精品解析：安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期7月期末质量统测数学试题

安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期7月期末质量统测数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 随着科学技术的不断进步和人们环保意识的提升，全球新能源汽车市场愈发繁荣，近年来，我国在新能源汽车的研发以及产销量上取得了巨大的进步．下图是2016～2022年全球及中国新能源汽车销量情况统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 全球新能源汽车销量数据的极差为456 B. 中国新能源汽车销量逐年递增 C. 2021年中国新能源汽车销量同比增长最快 D. 2022年中国新能源汽车销量占全球销量的比重最大 4. 如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 阜阳文峰塔始建于康熙三十五年（公元1696年），距今已有328年的历史，位于阜阳市颍州区文峰公园东侧文峰塔苑内，1998年被省政府列为省级文物保护单位．文峰塔为七层八边形密檐阁式全砖塔，由塔基、塔身、塔刹三部分组成，塔身可以近似看作正八棱台，该正八棱台的高约为，下底面面积约为，上底面面积约为，则文峰塔塔身体积约为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据，则下列命题正确的是（ ） A. 该样本数据上四分位数为 B. 若该样本数据的方差，则 C. 数据分别为，若数据满足，则数据的平均数为20 D. 若的平均数为，方差为的平均数为，方差为，样本的平均数为，则样本的方差为 10. 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2024个零点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 不存在动点M，P，使得 C. 直线CM与平面所成角的范围是 D. 若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量满足，则向量的夹角为______. 13. 一品牌机器保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种机器在使用一年内维修次数最多是3次，其中维修1次及以上占，维修2次占，维修3次占，某人购买了一台该机器，则一年内恰好维修1次的概率为______． 14. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 16. 已知函数的图象与轴交于点，两相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式，并求函数的单调递增区间； （2）已知点，若函数图象上一点，点满足，且．求. 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围． 18. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，M为PC的中点. （1）若平面PBC与平面PAD的交线为，求证：； （2）求证：平面平面BDM. （3）若，求二面角的正切值． 19. 某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： （1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． （2）在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期7月期末质量统测数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘除法运算直接求解即可. 【详解】由， 得. 故选：A 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数定义域化简集合A，解不等式化简集合B，再分析试算判断得解. 【详解】函数中，，解得，则， 由，解得或，则或， 显然不包含于集合，而，， 选项ABC不满足，，D正确. 故选：D 3. 随着科学技术的不断进步和人们环保意识的提升，全球新能源汽车市场愈发繁荣，近年来，我国在新能源汽车的研发以及产销量上取得了巨大的进步．下图是2016～2022年全球及中国新能源汽车销量情况统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 全球新能源汽车销量数据的极差为456 B. 中国新能源汽车销量逐年递增 C. 2021年中国新能源汽车销量同比增长最快 D. 2022年中国新能源汽车销量占全球销量比重最大 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条形图，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，全球新能源汽车销量数据的极差为，A错误； 对于B，2019年中国新能源汽车销量比上一年小，B错误； 对于C，中国新能源汽车销量，2017年比2016年增长，2018年比2017年增长， 2019年比2018年增长，2020年比2019年增长，2021年比2020年增长， 2022年比2021年增长，因此2021年中国新能源汽车销量同比增长最快，C正确； 对于D，2016年中国新能源汽车销量占全球销量的比重超过，2022年不到，D错误. 故选：C 4. 如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 5. 阜阳文峰塔始建于康熙三十五年（公元1696年），距今已有328年的历史，位于阜阳市颍州区文峰公园东侧文峰塔苑内，1998年被省政府列为省级文物保护单位．文峰塔为七层八边形密檐阁式全砖塔，由塔基、塔身、塔刹三部分组成，塔身可以近似看作正八棱台，该正八棱台的高约为，下底面面积约为，上底面面积约为，则文峰塔塔身体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据台体的体积公式计算可得. 【详解】， 故选：B 6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设中点为，确定，为正三角形，再计算向量的投影得到答案. 【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径， 则，又，则为正三角形， 则有， 向量在向量上的投影向量， 故选：A 7. 若角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值. 【详解】由，得， 即，则 所以 . 故选：B 8. 已知函数，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数在上的单调性，再构造函数并借助单调性求出范围. 【详解】函数在上都是增函数， 因此函数在上单调递增，， 则，令函数，显然函数是增函数， 不等式，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是分析函数的单调性，再利用单调形求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知样本数据，则下列命题正确的是（ ） A. 该样本数据的上四分位数为 B. 若该样本数据的方差，则 C. 数据分别为，若数据满足，则数据的平均数为20 D. 若的平均数为，方差为的平均数为，方差为，样本的平均数为，则样本的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用上四分位数的意义计算判断A；利用方差的计算公式推理判断B；求出平均数判断C；利用分层抽样的方差公式计算判断D. 【详解】对于A，没有明确数据的大小关系，A错误； 对于B，令该样本平均数为，则方差， 则，B正确； 对于C，，则平均数为，C正确； 对于D，依题意，，D正确. 故选：BCD 10. 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2024个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据周期的定义即可计算求解A，根据即可求解B，根据整体法即可求解C，根据函数的周期性即可求解D. 【详解】函数， 对于A:，故A错误； 对于B： ， 故的图像关于点对称，B正确， 对于C，当，则， 故均在单调递增， 故函数在单调递增，C正确， 对于D，令，故或， 在故在区间,上有,共2个零点， 而均为周期为的周期函数，故在区间上有2024个零点， 又，故在有2025个零点，D错误， 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知N，Q分别是棱的中点，，P分别是棱上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 不存在动点M，P，使得 C. 直线CM与平面所成角的范围是 D. 若M，P分别是棱的中点，由平面MNQ分割该正方体，其中截面MNQ上方的部分为几何体，某球能够被整体放入几何体，则该球半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由锥体体积公式即可求解A，根据线面垂直即可求解B，证明到平面的距离与到平面的距离相等，即距离为，利用线面角的几何法即可求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】对于A，,A正确， 对于B，连接相交于，当P是棱上的动点时， 过作交于，过作交于，连接, 由于,故, 由于，平面， 故平面,平面, 故,平面，平面， 故， 由于N，Q分别是棱的中点，所以， 所以，故B错误， 对于C，由于平面，平面，故， 又，平面， 故平面,故到平面的距离为， 又平面， 平面， 故平面， 因此到平面的距离与到平面的距离相等，即距离为， 由于, 设直线CM与平面为，则， 由于，故，C正确， 对于D， ，分别是棱，的中点，点为中点时，平面在正方体上的截面为正六边形， 某球能够被整体放入，该球半径最大时，是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球， 正六边形的边长为，面积为， 正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为， 设该球的半径为，由体积法可得，解得， D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量满足，则向量夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由、求出向量的坐标，再由向量夹角的坐标表示可得答案. 【详解】设， 由， ， 可得，解得，所以， 设向量的夹角为，则， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 13. 一品牌机器保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种机器在使用一年内维修次数最多是3次，其中维修1次及以上占，维修2次占，维修3次占，某人购买了一台该机器，则一年内恰好维修1次的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据并事件的性质即可求解. 【详解】由题意可得一年内恰好维修1次的概率为， 故答案为： 14. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由结合余弦定理和面积公式可得，再利用同角三角函数的关系可求得的值，由化简得，由三角函数的性质求出的范围，从而可求出的最小值. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， 在锐角中，有，，则， 所以， 因为 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以 ， 设（），则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用余弦定理和三角形的面积公式对化简变形，考查计算能力，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为． （1）求角； （2）点在边AC上，且，若______（从以下三个条件中任选一个），求的最小值． ①BD是边AC上的高；②BD是边AC上的中线；③BD是角的平分线． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理化简计算即得. （2）选①，利用三角形面积公式得，再利用（1）的结论结合基本不等式求解即得.选②，利用中点向量公式、数量积运算律，结合基本不等式求得，再由（1）的结论求解即得.选③，利用三角形面积公式可得，再由（1）的结论，结合基本不等式求解即得. 【小问1详解】 在中，由及余弦定理，得， 整理得，于是，而， 所以. 【小问2详解】 选①，BD是边AC上的高，由三角形面积公式得， 即，由（1）知，，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 选②，BD是边AC上的中线，则， 两边平方得，即， 当且仅当时取等号，于是，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 选③，BD是角的平分线，由三角形面积公式，得， 即，整理得， 当且仅当时取等号，，由（1）知，，解得， 所以当时，取得最小值. 16. 已知函数的图象与轴交于点，两相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式，并求函数的单调递增区间； （2）已知点，若是函数图象上一点，点满足，且．求. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可求出，再由图象与轴交于点，可求出的值，从而可求出的解析式，由求出函数的增区间； （2）由，得为的中点，表示出点坐标，代入函数中化简可求出. 【小问1详解】 由题意得，得， 所以， 因为图象与轴交于点， 所以，得， 因为，所以， 所以， 由， 得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 因为，所以为的中点， 因为，，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或， 所以或. 17. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义列式计算即得. （2）由（1）的结论，结合指数函数的性质求出在上的值域，换元分离参数借助函数单调性求解即得. 【小问1详解】 由函数为奇函数， 得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，，则，因此， 令，，不等式， 等价于，即，而， 因此，，而函数上单调递减， 即，从而恒成立，则， 所以正实数的取值范围是. 18. 如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，M为PC的中点. （1）若平面PBC与平面PAD的交线为，求证：； （2）求证：平面平面BDM. （3）若，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明平面，由线面平行的性质定理即可证明； （2）根据线线垂直可得平面，即可由面面垂直的判定求证， （3）由二面角的定义可得为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 由题设，平面，平面， 所以平面，又平面平面，面， 所以； 【小问2详解】 连接，，交于点，连结， 四棱锥的底面是菱形， ，是中点， 是中点， ， 平面， 平面， 平面， ， ，平面， 平面， 平面， 平面平面 【小问3详解】 过作，连接, 由（2）知平面，平面，故， 平面，故平面， 平面，故， 故为二面角的平面角， ，平面，， ， ， 故， 故， ， 故,则， 故， 故，二面角的正切值为． 19. 某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： （1）甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． （2）在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 【答案】（1）甲，理由见解析； （2）（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即得. （2）（ⅰ）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得；（ⅱ）按游戏使用次数，求出值及对应的概率，再用列表法表示出函数关系即可. 【小问1详解】 甲运动员成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，，则其中位数小于80， 所以甲运动员参加第二阶段游戏. 【小问2详解】 （ⅰ）若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率， 所以甲能参加游戏的概率为. （ⅱ）由甲参加每个游戏获胜的概率都是，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用了4次，则或50； ②游戏使用了3次，则或150； ③游戏使用了2次，游戏使用2次，则或150； ④游戏使用了2次，游戏使用1次，则或350； ⑤游戏使用了1次，游戏使用3次，则或150； ⑥游戏使用了1次，游戏使用2次，则或350； ⑦游戏使用了1次，游戏使用1次，则或350或550，其中有2种情况， 因此，当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，， 所以用列表法表示关于的函数为： 0 50 150 350 550 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$