精品解析：四川省资阳市雁江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期八年级期末学情分析题 数学（参考卷） 本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号．答题结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3．各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作签、答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 在式子，，，，，中，分式的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 世界上最小的开花结果植物是一种出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 的对角线 ，交于点 ，若 ，，则 的长可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中， ，，，垂足为点H，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 6. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P是矩形的对角线 上一点，过点P作，分别交 ， 于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 8. 如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 9. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围______． 12. 若一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，则这组数据的众数是___________． 13. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为______________． 14. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是______． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________． 16. 如图，已知正方形的边长为，E为对角线 上的一点，连接 ．过点E作，交 的延长线于点F．以 、 为邻边作矩形，连接．有下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中，正确的结论是___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 18. 某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如图（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 七年级10名学生的成绩：96，86，96，84，99，96，90，100，89，84． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位教 众数 方差 七年级 92 b c 33.8 八年级 92 93 100 48.6 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ． （2）这次比赛中哪个年级的学生成绩更稳定？说明理由． （3）该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 19. 如图所示，点 在四边形的边 上，连接，并延长交 的延长线于点，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为平行四边形． 20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点和点，与x轴交于点D． （1）求a，m的值及点B的坐标； （2）写出时，x的取值范围； （3）P是x轴上一点，且满足的面积等于5，求点P坐标． 21. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 22. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球选修课程．学校需购进一批篮球、足球．若购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，足球单价比篮球单价贵40元． （1）求足球、篮球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购足球、篮球共60个，并要求足球不少于25个，且总费用不多于6000元．有几种购买方案？并求出购买资金最少为多少元？ （3）某经销商足球、篮球的进价分别为110元/个，65元/个，为了促销，经销商决定每售出一个篮球返还顾客现金a元，而足球售价不变，如果（2）中的所有方案获利相同，则a的值为多少？ 23. 小嘉骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小嘉妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离 （km）与小嘉的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题． （1）求的函数表达式； （2）求点的坐标； （3）设小嘉和妈妈两人之间的距离为（km），当时，求的取值范围． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形． （1）求b的值和点D的坐标； （2）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）． ①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由； ②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下期八年级期末学情分析题 数学（参考卷） 本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分150分．答题时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请学生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、学校和编号．答题结束，将试题卷和答题卡一并交回． 2．各学科的选择题，每小题选出的答案须用2B铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案． 3．各学科的非选择题须用0.5mm黑色墨水签字笔在答题卡上对应题号答题位置作答；在试卷上作签、答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意． 1. 在式子，，，，，中，分式的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有：，，共3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 2. 世界上最小的开花结果植物是一种出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中， 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为， ∴点P的横坐标是，纵坐标是3， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 4. 如图， 的对角线 ，交于点 ，若 ，，则 的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=AC=3，BO=BD=4， 在△AOB中， 4-3<AB<4+3 ∴1<AB<7， 结合选项可得，AB的长度可能是6， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 5. 如图，在菱形 中， ，，，垂足为点H，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形面积等于对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出 ，然后由菱形的面积即可得出结果． 【详解】解：如图，对角线交于点O， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴， ∵菱形 的面积， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出 是解题的关键． 6. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质当时，在每一象限内y随x的增大而减小即可求得． 【详解】解：，反比例函数图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据或判断反比例函数的增减性是解题的关键． 7. 如图，点P是矩形 的对角线 上一点，过点P作，分别交 ， 于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 作于M，交 于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：作于M，交 于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ） A. 24 B. 36 C. 72 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O， ∵四边形AECF是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF， 又∵点E、F为线段BD的两个三等分点， ∴BE＝FD， ∴BO＝OD， ∵AO＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD为菱形； ∵四边形AECF为菱形，且周长为20， ∴AE＝5， ∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点， ∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4， 由勾股定理得，AO＝＝＝3， ∴AC＝2AO＝2×3＝6， ∴S四边形ABCD＝BD•AC＝×24×6＝72； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键． 9. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形 对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形 的面积为6，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的几何意义和平行四边形 的面积为6，建立关于的方程，再利用图象所在的象限，即可求出． 本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象中k的几何意义等内容， 解题关键是理解题意，能利用面积关系得到关于k的方程． 【详解】解：平行四边形 的面积为， ∵平行四边形 对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵图象位于第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【详解】解：依题意 结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在 轴上，且，，， ， 把代入 得出 ∴ 直线， 当时，则 ， ∵， ∴， 把，则 即， ∵ ∴把，则 即， ， ，． ∴的坐标为 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上．） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意，得代数式有意义的条件是且，解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握取值有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知， 且， 解得且． 故答案为：且． 12. 若一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，则这组数据的众数是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平均数和众数，熟知一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数是解题关键． 根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可． 【详解】解：∵一组数据1，2，3，7，x的平均数是3， ∴， 解得， 则这组数据的众数即出现最多的数为2． 故答案为：2． 13. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为______________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为或， 故答案为：或． 14. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的大小是______． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出DC=BC，∠DCN=∠BCN，∠CAB=∠DAB=55°，∠ABC=∠ADC，DCAB，求出∠ADC=∠ABC=70°，根据全等三角形的判定得出△DCN≌△BCN，根据全等三角形的性质得出∠CDN=∠CBN，根据线段垂直平分线的性质得出AN=BN，求出∠NBA=∠CAB=55°，再求出答案即可． 【详解】解：连接BN， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC=BC，∠DCN=∠BCN，∠CAB=∠DAB=×110°=55°，∠ABC=∠ADC，DCAB， ∴∠CDA+∠DAB=180°， ∵∠BAD=110°， ∴∠ADC=180°-110°=70°， ∴∠ABC=70°， 在△DCN和△BCN中， ∵， ∴△DCN≌△BCN（SAS）， ∴∠CDN=∠CBN， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∴∠NBA=∠CAB=55°， ∴∠CDN=∠CBN=∠ABC-∠NBA=70°-55°=15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接CE，设DE=x，则AE=8-x，判断出OE是AC的垂直平分线，即可推得CE=AE=8-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出DE的长是多少即可． 【详解】详解：如图，连接CE， 设DE=x，则AE=8-x， ∵OE⊥AC，且点O是AC的中点， ∴OE是AC的垂直平分线， ∴CE=AE=8-x， 在Rt△CDE中， x2+42=（8-x）2， 解得x=3， ∴DE的长是3． 故答案为：3 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、中垂线的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的对角线互相平分和中垂线的性质是解题的关键． 16. 如图，已知正方形 的边长为，E为对角线 上的一点，连接 ．过点E作，交 的延长线于点F．以 、 为邻边作矩形，连接．有下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中，正确的结论是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】过 作，过 作于 ，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得 ，推出，得到，，由此推出平分，故③正确；进而求得，故②正确；当 时，点 与点 重合，得到不一定等于，故④错误． 【详解】解：过 作，过 作于 ，如图所示， 四边形 是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形是正方形，故①正确； ，， 四边形 是正方形， ，， ， 在 和中， ， ， ，， ， 平分，故③正确； ，故②正确； 当 时，点 与点 重合， 不一定等于，故④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明或演算步骤．（注意：在试题卷上作答无效） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】（1）2；（2），当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂，立方根，负整数指数幂和算术平方根，分式的化简求值， （1）首先计算零指数幂，立方根，负整数指数幂和算术平方根，然后计算加减； （2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，，然后代数求解即可． 【详解】（1） （2） ∵， ∴， ∴当时，原式． 18. 某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如图（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 七年级10名学生的成绩：96，86，96，84，99，96，90，100，89，84． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位教 众数 方差 七年级 92 b c 33.8 八年级 92 93 100 48.6 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1） ， ， ． （2）这次比赛中哪个年级的学生成绩更稳定？说明理由． （3）该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？ 【答案】（1） （2）七年级，理由见详解 （3）350人 【解析】 【分析】（1）先求出八年级学生成绩落在 组人数所占百分比，再根据百分比之和为1求解可得的值，然后根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中成绩优秀的八年级学生人数对应的百分比即可． 本题考查方差、中位数、众数的意义和计算方法，扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：依题意， ∴ 则 ； 先把七年级10名学生的成绩进行从小到大排序： 84，84，86，89，90，96，96，96，99，100， 则 即； 出现次数最多的是 即 故答案为： 【小问2详解】 解：依题意， ∴方差越小的成绩越稳定， 则七年级学生的成绩更稳定； 【小问3详解】 解：依题意，（人） ∴该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是350人． 19. 如图所示，点 在四边形 的边 上，连接，并延长交 的延长线于点 ，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形 为平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵与是对顶角， ∴， 在与中， ， ∴ （2） 证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵点 在 的延长线上， ∴， 又∵， ∴四边形 为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用SAS可以直接证明； （2）由可得，由内错角相等，两直线平行，得出，结合已知条件即可证明四边形 为平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键． 20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点和点，与x轴交于点D． （1）求a，m的值及点B的坐标； （2）写出时，x的取值范围； （3）P是x轴上一点，且满足的面积等于5，求点P坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是一次函数与反比例函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，求一次函数图象与反比例函数图象的交点，第（3）关键是根据面积列出方程，利用了数形结合思想． （1）把点代入即可求得 的值，然后根据待定系数法即可求得，然后将 的坐标代入求解即可； （2）观察图象即可求得； （3）设点的坐标为，根据的面积是5，列出 的方程解答便可． 【小问1详解】 一次函数经过点， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数为， 将代入得， ∴ 的坐标为； 【小问2详解】 观察图象可知：时 的取值范围是或； 【小问3详解】 设点的坐标为， 在中，令 ，得， 点 的坐标为， ， ， 或 ， 点的坐标为或． 21. “程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； （2）是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）不存在，理由如下 【解析】 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出 的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； 【小问2详解】 解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 22. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球选修课程．学校需购进一批篮球、足球．若购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，足球单价比篮球单价贵40元． （1）求足球、篮球的单价分别是多少元． （2）学校计划采购足球、篮球共60个，并要求足球不少于25个，且总费用不多于6000元．有几种购买方案？并求出购买资金最少为多少元？ （3）某经销商足球、篮球的进价分别为110元/个，65元/个，为了促销，经销商决定每售出一个篮球返还顾客现金a元，而足球售价不变，如果（2）中的所有方案获利相同，则a的值为多少？ 【答案】（1）篮球的单价是80元，足球的单价是120元； （2）6种方案，5800元 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．（3）理解“与（2）中的所有方案获利相同”并正确列式． （1）设篮球的单价是 元，则足球的单价是元，由题意：购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，列出分式方程，解方程即可； （2）设采购篮球 个，则采购足球为个，由题意：足球不少于25个，，且总费用低于6000元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． （3）设利润为，根据利润等于单件利润乘上数量进行列式，化简得出，结合“与（2）中的所有方案获利相同，”，故与 的取值无关，即，解出，即可作答． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是 元，则足球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：篮球的单价是80元，足球的单价是120元； 【小问2详解】 解：设采购篮球 个，则采购足球为个， 由题意得：， 解得：， 又为整数， 的值可为30，31，32，33，34，35， 共有6种购买方案： ①采购篮球30个，足球30个； ②采购篮球31个，足球29个； ③采购篮球32个，足球28个； ④采购篮球33个，足球27个； ⑤采购篮球34个，足球26个； ⑥采购篮球35个，足球25个． ∵篮球单价低于足球单价 ∴当购买的足球数量越少，篮球数量越多时，则购买资金最少 即（元）． 【小问3详解】 解：设利润为， 依题意，得， ∵“与（2）中的所有方案获利相同，”， ∴与 的取值无关， 即， 解得：． 23. 小嘉骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小嘉妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离 （km）与小嘉的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题． （1）求的函数表达式； （2）求点的坐标； （3）设小嘉和妈妈两人之间的距离为（km），当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可得出答案； （2）先根据待定系数法得出直线 的解析式，与的函数表达式组成方程解之即可得出答案； （3）分相遇前和相遇后两种情况进行解答即可 【小问1详解】 解：∵过原点 设的函数表达式为， 把代入可得： ∴ ∴的函数表达式 【小问2详解】 设线段 所在直线的函数表达式为， ∵在直线 上， ∴，解得： ∴直线 的解析式为： ∴解得： ∴点的坐标为： 【小问3详解】 当小嘉和妈妈相遇前：，解得 当小嘉和妈妈相遇后：，解得 ∴的取值范围为： 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确函数图象中的信息，利用数形结合的思想解答． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形． （1）求b的值和点D的坐标； （2）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）． ①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由； ②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）b的值为6，点D的坐标为(14，8) （2）①△AMF的周长不变，△AMF的周长为20；②存在，点Q的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将点A(8，0)代入，即可求出b的值，从而即得出直线AB的解析式为，进而即得出A(0，6)．过点D作轴于点H，由正方形的性质结合题意利用“AAS”易证，得出，，即得出D(14，8)； （2）①由折叠和正方形的性质可知BM=EM，CD=CE=4，，即易证(HL)，得出．再由△AMF的周长，结合勾股定理即可求出答案；②分类讨论ⅰ当AP为菱形的对角线时，ⅱ当AQ为菱形的对角线时和ⅲ当AB为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形即可求出答案． 【小问1详解】 解：将点A(8，0)代入，得， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 当x=0，时， ∴A(0，6)， ∴OB=6，OA=8． 如图，过点D作轴于点H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴(AAS)， ∴，， ∴， ∴D(14，8)； 【小问2详解】 解：①由折叠的性质可知BM=EM，BC=CE=4，， ∴CD=CE=4，， 又∵CF=CF， ∴(HL) ∴． ∵△AMF的周长，， ∴△AMF的周长． ∵OB=6，OA=8， ∴， ∴△AMF的周长， 故△AMF的周长不变，且为20； ②存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设P(t，0)，Q(x，y)． 分类讨论：ⅰ当AP为菱形的对角线时，如图菱形，此时． ∵， 即， 解得：（舍），； 即此时Q(0，-6)； ⅱ当AQ为菱形的对角线时，如图菱形和，此时和． 同理可得：， 解得：，； 即此时Q(-10，6)或(10，6)； ⅲ当AB为菱形的对角线时，如图菱形，此时． 同理可得， 解得：； 即此时Q(，6)； 综上可知点Q的坐标为或或或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $