湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

湖南师大附中2023一2024学年度高一第二学期期来考试 数 学 命题人 时量，120分仲 满分：150分 得分： 一、选择题（木大题共8个小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题意的.) 1.已知点A(一2,1一4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为 A.(-2、-1,-4) B.(-2,-1,4) C(2,1,4) D.(2,-1,-4) 的 2.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性 剧 A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 部 C.与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D.与第几次抽样无关，与样本量也无关 3.已知x,y∈C,则“x=y=1”是“x十yi=1十i”的 架 A充分不必要条件 製 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知一组数据，x,xx西的平均数为3，方差为2，则另一组数据 岗 3x1一2,3x2一2,3x3一2,3x4一2,3x5一2的平均数、方差分别为 A3吃 B.3,1 c D7号 母 5.已知向量a=(1,2),b=(2,一2)，c=(1,).若c1(2a十b),则λ= A-号 B C.-2 D.2 高一数学试题（附中版）第1页（共8页） 6.如图，P为平行四边形ABCD所在平而外一 点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥ 平而EBF时· PF A号 c ?,柯西不等式是数学家柯西(Cauchy).在研究数学分析中的“流数”问题时 得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向 量工具得到的：已知向量a=(x1,y),b=(x2,),由a·b1≤a1b得 到(xx2十12)2≤(x子十y)(x十y),当且仅当1为=x2y时取等号. 现已知a≥0，b>0,a十b=5,则V2a+2+Vb+3的最大值为 A18 B.9 C.23 D.33 8.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x十1猜想等，其描述为：任一正 整数x,如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最 终都将会得到数字1.例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程 为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若 八正整数6,7,8,9,10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运 算次缀均为奇数的概率为 A品 B青 c品 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选 页中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分 〉，有选错的得0分.)》 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情 某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，从 1000名参赛师生中随机选取100人的竞赛成绩作为样本（满分100分 成绩取整数)得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是 频率 组距 2a 0.90 40 50 60 708090100成绩/分数 A.a的值为0.05 B.估计这100人竞赛成绩的众数为75 C.1000名参赛师生中成绩低于60分的约有25人 D.以频率估计概*.从1000名参赛师生中随机抽取1人，该选手 不低于90分的概率为0.05 ·10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,h,c,以下说法正确的见 A.若>B,则sinA>sinB B.若a=4,=5,c=6,则△ABC为钝角三角形 C若a=5,b=10,A=牙，则符合条件的三角形不存在 D.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 1L.如图，在平行六面体ABCD-A,BCD,中，AB= AD=AA1=2,∠DAB=∠A1AB=∠AAD= 60°，若AQ=mAB+nAD+pAAi,其中m,n, ∈[0,1]，则下列结论正确的有 A.若点Q在平面A1BC1D1内，则p=1 B.若CQ⊥DB,则m=n C当D一之时，三楼锥Q-ABD的体积为 见当m十n=1时，CQ长度的最小值为W2 答题卡 题号 1 2 3 7 8 9 1011得分 答案 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件， 件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机拉 的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品 抽取了3件，则n= 13.角a,B满足sin(a+)+cos(a十B)=2,W2cos(a+平)sing,则tan(a-) = 14.如图，边长为4的正方形ABCD中，半径为1的动 圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点 A,C,D),P是圆Q上及其内部的动点，设BP= mBC+nBA(m,n∈R),则m十n的取值范围 是 立一断净津晒（陆中断）盆3而（共8页） 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) 15.(本小题13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且b=2,a2=(c一1)月 +3. (1)求A; (2)若a=4 sin Asin B,求cosC的值. 16、《本小题15分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2'的正方形，PA=PD, 直线PA写BC所成的角的正切值等于2，PB=3,M,N分别是PB, PC的中点， N (1)判断直线AM和DN的位置关系并说明理由； (2)证明：平面PAD|平面ABCD; (3)求平面MPD与平面APD夹角的余弦值. 17.(本小题15分) 某校举办“创新杯”围棋比赛活动，经过激烈的角逐后，甲、乙两名选手 进入到最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军，通过 分析，若甲先下，则甲赢的概率为子，若乙先下，则乙赢的概率为号，每 局没有和棋，不同局的结果互不影响.已知第一局甲先下，甲，乙两人依 次轮流先下. ()求比赛四局乙赢的概率； (2)已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率. 18.(本小题17分)》 如图，已知正方体ABCD-EFGH的棱长为2，点M,N分别在线段 AB,BF上 G E (1)当AM=FN时，求异面直线EM与GN所成角的取值范围； (2)已知线段HN的中点为点K,当AM十FN=2时，求三棱朝 MNK的体积的最小值. 19.(本小题17分) 已知函数y=f(x),若存在实数m,k(m≠0)，使得对于定义域内的任 意实数x,均有m·f(x)=f(x十k)+f(x一)成立，则称函数f(x)为 “可平衡”函数，有序数对(m,)称为函数f(x)的“平衡”数对. (1)若f(x)=x2,求函数f(x)的“平衡”数对； (2)若m=1,判断f(x)=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由； (3)若m,m2∈R,且(m,),(2,)均为函数f(x)=cosx(0<x≤ 不)的“平衡”数对，求m+m吃的取值范围.南师大附中2023一2024受年意高一第二学期期末考试 数学参考答案 题号12 567891011 A BD AC ABD 一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意的.) 1.B【解析】空间点关于工轴对称,横坐标不变,另外两个坐标相反,所以点A关于工轴的对称点 (-2,-1,4).故选B. 2.C 【解析】在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性均相同,与第几次抽样无关,但和要抽取的样本量 关,样本量越大,被抽到的概率越大,故选C 3.A 【解析】若x=y-1,则x十yi-1十i;由于x,yC,所以x十yi不一定是复数的代数形式, 比如,x-2,-1十i时x+i-1士:“- 三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分) 12.13 13.-1 14.[1-2,2+# 四、解答题(本大题共5个小题,具77分,解答应写出文字说明、证明过程成演算步难 $5.【解析 (1)得=(c-1)*+3- -2-+2--b+. 2 因为Ae(0.-),所以A-. ...............................分) 以sin”B-#从而sinB-得--或B-3- ...............................................分) 而B--A-C<-A-2=-故B-. ............................................分) 所以cos C=cos(-A-B)=-cos(A十B) -sin Asin B-oos Aoos B #---0-# .........................................). 16.【解析】(1)直线AM与DN相交 白M,N分别是PB,PC的中点,故MN/BC,MN-BC,又BC/AD 所以四过形AMND为梯形,且AM与DN是福形的两条腰,故直线AM与DN相交。 ......i........(分) (2)取AD的中点为O,选接PO,BO,因为PA-PD,所以PO AD. 因为.C/. D,所以 PAD说就是直线P.与. BC所或的角,所以 1tan. PpA-.2,................(5分) 又底面ABCD是边长为2的正方形,所以AB-AD=2AO-2,AO-1,BO-/5, 又 PB-3..则有 PB.三PO.所以 PO.. O.,.................... (7分) 又.AD,BOC手面ABCD,BOOAD=O,所以PO1手面ABCD. 而PO二平面PAD,所以乎面PAD1平面ABCD. ..............................). (3)园为M是PB的中点,所以手面MPD即为乎面BPD 在正方形ABCD中,取BC的中点Q,连接OQ,则OQ1AD 又由(2)知PO1平面ABCD,故以O为原点,OQ,OA,OP所在直线分别为工轴,y 轮,....如.所示的空.真.坐标.......................................10分). B(2.1.0).D(0.-1,0),P(0.0,2),BD=(-2,-2,0),BP=(-2,-1,2) 没手面BPD的一个法向量为n三(x,y,z). [.BD--2r-2y-0. 1..BP--2-y+2z-0. 取x=2,则--2,-1,故n-(2,-2,1), ..................... 乎面............为.............................................................. (13: 高一数学(附中线)参考答案一3 n_2x1+(-2)x0+1x0_2 1×②+(-2+1f 3。 所以平面MPD与平面APD夹角的余弦值为} .............5 17.【解析】(1)设“乙先下乙赢”为事件A.“甲先下乙赢”为事件B 设比赛四局乙赢为事件C. 则P(C)-P(BABA)+P(BABA)+P(BABA) #-33×1#34#1#-1x4#×3×-3 .................................分). 所以比赛四局乙赢的概丰为13. ...............................................................分) (2)已知前两局甲、乙各赢一场,且比赛五局结束比赛 则第三局和第四局甲、乙各赢一场,第五局甲、乙都有可能赢, .................................1.分.). 设“前两局甲、乙各赢一场,比赛五局结束”为事件D. 则P(D)-P(BA)+P(BA)-+32-. 所以前两局甲、乙各赢一场,比赛五局结束的概率为 ............................................ (15分) 18.【解析】(1)由题意,正方体的三条枝长DA,DC,DH两两互相垂直,故以D为原点,DA. DC.DH所在直线分别为工,y,:轴建立如图所示的空间直角坐标系, AB-2,由题意不妨设AM-FN-a,a[0,2]. 所以E(2.0.2).G(0.2,2).M(2.a.0).N(2.2,2-a) 所以EM-...-....-.. ............... ..分).. 设异面直线EM与GN所成角为0,0E(0,]. .............................). 当a-o.f(................... .......................... 综上,cos/(a)o,,则[,] ...................................分.. 所以异面直线EM与GN所成角日的取值范图为[,. .......................... (2)如图所示,由题意,线段HN的中点是K,AB-2,不妨设AM-a,FN-2-a aE[0,2]. 所以H(0,o,2),N(2,2,a),K(1,1.1+).K-(1,1,-1) 取平面EMN的一个法向量为n一(1,0.0), In (11分) 而$n=S*-Snu-Smy-Smy=2x2-x2xa-(2-a)x -1x(2-a)x2 =1--+ ~-(-1 所三F-MNK的体织为Vrrx-Vxr-Sony·-(a-1):+,aE[0.2], 所以当且仅当a-1时,三梳锥E-MNK的休积取最小值. .................. 19.【析】(1)根掘题意可知,对于任实数工,mr{一(-+)十(工一)}一2+2k*成立, 即 -2*+2,即(m-2)r^-2 =0对于任意实数1成立, 则m=2,一0,故画数f(x)一r”的“平街”数对为(2,0). (2)若m-1.则m·/(x)-sinx, f$十k)+f(-k)=sin(r十k)+sin(-k)=2sinxcos} 要使得((x)为“可平衡”函数,需使(1一2cosk)·sinx一0对于任意实数工均成立 则cos b-),此时k-2nn士哥,nZ,故k存在, 所以f(x)一sinx是“可平街”&数. .......................................................分). (3)假设存在实数m,b(m≠0),有序数对(m,k)为函数f(z)=cos^{x0<<哥)的“平衡”数对 则moos1=cos}(r十k)+cos}(r-k). m(1+oos 2x)-号1+cos 2(r+b)]+号1+cos 2(r-b) '.m(1+cos 2x)-1+oos 2xcos 2h-sin 2xsin 2h+1+cos 2rcos 2k+sin 2xsin 2h -m(1. .................... 11分)... _ “(m.,).(m.,)均为画数(z)-cosx(0<<)的“平街”数对, ..m(1+cos2x)-2+2cos 2xcosπ=2-2cos 2x m:(1+oos 2x)-2十2oos 2rcos-2. :0<.0<2吾..0o21. 2-2oos 2r_2-2(1-2sinx)2sin-2tan{x, cos{ (15分) .h(0)<h(z)<().即1<h(x)<8, n一...........................................1.”分).