19. 如图，在平行四边形中，平分交CD于点E，过点E作交于点F．求证：四边形是菱形． 【答案】 解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定成为解题的关键． 先根据平行四边形的性质及已知条件可得四边形是平行四边形，再证明即可证明结论． 【详解】略 四、解答题二（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 【答案】（1）1+；（2）. 【解析】 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴. 21. 某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）本次调查数据的中位数是； （2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少? （3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数． 【答案】（1）3 （2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时 （3）估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人 【解析】 【分析】（1）首先根据统计图得出被调查的总人数为40，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）利用2000乘以被调查者中课外阅读时间不少于3小时的人数占比即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得本次调查的总人数为40人， 中位数则应该是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数， 由统计图可知，第20和21个数据均为3， ∴本次调查数据的中位数是3； 【小问2详解】 解：（小时） 答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数为1400人． 【点睛】本题考查中位数、平均数的求解，以及利用样本估计整体，理解中位数、平均数的定义和求解方法，熟练运用样本估计整体是解题关键． 22. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示． （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 【答案】（1） （2）选甲商店购买更多水果 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次方程的应用根据等量关系列出方程是，解答本题的关键． （1）用待定系数法，分段求出函数解析式即可； （2）再求出与x之间的函数解析式，把分别代入解析式，求得x的值，然后比较即可． 【小问1详解】 解：当时，由题意可得：与x之间的函数解析式为， 当时，，即的转折点的坐标为； 当时，设y1与x之间的函数解析式为， 把和代入解析式得 ，解得， ∴， 综上所述，与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴，解得：， 设与x之间的函数解析式为，则有：，解得：， ∴ ∴，解得：， ∵， ∴选甲商店购买更多水果． 五、解答题三（本大题共3小题，其中第23题10分，第24题、25题各12分，共34分） 23. 如图，是等腰三角形底边上的高，O是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）①若，则矩形的面积为______； ②当______时，矩形是正方形，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等腰三角形底边上的高， ∴，， ∴为的中点， 又∵O是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）①； ②， 理由：由题意知，当 时，矩形是正方形，理由如下； ∵矩形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由是等腰三角形底边上的高，可得，，即为的中点，则，证明四边形是平行四边形，由，，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形； （2）①由题意知，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；②由矩形是正方形，可得，由勾股定理得，，可求，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； ②略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中位线，矩形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，中位线，矩形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4． （1）求直线BC的解析式； （2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x+5 （2）P（，） （3）D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0） 【解析】 【分析】（1）由点C在x轴正半轴上，OC＝4，得C（4，0），用待定系数法即得直线BC的解析式； （2）过P作PH⊥AC于H，设P（n，﹣n+5），PH＝﹣n+5，将B（0，5）代入y＝x+b可得y＝x+5，A（﹣2，0），根据△ABP的面积等于△AOB的面积，列方程计算即可； （3）由A（﹣2，0），P代入得直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），分3种情况：①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，可得，即可解得D（1，0）；②若EB，DC为对角线，，D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，，D（7，0）． 【小问1详解】 ∵点C在x轴正半轴上，OC＝4， ∴C（4，0）， 由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5， 将C（4，0）代入得：0＝4m+5， 解得m＝﹣， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5； 【小问2详解】 过P作PH⊥AC于H，如图： 设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5， 将B（0，5）代入y＝x+b得： b＝5， ∴y＝x+5， 在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， ∴AC＝6， ∴S△ABC＝AC•OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC•PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15， ∵△ABP的面积等于△AOB的面积， ∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5， 解得n＝， ∴P； 【小问3详解】 存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P代入得： ， 解得， ∴直线AP解析式为y＝x+2， 设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0）， ①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图： ∴， 解得， ∴D（1，0）； ②若EB，DC为对角线，同理可得： ， 解得， ∴D（﹣11，0）； ③若EC，DB为对角线， ∴， 解得， ∴D（7，0）， 综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题． 25. 综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． （1）当E是的中点时，求． （2）如图2，当时，与相交于点G，求的长； （3）如图3，当时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明可得、，然后再根据勾股定理列方程求解即可； （2）先证明可得，设则，运用勾股定理列方程求解可得，进而得到；设，则，再运用勾股定理列方程求y的值即可； （3）根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，如图：过F作交延长线于H，则；由勾股定理可得、,设则，由勾股定理可得、，进而得到解得，即，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ∴，, ∵E是的中点， ∴, ∵把沿折叠得到， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：． 【小问2详解】 解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴, 设则， ∵, ∴，解得：， ∴， 设，则， ∵, ∴，解得：， ∴． 【小问3详解】 解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴, 如图：过F作交延长线于H，则, ∴, ∴, 设则 ∴，， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌熟练运用相关判定和性质定理成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期义务教育阶段教学质量监测八年级数学试卷 （时间：120分钟，总分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 邻边相等 D. 一条对角线平分一组对角 6. 在某次“汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学轮比赛成绩的平均分都是分，其中甲的成绩方差是，乙的成绩方差是，则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙的成绩一样稳定 B. 甲的成绩比乙的成绩稳定 C. 乙的成绩比甲的成绩稳定 D. 无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 7. 如图，在中，，，是的中点，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8. 智能垃圾箱分为“有害垃圾、可回收垃圾”等若干箱体．居民通过刷卡、手机号、人脸识别等身份识别方式进行自动开箱投放，将不同的垃圾投放至不同的箱体内，垃圾箱则根据居民投放的垃圾，自动进行称重，然后换算出积分可以现金提现或在礼品兑换机兑换实物礼品．我市某小区7个家庭一周换算的积分分别为23，25，25，23，30，27，25．关于这组数据，中位数和众数分别是（ ） A. 23，25 B. 25，23 C. 23，23 D. 25，25 9. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示．根据图象所提供的信息，其中不正确的有（ ） A. 甲队挖掘30m时，用了3h B. 挖掘5h时甲队比乙队多挖了5m C. 乙队的挖掘速度总是小于甲队 D. 开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：__________． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 13. 一次函数与y轴的交点坐标是_____． 14. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形． 15. 如图，分别以直角三角形的直角边为边长向外作正方形，面积分别为16和9，以斜边为边长向外作矩形，则矩形的面积为______． 16. 《九章算术》勾股卷有一题目：今有垣高六尺，依木于垣，上于垣齐．引木却行二尺，其木至地，问木长几何?意思是：如图，一道墙高6尺，一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平．若木棒下端向右滑，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向右滑2尺到D处时，木棒上端恰好落到地上B处，则木棒长__________尺． 三、解答题一（本大题共3小题，其中第17、18题各4分，第19题6分，共14分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 如图，在平行四边形中，平分交CD于点E，过点E作交于点F．求证：四边形是菱形． 四、解答题二（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 20. 阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 21. 某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）本次调查数据的中位数是； （2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少? （3）若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数． 22. 因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图实线所示，不超过按15元来结算费用；在乙商店购买该水果的费用（元）与该水果的质量之间的关系如图y2实线所示． （1）求与x之间的函数解析式； （2）现计划用500元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？ 五、解答题三（本大题共3小题，其中第23题10分，第24题、25题各12分，共34分） 23. 如图，是等腰三角形底边上的高，O是的中点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）①若，则矩形的面积为______； ②当______时，矩形是正方形，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4． （1）求直线BC的解析式； （2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． （1）当E是的中点时，求． （2）如图2，当时，与相交于点G，求的长； （3）如图3，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $