精品解析：河南省信阳市罗山县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期期末质量监测试卷 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点A（﹣4，m）在正比例函数y＝﹣x的图象上，则m的是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 8 D. ﹣8 4. 某校举行朗诵比赛，将朗诵技巧、表现技巧、创新亮点三个方面分别按的比例计入总分．小华各项得分如表所示，则小华的最终得分为（ ） 评分内容 朗诵技巧 表现技巧 创新亮点 得分 90分 85分 95分 A. 90分 B. 89分 C. 88．5分 D. 88分 5. “双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙长 B. 乙完成家庭作业的平均效率比甲高 C. 同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间最长相差 D. 乙完成家庭作业所花费的时间比甲稳定 6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( ) A. 6 B. 12 C. 20 D. 24 7. 如图，一辆货车车厢底部离地面的高度为，为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，已知的距离为，则木板的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小明步行从家出发去学校，步行了一段时间后，想起今天考试需要带2B铅笔，马上以同样的速度回家取铅笔，然后骑自行车赶往学校，小明离家距离s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（ ） A. 200米 B. 140米 C. 120米 D. 100米 9. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ） A. 47 B. 62 C. 79 D. 98 10. 如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），结果统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 14. 如图，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活． 如图是杆秤的示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如表一组数据，已知表中有一组数据错了． 秤砣到秤纽的水平距离（厘米） 秤钩所挂物体重量（斤） 若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为_____斤． 15. 如图①，在菱形中，动点从点出发，沿的路径运动至点．设点的运动路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则图中的值为____________． 三、计算题：本大题共8小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某楼举办了青年大学习知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级（A：；B：；C：；D：；E：） 七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 76 m 75 八年级 77 76 78 其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________． （2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由． （3）请对该校学生对青年大学习知识的掌握情况作出合理的评价． 18. 如图，一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断点是否在该函数的图象上． 19. 西安辅轮中学于11月13日对全校师生组织了一场应急疏散演练主题教育，本次活动中同学们加强了消防安全意识、提升了火灾预防和应急处置能力同学们通过消防员们的介绍了解到消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险，如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高（即），救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ⑴求证：四边形AECF是平行四边形； ⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长． 21. 【阅读材料】 嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：5+2＝（2+3）+2＝+2×＝；8+2＝（1+7）+2＝12++2×1×＝； 【类比归纳】 （1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方； （2）请运用嘉嘉的方法化简：． 【变式探究】 （3）若a±2＝，且a，m，n均为正整数，则a＝ ． 22. （1）【知识回顾】通过学习我们知道一次函数和的图象如图1所示，所以方程组的解为________． （2）【知识探究】 小友结合学习一次函数的经验，对函数的图象进行了探究，下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）【知识应用】利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为________． 23. 在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，连接，且P是线段的中点，连接． （1）如图1，与的关系为______； （2）如图2将条件“正方形和正方形”改为“矩形和矩形”其它条件不变，判断关系，并证明： （3）如图3，若将条件“正方形和正方形”改为“菱形和菱形”，点A、B、E在同一条直线上，连接．P是线段的中点，连接，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下期期末质量监测试卷 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号．逐一分析选项即可． 【详解】A．被开方数含有分母，不是最简二次根式； B．被开方数5无平方因数，且无分母根号，符合最简条件； C．被开方数4是完全平方数，可化简为2，不是最简； D．被开方数为小数，需进一步有理化，不是最简． 故选B． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键． 3. 若点A（﹣4，m）在正比例函数y＝﹣x的图象上，则m的是（　　） A. 2 B. ﹣2 C. 8 D. ﹣8 【答案】A 【解析】 【分析】将点A（-4，m）代入正比例函数y=-x求解可得． 【详解】根据题意，将（-4，m）代入y=-x，得：m=-×（-4）=2， 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b． 4. 某校举行朗诵比赛，将朗诵技巧、表现技巧、创新亮点三个方面分别按的比例计入总分．小华各项得分如表所示，则小华的最终得分为（ ） 评分内容 朗诵技巧 表现技巧 创新亮点 得分 90分 85分 95分 A. 90分 B. 89分 C. 88．5分 D. 88分 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：小华的最终得分为分； 故选C． 【点睛】本题考查加权平均数．熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 5. “双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业所花费时间的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙长 B. 乙完成家庭作业的平均效率比甲高 C. 同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间最长相差 D. 乙完成家庭作业所花费的时间比甲稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线统计图，分别求得平均数，极差，根据波动情况分析方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：甲每天所花费时间分别为：1.5，1.5，2，1.5，1，1.5，1.5，平均数为：， 乙每天所花费时间分别为：1，2，2.5，1，2，1.5，2.5，平均数为： A. 甲平均每天完成家庭作业花费的时间比乙短，故该选项不正确，不符合题意； B. 乙完成家庭作业的平均效率比甲低，故该选项不正确，不符合题意； C. 同一天中，甲、乙两人完成家庭作业花费的时间最长相差，故该选项正确，符合题意； D.甲完成家庭作业所花费的时间在1小时与2小时之间，而乙完成家庭作业所花费的时间在1小时与2.5小时之间，则甲完成家庭作业所花费的时间比乙稳定，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，方差，从统计图获取信息是解题的关键． 6. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( ) A. 6 B. 12 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】在Rt△CBE中，由勾股定理可求得EC=5，又因AC=10，所以AE=EC=5．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，进而可求得四边形ABCD的面积． 【详解】解：∵∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3， ∴， ∵AC＝10， ∴， 又∵BE＝ED＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD的面积为BC×BD=4×6=24， 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，平行四边形的判定． 7. 如图，一辆货车车厢底部离地面的高度为，为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，已知的距离为，则木板的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理直接求出结果即可． 【详解】解：在中根据勾股定理得： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果一个直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 8. 小明步行从家出发去学校，步行了一段时间后，想起今天考试需要带2B铅笔，马上以同样的速度回家取铅笔，然后骑自行车赶往学校，小明离家距离s（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，则小明骑车比步行的速度每分钟快（ ） A. 200米 B. 140米 C. 120米 D. 100米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知小明步行的速度为320÷4=80（米/分钟），小明从家骑共享单车赶往学校所需时间为：13-4×2=5（分钟），据此可得骑车速度，进而得出结论． 【详解】解：由题意，得小明步行的速度为320÷4=80（米/分钟）， 小明从家骑共享单车赶往学校所需时间为：13-4×2=5（分钟）， 小明骑车速度为：1100÷5=220（米/分钟）， 小明骑车比步行的速度每分钟快：220-80=140（米/分钟）． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，利用数形结合的方法，观察函数图象找出各问所用到的数据是解题的关键． 9. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ） A. 47 B. 62 C. 79 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值. 【详解】解：由题可得：…… 当 故选：C 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键. 10. 如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），结果统计如下： 品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 甲 32 30 25 18 20 25 乙 28 25 26 24 22 25 则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】分别求甲、乙两品中的方差即可判断； 【详解】解： ∴乙更稳定； 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查根据方差判断稳定性，分别求出甲、乙的方差，方差越小越稳定，解本题的关键在于知道方差的求解公式． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若，则CD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解AE，AC，再连结BE，证明 利用勾股定理求解BC，AB，从而可得答案． 【详解】解： ， 如图，连结 由作图可得：是的垂直平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图与性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟悉几何基本作图与基本图形的性质是解本题的关键． 14. 如图，杆秤是我国传统的计重工具，极大的方便了人们的生活． 如图是杆秤的示意图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量，小明在一次称重时，得到如表一组数据，已知表中有一组数据错了． 秤砣到秤纽的水平距离（厘米） 秤钩所挂物体重量（斤） 若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是，则秤钩上所挂物体的重量为_____斤． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了描法画函数图象，利用图象发现错误数据，求一次函数表达式，会求函数值，在平面直角坐际系中描点，连线，画出图象，从图中发现这组数据错了，和用正确的数组，列方程组，求出秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式，再把代入，即可求解，熟练掌握描点法画函数图象，和用图象发现错误数据，一次函数表达式，会求函数值是解题的关键． 【详解】在平面直角坐标系中描出点，，，，，如图， 从图中发现这组数据错了， 设秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为， 把，代入得：， 解得：， ∴秤砣到秤纽的水平距离与秤钩所挂物体重量（斤）之间关系表达式为， 当时，， ∴秤钩上所挂物体的重量为斤， 故答案为：． 15. 如图①，在菱形中，动点从点出发，沿的路径运动至点．设点的运动路程为，的面积为．若关于的函数图象如图②所示，则图中的值为____________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理与函数图象的综合应用，掌握菱形的对角线互相垂直平分，及利用面积公式和勾股定理求边长是解题的关键． 先从函数图象得出的长度，利用的面积结合菱形对角线的性质求出的长度，再通过勾股定理算出的长度，最后将与的长度相加得到的值． 【详解】解：如图，连接交于点． 由图②可知，，且当时，的面积为48． 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、计算题：本大题共8小题，共75分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （）先计算乘除，再计算加减即可求解； 本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 某楼举办了青年大学习知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计、整理与分析，绘制成如图所示的两幅统计图．成绩用x分表示，并且分为A，B，C，D，E五个等级（A：；B：；C：；D：；E：） 七、八年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 七年级 76 m 75 八年级 77 76 78 其中，七年级成绩在C等级的数据为77，75，75，78，79，75，73，75；八年级成绩在E等级的有3名学生． 根据以上信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中B等级所在扇形对应的圆心角的度数是__________，表中m的值为__________． （2）通过以上数据分析，你认为哪个年级对青年大学习知识掌握得更好？请说明理由． （3）请对该校学生对青年大学习知识的掌握情况作出合理的评价． 【答案】（1）， （2）八年级学生的成绩较好， 理由：由表可知八年级学生成绩的平均数、中位数、众数均比七年级学生的平均数、中位数、众数大，所以八年级学生成绩较好； （3）青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及中位数、众数、平均数的意义是正确解答的前提． （1）求出调查人数以及B等级的学生人数所占的百分比即可求出相应的圆心角度数，根据中位数的定义求出中位数即可得出m的值； （2）通过平均数、中位数、众数的大小比较得出答案； （3）根据平均数、中位数、众数综合进行判断即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可得，调查人数为 (人)， 扇形统计图中B等级所占圆心角的度数是：， 将七年级这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是75分，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 青年学生对深入学习青年大学习知识掌握情况一般，还需要进一步加强学习和宣传． 18. 如图，一次函数的图象经过点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）判断点是否在该函数的图象上． 【答案】（1） （2）在 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数解析式进行求解即可； （2）把点代入（1）中解析式进行判断即可． 【小问1详解】 一次函数的图象经过点， ， 解得：， 这个一次函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 点在该函数的图象上． 【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 19. 西安辅轮中学于11月13日对全校师生组织了一场应急疏散演练主题教育，本次活动中同学们加强了消防安全意识、提升了火灾预防和应急处置能力同学们通过消防员们的介绍了解到消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险，如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高（即），救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 20. 如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ⑴求证：四边形AECF是平行四边形； ⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长． 【答案】⑴证明：如图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=DF， ∴AF=EC ∴四边形AECF是平行四边形 ⑵5 【解析】 【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形． （2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长 【详解】⑴略 ⑵解：∵四边形AECF是菱形， ∴AE=EC ∴∠1=∠2分 ∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1， ∴∠3=∠4， ∴AE=BE ∴BE=AE=CE=BC=5 21. 【阅读材料】 嘉嘉在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：5+2＝（2+3）+2＝+2×＝；8+2＝（1+7）+2＝12++2×1×＝； 【类比归纳】 （1）请你仿照嘉嘉的方法将20+10化成另一个式子的平方； （2）请运用嘉嘉的方法化简：． 【变式探究】 （3）若a±2＝，且a，m，n均为正整数，则a＝ ． 【答案】（1）；（2）；（3）10或22 【解析】 【分析】（1）将20看成是15+5，则，由此求解即可； （2）将11看成是9+2，则，由此求解即可； （3）根据，，可以得到，， 再根据a，m，n均为正整数，则，由此求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）∵，， ∴，， ∵a，m，n均为正整数， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． 22. （1）【知识回顾】通过学习我们知道一次函数和的图象如图1所示，所以方程组的解为________． （2）【知识探究】 小友结合学习一次函数的经验，对函数的图象进行了探究，下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）【知识应用】利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为________． 【答案】（1）； （2）① 补全表格如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … ②描点、连线，画出函数图象如图1所示． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数交点坐标与方程组的解的关系直接得到答案； （2）①将，分别代入计算即可； ②将x，y的对应值作为点的横纵坐标描点连线即可得到函数图象； （3）画出函数的图象，与的图象交于点和，得到方程组的解为或 【详解】解：（1）∵一次函数和的图象交于点, ∴方程组的解为， 故答案为； （2）①当时，； 当时，； ②略 （3）由得， 画出函数的图象，与的图象交于点和， ∴方程组的解为或 故答案为或． ． 【点睛】此题考查了求函数值，画函数图象，一次函数与二元一次方程组的关系，正确理解二元一次方程组的解与一次函数的交点的关系是解题的关键． 23. 在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，连接，且P是线段的中点，连接． （1）如图1，与的关系为______； （2）如图2将条件“正方形和正方形”改为“矩形和矩形”其它条件不变，判断关系，并证明： （3）如图3，若将条件“正方形和正方形”改为“菱形和菱形”，点A、B、E在同一条直线上，连接．P是线段的中点，连接，且．求的值． 【答案】（1） （2） ； 证明：如图2，延长交于点H， ∵四边形和是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，根据正方形的性质得，则，可得，根据P是线段的中点得，证明，可得，则，可得是等腰直角三角形，根据，即可得； （2）延长交于点H，根据矩形的性质得，可得，则，根据P是线段的中点得，证明，可得，根据得是直角三角形，可得，即可得； （3）延长交于点H，根据P是线段的中点得，根据菱形的性质和点A，B，E在同一条直线上得，则，证明，可得，根据得，可得是等腰三角形，则，，根据得，可得，结合勾股定理即可得． 【小问1详解】 且；理由： 解：如图1，延长交于点H， ∵四边形和是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴且， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，延长交于点H， ∵P是线段的中点， ∴， ∵四边形和四边形是菱形，点A，B，E在同一条直线上， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形， ∴（等腰三角形三线合一） ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $