精品解析：河南省平顶山市汝州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年下学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 2. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 3. 对于分式，下列说法不正确的是（　　） A. 时，分式值为0 B. 时，分式无意义 C. 时，分式的值为正数 D. 分式的值可能为1 4. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 5. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 7. 一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 8. 如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 9. 如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 若，则___________． 11. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 12. 已知两个有理数：和5．若再添一个负整数，且，5与这三个数的平均数仍小于，则的值为________． 13. 若关于x的方程有增根，则a的值为__________． 14. 如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 15. （1）解不等式组：． （2）分解因式： 16. 如图，在四边形中，，点E在上，，垂足为F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求长． 17. （1）化简： （2）解方程： 18. 已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． （1）求证：是等边三角形． （2）延长交的延长线于点，求证：． 19. 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． （1）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； （2）当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； （3）动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 20. 如图，在中，，，点D为内一点，，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F， （1）求的度数． （2）求中边上的高． （3）求的长． 21. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 22. 问题情景 已知与中，，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索． 拼图思考： （1）希望小组的同学将与按照如图1所示摆放，其中点B与重合，点落在边上，点落在边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答： ①求证：平分； ②求点之间的距离． 操作探究： （2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接，他们又提出如下问题： ①当线段与交于点P时，如图2，求证：点B在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年下学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可． 【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得， ∴“”中应填的符号是“”， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键． 2. 对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义进行判断即可； 【详解】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键． 3. 对于分式，下列说法不正确的是（　　） A. 时，分式值为0 B. 时，分式无意义 C. 时，分式的值为正数 D. 分式的值可能为1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，解分式方程等知识．熟练掌握分式有意义的条件，分式的值，解分式方程是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分式的值，解分式方程对各选项判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中时，分式值为0，正确，故不符合要求； B中时，分式无意义，正确，故不符合要求； C中时，，分式的值为正数，正确，故不符合要求； D中令，解得，此时方程无解，分式的值不可能为1，错误，故符合要求； 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 5. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的概念，当分式的分子分母是多项式时，要分别分解因式，再判断有无公因式．分式的分子分母若没有公因式，这样的分式叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】解：A选项是最简分式，故正确； B选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确； C选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确； D选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确． 故选：A． 6. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 7. 一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明才可能进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌． 【详解】∵正三角形、正四边形、正六边形的内角分别为60°、90°、120°， 又∵360°-60°-90°-120°=90°， ∴另一个为正四边形， 故选B． 【点睛】本题考查平面密铺的知识，难度一般，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用多种正多边形镶嵌的几个组合． 8. 如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出．再根据ASA证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在直角中利用勾股定理求出CD的长． 解：如图，连接FC，则． ， ． 在与中， ， ， ， ，． 在中，， ， ， ． 故选：A． 【详解】详解片段 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键． 9. 如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式，正方形的性质，点坐标等知识．熟练掌握一次函数解析式，正方形的性质，点坐标是解题的关键．待定系数法求直线的解析式为，由题意知，，将代入，可求，则，进而可得． 【详解】解：设直线的解析式为， 将和代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，， 将代入得，， 解得，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 若，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解． 【详解】解：∵， ∴ = 故答案为10． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将分子分解因式是解题的关键． 11. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 12. 已知两个有理数：和5．若再添一个负整数，且，5与这三个数的平均数仍小于，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式组的应用，根据m为负整数，，5与m这三个数的平均数小于m，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：依题意得： ， 解得：， ∵m为负整数， ∴， 即m的值为． 故答案为：． 13. 若关于x的方程有增根，则a的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式有增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：1． 14. 如图，在中，点、分别是边、的中点，连接、，点、分别是、的中点，连接，若，，，则的长度为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点，由平行四边形性质可得，，可证明 ，再由全等三角形性质得，，则，求得，，，推得，由，求得，则中位线的长度即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，作交的延长线于点， 则， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点、分别是、的中点， ，，， 在和中， ， ， ，， ，点、分别是边、的中点， ，， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、等角对等边，解题关键是正确地作出辅助线帮助求解． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 15. （1）解不等式组：． （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，提公因式法与公式法的综合运用， （1）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图， ∴原不等式组的解集为； （2）解：原式 ． 16. 如图，在四边形中，，点E在上，，垂足为F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，求长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质以及勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）证，再由，即可得出结论； （2）先由，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴． 17. （1）化简： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及分式的化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先通分，计算括号内的减法，把除法转化为乘法，约分即可求解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：方程两边都乘以，得 解这个方程，得 经检验， 是原方程的根 18. 已知：如图，在中，，为的中点，，，垂足分别为，，且． （1）求证：是等边三角形． （2）延长交的延长线于点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵为的中点，， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 （2） 证明：连接 ∵是等边三角形，为的中点 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 由（）知 ∴ ∴，即 ∴ 【解析】 【分析】（1）证得，又得，，即可得证； （2）连接，先证明得，进而利用三线合一得，由（）知得，从而得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质，垂线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 19. 小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图②的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． （1）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片________张，3号卡片________张； （2）当他拼成如图③所示的长方形，根据图③的拼图可以把多项式分解因式，其结果是________； （3）动手操作，请依照小刚的方法，在④的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】（1）2，3 （2） （3） 如图所示： ． 利用拼图分解因式： 【解析】 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需需要2号卡片，3号卡片的数量； （2）根据因式分解方法分解即可； （3）利用因式分解得，即可画出图形． 【小问1详解】 解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∴需要2号卡片2张，3号卡片3张， 故答案为：2，3； 【小问2详解】 解： 故答案为； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，，点D为内一点，，，连接，将绕点A按逆时针方向旋转，使与重合，点D的对应点为点E，连接交于点F， （1）求的度数． （2）求中边上的高． （3）求的长． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，化为最简二次根式，掌握基础的几何知识是解本题的关键． （1）由旋转的性质结合三角形的外角的性质可得答案； （2）由勾股定理先求解，再利用等面积法求解即可； （3）过作于，则，证明，可得，利用勾股定理可得：，再进一步求解即可； 【小问1详解】 解：如图，由旋转可知：． ， ． 【小问2详解】 解：∵； 在中，利用勾股定理可得：； ∴中边上的高； 【小问3详解】 解：过作于，则， 由（1）知， ， ， 由（2）知， 在中，利用勾股定理可得：， ， ， ． 21. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】（1）20元 （2）2250元 【解析】 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【小问1详解】 解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． 【小问2详解】 解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 22. 问题情景 已知与中，，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索． 拼图思考： （1）希望小组的同学将与按照如图1所示摆放，其中点B与重合，点落在边上，点落在边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答： ①求证：平分； ②求点之间的距离． 操作探究： （2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接，他们又提出如下问题： ①当线段与交于点P时，如图2，求证：点B在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 【答案】（1）①见解答过程，②2 （2）①见解答过程，②20 【解析】 【分析】（1）第一问借助三角形与全等求证，第二问连接，判断求解． （2）第一问连接，，判断为等腰三角形，利用三线合一求证，第二问画出满足条件的图形，利用等边三角形求解． 【详解】解：（1）①与中，，，， 四边形是菱形． 平分． ②连接，如图， 由①知四边形是菱形， ， ， ， ， 为等边三角形， ． （2）①连接，，如图， 与中，，，， ，，， ， ， 为等腰三角形， 在线段的垂直平分线上． ②如图， 与中，，，， ，，， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角的性质定，等边三角形的判定与性质．关键是借助三角形全等和等腰三角形的三线合一进行解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $