甘肃省庆阳市华池县第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

甘肃省华池县第一中学2023-2024学年度第二学期期末考试 N 五管 c u号 L,存棱长为2反的止方体的内个算的中心的连线所用成的八面体挖空，其中放置一个装璃球 高一数学 体，要求鼓璃球与这个八直体的人个面都相切，阴该坡璃惊的表面积是 入de 皆 C阿 n 二燕择盖：本大雕共3小盟，每小量6分，共18分.在每小是给出的邀项中，有多项符合置日型 2024.6 注意事项： 求.全部选对的得6分，部分港对的得部分分，有选错的得0分 上，表试参瑞分10令，者离时间19分钟 点如调，不能推斯这个几何体可能是三校合的是 2,考生你蓄附，请特等案答在苍道卡上。选释局年小调选★多蒙后，用2B相笔把答通卡上时 人A出=2，AB=3,B,C=3,=4 点避啦的答套托号诊第：◆地样是市用直备。5毫来黑色墨永等牢笔在等随卡上春题的答 B.A:B -1.AR-2.BC-1.3.BC-3.A.C=2.AC=3 题风或内外多，超出答题区城书写的答案无效，在试题卷、草裤纸上作答无效。 C.A8-1.AB-2,B.C-15.BC-3.A.C.=2.AC-4 双本认奉命照能国湖是氧必隆第二销， DA-A,A,HC=高，CA-CA 一、慈释随：本大题共需小置：何小题5分，并0分.在相小隔始出的四个选项中，只有一个选项 1机，败拉公式网什血8其中(e一2,7打“，为康数单位)h璃士著名数学家武找发现，该 是行含题目要求的 公式建立「三角离数与指数雨数的美系，在复变函数论中占有非看重妻的地位，被特为数 学中的大断”，健据账控公式，下刘结论中正确的是 .设x=8一，制川一2 A,行0=1 且e-…7 A.0 B I 北. 2 C”一-#+ Dre=/cwa十e(t》na 么.在△AC中角A,,C的时边分别是：c,五-1，一s一号：蝶- 11.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个小球，除标梦外2有其勉整异.采用不救回方式从 第 且2,2 C.2/ D 中任意设球两次设事件A一一第一次视出球的标号为2”，事件B一“常二次国出球的标号为 3,菲数10件产品，设事件A,广至少有两件次昌”，财事件A的对立事件“为 3”,事件-“同改复出球的标号之和为”，事件D一“两次执出球的标号之和为5”，财 人至多有两件次品 且至多有一件次品 A事件A与B耳月 B事件A与C相正独文 G至多有两件正品 D至少有丙件正品 C事件C与D王后 D事件B与D恒互传立 L已知a:,为三条不同的直线a3为同个不可的平而，下列四个命碧小不正晚的是 三，算空题：本大■共3小■年小题5分，共15分 A年1g6W且世∥3iL6 Ba⊥，a上g⊙6层安 2已知。一(3,1》，b一（一号，）e上螺本的值为 C年上意b上数时→67c Bd上A1g如}表 三四)年华人数学家张叠肃证明了华生常数纳想的一个前化后式，李生素数精思是希尔的特 1保m广一mw0 .[ 在叫年提出的28个问随之一，可以这样指述：存在无前多个素数P德得P十公是素数，煮 1儿济南泉城广场上的泉标是家督“痕字，北道浅觞别最。 数对(P,十)称为年生家数从1的以内的家敢中任成两个，其中能构成季生素数的照率为 成了诗南的际款和象缸小明同学想测量泉标的高发 A c a是 干是他在广场的A点测源泉标顶油D的伯角为0，性 乐已知问城，b美足=一2-a十b1一2州a东b方前上的投影衡鼎的短为 又沿着家标产部方向前注3礼”米，到达B点，文薄斜泉 标顶端)的知角为0，则小明闻学套出泉标的流度均为 c 信司 元已知oc<号<至，tim2a十0-4,1mn是一万(1一m登)，期：+2的值为 (参考数据：Mh2L342,in0e0766,in.0.8) 【高一期末+数学第1真（共4页）】 【高期术·验学第多（共4其】 四，解若题：本大题共5小是，共刀分，制答皮写出多要的文字烧期，使制过程及演算事骤 从17分) 瓦1多分) 己知AHL平五AD,DE上平面AD,△D为等边三角形，AD-时-4.A= n周，心加国算的顶点为P,O是滨而国心，4是底而同的直径臣，PB一指=1 2.F为D的中点， (1)求圆能的表时积： I)求正AF平面C空 (2染甘到健的场O的中点了作平行于具律客面的薰可，求藏科的 《2)求G,平有域王平有 测行的体积 )课有线F和平由以宝减角种正路值 1615分) 地校委经办”喜退二十大，高进新征程“如识境赛比赛具分为两枪，再位参延这手均倾参 加肉轮比等，若兀在轮比膏中均胜出，划搅为赢持比巫已细在第一轮它膏中，透手甲，乙 香尚的概率分照为}，}在第二轮比瘦中，甲，乙出的照水分别为号·专甲，《两人在鲜 度收分 附于数集X=一1+.，其中0运c≤mC,,定义向最里Y= 轮比容中是杏鞋出互不卷响 4复一(，？，sX,∈X),若列任意，仁了，在a:∈Y,使得@：·8：一，得移X月有特 1)从甲，乙两人中达取1人数如比舞，果谁参海赢得比离的恒率更大 酒 2)若甲，乙裤人均参加比赛，求调人中单少有一人瓢得比赛的复率 )2X一一1.1：2，请写出向量第Y非判断X是吾环有性后P(不西餐宝用 江若0<心<号，H集合-1月有性质卫桌，物值 am老X儿6性质n,庄-为数住>1，求正会会云 1院样分) 已知。，dr分别为心C个内角A,B,C的对近，MC86nC4-- 1门求证，B4+亡 《)若△AC为模角三角形，且十二-十2，康△，A度C面积的意值及国间 【高一朝末·数学第3顶（其4风）】 【色倒末，数学第4{共4置】 甘肃省华池县第一中学2023一2024学年度第二学期期末考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由题意可知x=3十i→-2=1+i,故|x-2|=√1+1严=√2. 2.A△ABC巾，b=1,c=3,osA=号，由余弦定理得c=6+e-2ksA=1+9-2X1X3×号-6，所以a =√6 3.B,至少有个的否定是至多有一1个，又，事件A:“至少有两件次品”，.事件A的对立事件为至多有 一件次品. 4.B对于A项，由a⊥a,a∥B可得a⊥B,又b∥3，则a⊥b,故A项正确：对于B项，由a⊥a,a⊥b可得bCa或 b∥a,故B项错误：对于C项，由a⊥a,b⊥a可得a∥b,又a∥c,故得b∥c,即C项正确：对于D项，由线面垂 直的性质易得结论正确. 5.A依题意，10以内的素数共有4个，从中选两个有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，共6个基本事 件，而10以内的孪生素数有(3,5)，(5,7)两对，包含2个基本事件，所以从10以内的素数中任取两个，其中 能构成李生素数的概率P=号=子 6B因为a+b3=(a+b)2=a+2a·b十6=a+2 a ca,b+b13,所以cos(a,b)=-,所 以a在b方向上的投影向量的模为acos(a,b)=一之 7.A因为sin(2a十3)=4sin,所以sin[(a+B)+a]=4sin[(a+)-a],所以sin(a十B)cosa+cos(a+3) sina=4sin(a+3)cosa-4cos(a+3)sina,化简得：5cos(a+3)sina=3sin(a十B)cosa,所以tan(a十B) ana又由10an号-5(1-m号)），可得10如号 5 =√5 ,所以 cos号 2 cos2号 10m受os号-5cosa,即5sina=3cose,所以ana-号，所以am(a十B》= ma=停又0<a< 0<<受，所以0<a+K,所以a十B晋 8.D由题知，该八面体是如图所示的正八面体MABCDN,根据正八面体与正方体的 位置关系，可得该正方体的面对角线长为4，从而可知正八面体的棱长为2，即AB= 2,连接AC,BD,交于点O,过点O作AB的垂线，垂足为E,连接ME,MO,则MO 平面ABCD,OE⊥AB,AB⊥平面OME,易知四边形ABCD与四边形BNDM都是 边长为2的正方形，MO=√2，OE=1,在Rt△MOE中，由勾股定理可得ME √MO+EO)=√/（√W2)+1=√3，设点O到ME的距离为d,由d·ME=OM· OE,,d一2X1,解得d=写，从而可知该正八面体的内切球的半径为气，所以所求玻璃球的表面积是 s=4×(9)-= 3 9.ABD 对于A.4是子B爱所以几何体不是三校台，放A销误：对于B,爱≠ AB BC ,所以几何体不是三棱 台，放B错误：对于C,是-配-C,所以几何体是三棱台，故C正确：对于D,该几何体可能是三校 柱，故D错误.故选ABD. 【高一期末·数学参考答案第1贞（共4页）】 10.ABDA选项：1e(学+)1=os(经+0）+isin(经+9)=|sim0-icos91=Vsm9+(-cos0)=1, 故A正确：B选项：可得e(年)=cos(受-0）+isin(受-0）=sin0叶icos0.因为e=cos0+isin0,则e cos0-isin0,可得i·e-icos0-平sin0-sin0叶icos0,所以e()=i·e产，B正确：C选项：因为e"-e- cos 0+isin -(cos a+isin a)=(cos 0-cosa)+i(sin 0-sin a),e"=cos (0-a)+isin (0-a),C 误：D选项：因为e+=cos(a十0)+isin(a+0),e(e号)=cos(0叶交）+isin(0+5)=-sin0+icos0, e cos a+e()sin a=(cos0+isin cos a+(-sin 0+icos sin a=cos 0cos a-sin 0sin a+ i(sin Ocosa十cosOsina)=cos(0+a)+isin(0+a),所以e+》=e cos a十e(+号)sina,D正确. 11.CD根据题意，依次分析选项：对于A,两次摸球中，第一次摸出球的标号为2，第二次摸出球的标号为3，即 事件A、B可以同时发生，则事件A、B不是互斥事件，A错误：对于B,若事件A发生，即第一次摸出球的标 号为2，则事件C一定不会发生，则A、C不是相互独立事件，B错误：对于C,事件C、D不会同时发生，是互 斥事件，C正确：对于D.PB)=子，PD)=号=号，P(BD=2有P(BPD)=P(BD,则B,D是相互 独立事件，D正确 12.号因为a=3,1D,b-(一是)a1b.所以ab=3X(-受)+k=0,解得k=号. 13. 由血47-siml7cos30°-m(30+17-n17c0s30_sn30cos17P+cos30sm17°-sn17rcos30° c0s17 c0s17 c0s17 sin 30"cos 17=sin 30. cos 17 14.38.3设CD-h,在△ACD中，∠CAD=30,则AD=CD=2h,在△ABD中，由正弦定理得AD览 sin 30% sin∠ABD 一铝所以盖部器-号2-温器结合m20L32血0076，解得6=38.所以泉标 的高度约为38.3米. 15.解：(1)由题意可知，该圆锥的底面半径r=3,母线=5.……2分 .该圆锥的表面积S=πr2+πrl=x×3+π×3×5=24元 …5分 (2)在Rt△POB中，PO=√PB-OB=√5-32=4， ,“是P)的中点，.P)=2.… …7分 六小圆锥的高=2，小圆锥的底面半径=合= 2… 4…8分 截得的圆台的体积V台=V大-V=号×xX3×4号×x×(受)×2=号元……】 3分 16.解：(1)记事件A表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B表示“乙 在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，…2分 所以AA表示甲赢得比赛”，PAA)=PAPA)-号×号-是，B品表示乙赢得比赛”，P(BA) =P(B)P(B)=子×号=是，因为号<君，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大.…6分 (2)记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛” 由1知PC=1-PAA)=1是-碧PD)=1-PB)=1-音-音， 所以CUD表示“两人中至少有一个赢得比赛”， 所以P(CUD)=1-PCD)=I-PCPD)=1-爱×号=是， 所以两人至少一人赢得比赛的概率为号。 …15分 【高一期末·数学参考答案第2贞（共4页）】 17.(1)i证明：因为bcos C-+3 bsin C-a-c=0, 由正弦定理可得sin Bcos C十√3 sin Bsin C=sinA十sinC, 又因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 代入整理得3 sin Bsin C--cos Bsin C=sinC, 且C∈(0，x),则sinC≠0. 可得5snB-osB=1,整理得si血(B-吾)=之 3分 由B∈(0，x)可知B-若∈(-晋，晋)，则B-吾=否，解得B=子， 可知A+C=号，所以2B=A+C 5分 (2)解：因为a2+2=B+2b,即a2+c2-=2b, 由余弦定理可得sB-心中-流-品-子即6分 2ac 所以SA2 acsin B=-号么 1 7分 由正弦定理可得品ABC店3 b 2 nA一治nC-音n(停A小 则a=2 则=号×治nA×尝n(学-A）-2背sinAsin(臣-A). 2 3 可得号=in Asin(学-A)=smA(停osA+号nA）=号in AcosA+mA sin 2A-cs2+sin (2)+ 10分 0<A<， 因为△ABC为锐角三角形，则 解得否<A< 2 11分 0<-A受， 则后<2A-吾<爱，可得号<m(2A-吾)<1， 12分 则克m(2A-吾)+∈（分，是]，可知6c[2.3) 所以SAAM= smB-号6∈[E,29 44小404004…40…44040小44440t4444044 15分 18.(1)证明：如图，取CE的中点G,连接FG、BG.,F为CD的中点， B aGF∥DE且GF=DE, 由AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴.AB∥DE,∴.GF∥AB 又1AB1=|DE|GF=|AB1, .四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG, ,AF士平面BCE,BGC平面BCE,∴.AF∥平面BCE. 5分 (2)证明：，△ACD为等边三角形，F为CD的中点， .AF⊥CD.,DE⊥平面ACD,AFC平面ACD,.DE⊥AF. 7分 【高一期末·数学参考答案第3页（共4页）】 ,BG∥AF,所以DE⊥BG,BG⊥CD. 又CD∩DE=E,CD、DEC平面CDE,.BG⊥平面CDE, BGC平面BCE,.平面BCE⊥平面CDE.…10分 (3)如图：在平面CDE内，过F作FH⊥CE于点H,连接BH, B E '平面BCE⊥平面CDE,平面BCE∩平面CDE=CE,FHC平面CDE, ,FH⊥平面BCE.∠FBH为BF和平面BCE所成的角.…12分 因为|AD|=|DE=4,|AB|=2, 则|FH=|CF|sin45=√2，|BF|=AB+AFZ=4,.14分 在△FHB中.m∠FBH=-9, 4 ∴直线BF和平面CE所成角的正弦值为票。 17分 19.(1)解：根据向量集Y的定义可得： Y={(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1).(2,1),(2,2)}.…1分 若a1=(一1，一1)，则存在a2=(1,一1)，使得a1·a2=0, 同理亦可证明对任意a1∈Y,也满足性质P,故X={一1,1,2}具有性质P.…2分 (2)解：对任意a,b∈X,都存在c,d∈X,使得ac十bd=0, 即对于m=(a,b),都存在n=(c,d),使得m·n=0,其中a,b,c,d∈X,…3分 因为集合{-1，x,21具有性质卫， 选取m=(a,b)=(x,号）n=(c.d)=(-1,d),则有-x+d=0,…4分 假设d=,则有-x叶2=0，解得.=0，这与0<号矛盾，…5分 假设d=-1,则有-x一是=0，解得x=-,这与0<<2矛盾， …6分 假设d=1,则有-十号=0，解得x=号，这与02矛盾，…7分 假设d=合，则有-x+}=0,解得x=},满足0<x<分，故x= d t …8分 经检验，集合一1，子，，山俱有性质卫.…9分 (3)证明：取a=(x,x1)∈Y,设ag=(s,t)∈Y且满足a1·a2=0, 由(s十t)x1=0得s十t=0,从而s,t异号， ,一1是x中唯一的负数，∴st中一个为一1，另一个为1，故1∈X. …11分 因为x2=q>1,所以x1=1,X具有性质P,取(a,b)=(xx,),l≤i≤j≤n, 设cx十dx=0,因为x>x,且c,d中的正数大于等于1， 所以只能d=-1,所以号-c∈X,1长区m …13分 又X中只有(n一1)个大于1的正数，即x2≤x3<<x-1<xw, 且<<<<x,这(n-1)个大于1的正整数都属于集合X, ? 所以只能兰 ,=…=x-,即9=头=…=么=2， 即9=马=…=乙=4 …17分 Ta-l 【高一期末·数学参考答案第4贞（共4页）】