精品解析：广东省茂名市高州市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

高州市2023－2024学年度第二学期期末质量监测 七年级数学 本卷满分：120分 考试用时：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个手机应用图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，4 4. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法： ①对顶角相等； ②同位角相等； ③平行于同一条直线的两条直线一定平行； ④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，则他答对的概率是． 其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 6. 一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶．下面哪一幅图可以近似刻画出该汽车在这段时间内的速度变化情况(　　) A. B. C. D. 7. 如图，下列条件中，能判定AD∥BC的是(　　) A. ∠C＝∠CBE B. ∠A+∠ADC＝180° C. ∠ABD＝∠CDB D. ∠A＝∠CBE 8. 如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O′D′C′得∠AOB＝∠A′O′B′，其依据的定理是（　　） A SSS B. SAS C. ASA D. AAS 9. 若，则( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 10. 如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（ ） A. 4 B. 4、8 C. 4、8、12 D. 4、12、16 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11 若，，则________． 12. 一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是_____（度）． 13. 若是一个完全平方式，则常数的值为________． 14. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为_____． x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 y（cm） 12 125 13 13.5 14 14.5 15 15. 如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④，一定成立的有________（填序号） 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 已知直线和外一点，过点作的平行线．要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹． 18. 某市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图，根据图象回答： （1）该市自来水收费时，若使用不足吨，则每吨收费多少元？超过吨部分每吨收费多少元？ （2）写出每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系式． （3）若某户居民每月用水吨，应交水费多少元？若某月交水费元，该户居民用水多少吨？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人； （2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ； （3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数. 20. 如图①，在中，，，过点C在外作直线，于点M，于点N. （1）求证：； （2）如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N（），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 21. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）图中阴影部分的正方形的边长是______． （2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法：______；方法：______． （3）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______． （4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 23. 在四边形中，，、分别是、上的点，并且，试探究图中、、之间的数量关系． 【问题提出】 （1）如图1，．小王同学探究方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，由此可得出结论 【问题探究】 （2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，若，点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高州市2023－2024学年度第二学期期末质量监测 七年级数学 本卷满分：120分 考试用时：120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵，不是同类项，无法计算， 故A合题意． ∵， ∴B不合题意． ∵， ∴C合题意． ∵， ∴D不合题意． 故选：C． 2. 下面四个手机应用图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形定义“一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，不符题意 B、不是轴对称图形，不符题意 C、不是轴对称图形，不符题意 D、是轴对称图形，符合题意 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 3. 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 A. 1，2，6 B. 2，2，4 C. 1，2，3 D. 2，3，4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误； B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误； C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误； D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确； 故选D． 4. 如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到，再根据，即可求解． 【详解】解：直尺的对边分别平行，， ， ， ， 故选：B． 5. 下列说法： ①对顶角相等； ②同位角相等； ③平行于同一条直线的两条直线一定平行； ④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，则他答对的概率是． 其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，平行线的相关性质，概率公式，解题的关键是掌握相关的知识．根据对顶角的性质、平行线的相关性质、概率公式，逐一分析即可求解． 【详解】解：①对顶角相等，故①正确； ②两直线平行，同位角相等，故②错误； ③平行于同一条直线的两条直线一定平行，故③正确； ④在一次考试中，小明遇到一道单项选择题不会做，于是他从A、B、C、D 四个选项中随机地选一个答案，则他答对的概率是，故④正确； 故选：A． 6. 一辆公共汽车从车站开出，加速一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，发现没多少油了，开到加油站加了油，几分钟后，又开始匀速行驶．下面哪一幅图可以近似刻画出该汽车在这段时间内的速度变化情况(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【详解】解：公共汽车经历：加速−匀速−减速到站−加速−匀速， 加速：速度增加， 匀速：速度保持不变， 减速：速度下降， 到站：速度为0. 观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有B选项符合. 故选B. 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 7. 如图，下列条件中，能判定AD∥BC的是(　　) A. ∠C＝∠CBE B. ∠A+∠ADC＝180° C. ∠ABD＝∠CDB D. ∠A＝∠CBE 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A、∵∠C＝∠CBE，∴AB∥CD，故本选项错误； B、∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误； C、∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，故本选项错误； D、∵∠A＝∠CBE，∴AD∥BC，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行． 8. 如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O′D′C′得∠AOB＝∠A′O′B′，其依据的定理是（　　） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【详解】分析：在做一个角等于已知角时，实际上作的是三边对应相等，根据三边对应相等两三角形全等，全等三角形的对应角相等可知所作的角等于已知角. 详解：在△OCD与△O′C′D′， ∵ , ∴△OCD≌△O′C′D′（SSS）， ∴∠A′O′B′=∠AOB， 显然运用的判定方法是SSS． 故选A 点睛：本题考点是全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解决本题的关键，本题是常考题，要熟练掌握 9. 若，则( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由得x=3+y，然后，代入所求代数式，即可完成解答. 【详解】解：由得x=3+y 代入 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键. 10. 如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（ ） A. 4 B. 4、8 C. 4、8、12 D. 4、12、16 【答案】D 【解析】 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则．根据同底数幂相除，底数不变指数相减即可求解． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 12. 一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是_____（度）． 【答案】40． 【解析】 【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角为x， 由题意得，， 解得． 故答案为：40． 【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补． 13. 若是一个完全平方式，则常数的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得：或， 故答案为：或． 14. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（kg）有下面的关系，那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式为_____． x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 y（cm） 12 12.5 13 13.5 14 145 15 【答案】 【解析】 【分析】由表知，重物质量每增加1kg，弹簧则增加0.5cm，由此找到规律即可求得弹簧总长y（cm）与所挂重物x（kg）之间的关系式． 【详解】解：如下表， x（kg） 0 1 2 3 4 5 6 … y（cm） 12 12+0.5 12+2×0.5 12+3×0.5 12+4×0.5 12+5×0.5 12+6×0.5 … 当重物质量为xkg时，弹簧长度为y=12+0.5x， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求两个变量间的关系式，根据规律：重物质量每增加1千克，弹簧则增加0.5cm，是解决问题的关键． 15. 如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下五个结论：①；②；③；④，一定成立的有________（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出；③先证明，即可判断出，③正确；②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确．④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；即可得出结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，结论①正确． ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，结论③正确； 又， 为等边三角形， ， ，结论②正确． ， ， ，结论⑤正确． 没有条件证出，④错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故答案是：①②③⑤． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分． 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方、绝对值，再算加减即可； （2）根据整式的混合运算法则化简，再代入值计算即可． 【详解】解：（1） （2） 当，时，原式． 17. 已知直线和外一点，过点作平行线．要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线，解答此题的关键是熟练掌握基本尺规作图，作一个角等于已知角的步骤．过点作直线交直线于，再作，直线即为所求． 【详解】解：如图，直线即为所求． 18. 某市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图，根据图象回答： （1）该市自来水收费时，若使用不足吨，则每吨收费多少元？超过吨部分每吨收费多少元？ （2）写出每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系式． （3）若某户居民每月用水吨，应交水费多少元？若某月交水费元，该户居民用水多少吨？ 【答案】（1）若使用不足吨，则每吨收费元，超过吨部分每吨收费元； （2） （3）每月用水吨，应交水费元；若某月交水费元，该户居民用水吨． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据图象列式计算即可； （2）分为两种情况：当时，当时，结合图象即可求解； （3）根据（2）中的解析式计算即可． 【小问1详解】 解：使用不足吨：（元）， 超过吨部分每吨收费：（元）， 若使用不足吨，则每吨收费元，超过吨部分每吨收费元； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ； 【小问3详解】 解：， 每月用水吨，应交水费：（元）； ， 用水量超过吨， ， 解得：， 若某月交水费元，该户居民用水吨． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 初中学生带手机上学，给学生带来了方便，同时也带来了一些负面影响．针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）这次调查的家长总人数为 人，表示“无所谓”的家长人数为 人； （2）随机抽查一个接受调查的家长，恰好抽到“很赞同”的家长的概率是 ； （3）求扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数. 【答案】（1）200，40；（2）；（3）162°. 【解析】 【详解】解：（1）50÷25%=200（人），200×20%=40（人）． 故答案为：200；40. （2）∵“很赞同”的家长人数为：200-90-50-40=20（人）， ∴抽到“很赞同”的家长的概率是20÷200=. 故答案为：. （3）∵×360°=162°， ∴扇形统计图中表示“不赞同”的扇形的圆心角度数为162°. 20. 如图①，在中，，，过点C在外作直线，于点M，于点N. （1）求证：； （2）如图②，若过点C作直线与线段相交，于点M，于点N（），（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）（1）中的结论不成立，，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据垂直的定义得到，则，又，则，于是根据等量代换得到，根据“”可证明，根据全等的性质得，，则； （2）与（1）证明方法一样可得到，根据全等的性质得，，而． 【小问1详解】 证明：于，过作于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：（1）中的结论不成立，与、之间的数量关系为．理由如下： 于，过作于， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等． 21. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）图中阴影部分的正方形的边长是______． （2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法：______；方法：______． （3）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______． （4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______． 【答案】（1）； （2）， （3）； （4）14． 【解析】 【分析】（1）由拼图可直接得出答案； （2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积即可； （3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案； （4）由（3）的结论代入计算即可． 【小问1详解】 由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即 故答案为：， 【小问3详解】 由（2）得，， 故答案为：； 【小问4详解】 ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EVF的度数． 解：过点M作MN∥AB ∵AB∥CD ∴MN∥CD ∴∠EMN＝∠AEM＝45° ∠FMN＝∠CFM＝25° ∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN ＝45°+25°＝70° 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么∠AEM和DCFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】如图2，已知直线m∥n，AB是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA＝∠QPB． （1）由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPQ之间的数量关系，并说明理由． （2）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间四块平面镜构成四边形ABCD光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…直接写出∠OPQ和∠ORQ的数量关系． 【应用拓展】 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题： 在图4中，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度数． 【答案】（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由见解析；（2）∠OPQ=∠ORQ；【应用拓展】85° 【解析】 【分析】方法运用：（1）过点P作PEOA，则PEBQ，利用平行线的性质及各角之间的关系即可得出结果； （2）同（1）方法类似，结合图形找出各角之间的关系求解即可； 应用拓展：过点P作PMAB：过点Q作QNAB，利用平行线的性质找出各角之间的关系求解即可． 【详解】方法运用，解：（1）∠OPQ=∠AOP+∠BQP，理由如下， 如图所示，过点P作PEOA，则PEBQ. ∴∠AOP=∠OPE，∠BQP=∠QPE. ∵∠OPQ=∠OPE+∠QPE ∴∠OPQ=∠AOP+∠BQP； （2）解：∠OPQ=∠ORQ， 理由如下，由（1）得，∠AOP+∠BQP=∠OPQ， 同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ， ∵入射角等于反射角： ∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠CQR， ∴∠OPQ=∠ORQ； 【应用拓展】如图，过点P作PMAB：过点Q作QNAB， 则ABPMQNCD ∴∠ABP+∠BPM=180，∠MPQ=∠PQN，∠DCQ+∠CQN=180° ∵∠B=125°，∠C=145°， ∴∠BPM=180°-125°=55°，∠CQN=180°-145°=35°， ∵∠PQC=65°， ∴∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°， ∴∠QPM=∠PQN=30°， ∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=30°+55°=85°． 【点睛】题目主要考查平行性质的性质及辅助线的作法，解决本是的关键是理解题意，作出相应的辅助线． 23. 在四边形中，，、分别是、上的点，并且，试探究图中、、之间的数量关系． 【问题提出】 （1）如图1，．小王同学探究的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，由此可得出结论 【问题探究】 （2）如图2，若，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，若，点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB．证明见解析． 【解析】 【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论； （2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由： 如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG， ∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，DG=BE， ∴△ABE≌△ADG(SAS)， ∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF． 故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF； （2）仍成立，理由： 如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， ∴∠B=∠ADG， 又∵AB=AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF； （3）∠EAF=180°-∠DAB． 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∴∠EAF=180°-∠DAB． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$