精品解析：湖北省黄石市黄石港区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度下学期期末检测 八年级数学试卷 满分：120分 时间：120 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若一次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义的理解与掌握情况．形如的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数．正确理解只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键．根据二次根式的定义，令二次根式的被开方数大于或等于零即可求出结论． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加法、减法和乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 一组数据，，，，，，的众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数据的众数和中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是，得到这组数据的众数，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，， 则这组数据中出现次数最多的是，故众数为， 由中位数的概念可知第个数是，故中位数为， 故选：． 4. 的三边分别为、、，由下列条件能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A．由不能判定为直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴， ∴c为斜边，，即是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵，，， ∴， ∵， ∴不是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，即是锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，则面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平行四边形的性质可得，，可得，从而是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，即， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选C． 6. 一次函数（，是常数，且），若，则这个一次函数的图象必经过的点是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系．根据，可求，根据一次函数与方程的关系可知当时，，即可得到定点坐标． 【详解】解：， ． ∴在中，当时，， 一次函数经过点， 故选：D． 7. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数的交点求不等式得解集．不等式变形为，再并结合图象即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：不等式变形为， 观察图象得：当时，， ∴不等式的解集为， 即关于的不等式的解集是． 故选：A 8. “漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断. 【详解】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除B选项， 由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C、D选项， 故选A． 【点睛】本题考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 9. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，根据题意得出四边形是菱形是解题关键．由三角形中位线定理，推出四边形是菱形，得到，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出，即可求出的大小． 【详解】解：如图，令与的交点为， 、分别是、的中点，、分别是、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选：C. 10. 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 12. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是______（填“甲、乙、丙、丁”中的一位）． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义可作出判断． 【详解】解：，，，， ， 射击成绩最稳定的是丙， 故答案为：丙． 13. 将直线向左平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移变换和函数解析式之间的关系，灵活运用平移规律“左加右减，上加下减”成为解答本题的关键．根据左加右减的原则计算即可． 【详解】解：直线向左平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC=6，BC=8，则DE长度的取值范围是_____． 【答案】3≤DE≤5 【解析】 【分析】根据勾股定理得出CD的长和DE⊥BC时DE的长，进而得出DE的取值范围． 【详解】 解：当E与C或重合时，DE最长， 在Rt△ABC中，AB= ＝10， ∵点D是线段AB的中点， ∴CD=5， 当DE⊥BC时，DE最短，DE=＝ ＝3， 所以DE长度的取值范围是3≤DE≤5， 故答案为3≤DE≤5 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理、等腰三角形三线合一的性质得出CD的长和DE⊥BC时DE的长． 15. 如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，得到，由30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时， 在中，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质化简二次根式，然后计算二次根式的乘法，再计算加减即可，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． 【详解】解：原式， ． 17. 如图，在中，、分别平分、．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质，得到，结合角平分线的性质，得到，再利用三角形外角的性质，得出，即可证明平行． 【详解】证明：为平行四边形， ，，， ， 、分别平分、， ，， ， ，， ， ． 18. 某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题： （1）抽样的人数是________人，扇形中________． （2）抽样中组人数是________人，并补全频数分布直方图； （3）如图“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为优秀，那么该校2000名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的有多少人？ 【答案】（1），； （2）16，见解析； （3）该校2000名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的有人． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体等知识，从统计图获取信息是解题的关键． （1）用组人数除以所占百分比，求出抽样的人数，再用组人数所占百分比，即可求出的值； （2）用总人数减去其他4个小组的人数，求出组人数，再补全频数分布直方图即可； （3）用2000乘以样本中、组人数和所占比例求解即可． 【小问1详解】 解：抽样的人数是（人）， 扇形中，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：组人数是（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校2000名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的有人． 19. 已知一次函数（是常数）． （1）为何值时，随的增大而增大？ （2）满足什么条件时，该函数图象经过原点？ 【答案】（1）时，随的增大而增大； （2）时，该函数图象经过原点． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）由随的增大而增大可知，，即可求出的取值范围； （2）由函数图象经过原点可知，，，即可求出的值． 【小问1详解】 解：一次函数，随的增大而增大， ， ， 即时，随的增大而增大； 小问2详解】 解：一次函数的图象经过原点， ，， ， 即时，该函数图象经过原点． 20. 【材料阅读】 平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，，则． 【直接应用】 （1）已知，，求、两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． ①求点的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等角对等边，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理的应用，等角对等边，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）①如图，过作轴于，则，，设，，则，可求，进而可得；②由题意知，，，则，进而可得是直角三角形． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴、两点间的距离为； 【小问2详解】 ①解：如图，过作轴于， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得，， ∴； ②解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 21. 平面直角坐标系中，已知点，． （1）求直线的解析式； （2）若点为平面内的一点，且，求所有的点组成图形的解析式． 【答案】（1）直线的解析式为； （2）所有的点组成图形的解析式为或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求得即可； （）根据平行线间的距离相等，即可求得点组成图形的解析式．； 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，两条直线相交或平行问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，且过，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 如图，在轴上取一点，使， 设， ∴，即， ∴，解得：或， ∴，， ∴过作的平行线，则直线上的任意一点与所构成的三角形面积为， ∴设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 同理：直线解析式为， ∴所有的点组成图形的解析式为或． 22. 红星美凯龙某商店销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元． （1）求每台型空调和型空调的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中型空调的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型空调台，这100台空调的销售总利润为元．求该商店购进型、型空调各多少台，销售总利润最大，为多少元？ （3）实际进货时，广家对型空调出厂价下调元，且限定商店最多购进型空调70台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台空调销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元； （2）该商店购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大，为元； （3）购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元，根据“销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元”列二元一次方程求解即可； （2）设购进型空调台，则购进型空调台，根据“型空调的进货量不超过型电脑的2倍”；列一元一次不等式，求出的取值范围，设销售总利润为元，得出关于的函数解析式，再结合一次函数的增减性求最值即可； （3）由题意可得，，再根据的取值范围，确定一次函数增减性，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元， 由题意得：，解得：， 答：每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元； 【小问2详解】 解：设购进型空调台，则购进型空调台， 由题意得：， ， 设销售总利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，有最大值，最大值为元， 此时台， 即该商店购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大，为元； 【小问3详解】 解： 由（2）可知，， ， 根据题意得，， ， ， 随的增大而增大， 时，有最大值， 即购进型空调台，型空调台时，销售总利润最大． 23. 如图，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，连接分别交于点，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 （3）；证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）连接，利用正方形的性质和轴对称的性质证明，得到是等腰三角形，结论得证； （3）过点B作于点M，先证，得到，AM＝， 进一步得到，再证，，进一步证得，，在中，，进一步即可得到答案． 【小问1详解】 解：补全图形，如图1． ． 【小问2详解】 连接，如图2， ∵四边形是正方形， ∴， ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 【小问3详解】 ． 证明：过点B作于点M，如图3．则． ∵点A与点E关于直线对称， ∴，垂足是G， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∵＝， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、轴对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图，若点在直线上，过点作轴交于点，交轴于点，使，求此时点的坐标； （3）如图，点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）设，则 ， ，根据建立方程求解即可得出答案； （3）设，，分四种情况：当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，可证，可得，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案． 小问1详解】 解：∵直线：经过点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入， 得： ，解得：， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：设，则 ， ， ，， ， ，解得：或， 点的坐标为或． 【小问3详解】 解：设，， 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点， 则，，，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得： 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于， 则，，，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、三角形面积、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期期末检测 八年级数学试卷 满分：120分 时间：120 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若一次根式在实数范围内有意义，则取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 一组数据，，，，，，众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 的三边分别为、、，由下列条件能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. ，， D. 5. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数（，是常数，且），若，则这个一次函数的图象必经过的点是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 8. “漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算的结果是____________． 12. 甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是______（填“甲、乙、丙、丁”中的一位）． 13. 将直线向左平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为________． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC=6，BC=8，则DE长度的取值范围是_____． 15. 如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为________． 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在中，、分别平分、．求证：． 18. 某校检测学生跳绳水平，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并绘制了不完整的频数分布直方图和扇形图（如图）．根据图中提供的信息解决下列问题： （1）抽样的人数是________人，扇形中________． （2）抽样中组人数是________人，并补全频数分布直方图； （3）如图“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为优秀，那么该校2000名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的有多少人？ 19. 已知一次函数（常数）． （1）为何值时，随的增大而增大？ （2）满足什么条件时，该函数图象经过原点？ 20. 【材料阅读】 平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，，则． 【直接应用】 （1）已知，，求、两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是． ①求点的坐标； ②试判断的形状． 21. 平面直角坐标系中，已知点，． （1）求直线解析式； （2）若点为平面内的一点，且，求所有的点组成图形的解析式． 22. 红星美凯龙某商店销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元． （1）求每台型空调和型空调的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中型空调的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型空调台，这100台空调的销售总利润为元．求该商店购进型、型空调各多少台，销售总利润最大，为多少元？ （3）实际进货时，广家对型空调出厂价下调元，且限定商店最多购进型空调70台，若商店保持同种空调售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台空调销售总利润最大的进货方案． 23. 如图，在正方形中，为边上一点（点不与点重合），连接，作点关于直线的对称点，连接分别交于点，过点作于点，连接． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 24. 如图，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图，若点在直线上，过点作轴交于点，交轴于点，使，求此时点的坐标； （3）如图，点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$