精品解析：湖南省长沙市雨花区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年上学期期末质量监测试卷七年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷．不在答题卡上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若，则下列选项中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点在x轴上，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 如图，在数轴上表示实数的点可能（ ）． A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 4. 下列调查，相对而言更适合作抽样调查的是（ ） A. 了解某班同学一个星期的零用钱 B. 了解某超市6月份各种商品的销售情况 C. 调查某中学七年级一班学生的睡眠时间 D. 调查7月1日长沙市民收看“新闻联播”情况 5. 如图，若图形A经过平移与下方图形阴影部分拼成一个长方形，则平移方式可以是（ ） A. 向右平移4个格，再向下平移4个格 B. 向右平移6个格，再向下平移5个格 C 向右平移4个格，再向下平移3个格 D. 向右平移5个格，再向下平移4个格 6. 如图，红旗中学七年级（6）班就上学方式作出调查后绘制了条形图，那么乘车上学的同学人数占全班人数的（　　） A. B. C. D. 7. 根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（ ） A. B. C. D. 8. 以下是二元一次方程2x+3y＝8的正整数解有（　　） A. B. C. D. 9. 如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ） A. B. C. ， D. 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…长方形边线循环爬行，其中A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 算术平方根是________． 12. 如图，直线、、相交于点，若，则______ 13. 某学校七年级三班有名学生，现对学生最喜欢的球类运动进行了调查，根据调查的结果制作了扇形统计图如图所示． 根据扇形统计图中提供的信息，给出以下结论： ①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人． 其中正确结论有______（填序号）． 14. 一张试卷有25道必答题，答对一题得4分，答错一题扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了______道题． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为___________． 16. 已知实数，满足，并且，，则的最大值是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： 18. 解二元一次方程组：． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 为更好组织体育锻炼活动，随机抽取了我区部分七年级学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人） A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的扇形统计图 （1）求参与问卷调查的学生总人数； （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）我区共有七年级学生8000人，估算其中最喜爱“健身操”的人数． 21. 如图，两直线、相交于点，平分，如果， （1）求； （2）若，求． 22. 在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为． （1）若点M到x轴的距离是3，求m的值； （2）若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值； （3）判断点M是否可能在第三象限，如可能，求出m的取值范围；如不可能，请说明理由． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们的新宠．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． （1）问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少？ （2）若销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，该店正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），假如这些新能源汽车全部售出，问共有哪几种购买方案？其中最大利润是多少？ 24. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式①2x－1＜0，②x≤2，③x－（3x－1）＜－5中，不等式x≥2的“云不等式”是 _________ ；（填序号） （2）若关于x的不等式x＋2m≥0不是2x－3＜x＋m的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“云不等式”，求a的取值范围． 25. 如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，． （1）若，求的度数； （2）将线段沿方向平移，使得点在点右侧，其他条件不变，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年上学期期末质量监测试卷七年级数学 注意事项： 1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号； 2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷．不在答题卡上答题无效； 3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6、本试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若，则下列选项中，一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， A、，故原不等式成立，符合题意， B、，故原不等式不成立，不符合题意； C、，故原不等式不成立，不符合题意； D、，故原不等式不成立，符合题意； 故选：A． 2. 已知点在x轴上，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴上点坐标的特征．熟练掌握轴上点坐标纵坐标为0是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得，， 故选：C． 3. 如图，在数轴上表示实数的点可能（ ）． A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 【答案】C 【解析】 【分析】确定是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题． 【详解】解：∵9＜15＜16， ∴3＜＜4， ∴对应的点是M． 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，解题关键是应先看这个无理数在哪两个有理数之间，进而求解． 4. 下列调查，相对而言更适合作抽样调查的是（ ） A. 了解某班同学一个星期的零用钱 B. 了解某超市6月份各种商品的销售情况 C. 调查某中学七年级一班学生的睡眠时间 D. 调查7月1日长沙市民收看“新闻联播”的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查．熟练掌握抽样调查与全面调查的适用范围是解题的关键． 根据抽样调查与全面调查的适用范围判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中了解某班同学一个星期的零用钱，更适合作全面调查，故不符合要求； B中了解某超市6月份各种商品的销售情况，更适合作全面调查，故不符合要求； C中调查某中学七年级一班学生的睡眠时间，，更适合作全面调查，故不符合要求； D中调查7月1日长沙市民收看“新闻联播”的情况，更适合作抽样调查，故符合要求； 故选：D． 5. 如图，若图形A经过平移与下方图形阴影部分拼成一个长方形，则平移方式可以是（ ） A. 向右平移4个格，再向下平移4个格 B. 向右平移6个格，再向下平移5个格 C. 向右平移4个格，再向下平移3个格 D. 向右平移5个格，再向下平移4个格 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质、结合图形解答即可． 【详解】解：图形A向右平移个格，再向下平移个格可以与下方图形阴影部分拼成一个长方形， 故选：． 【点睛】本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 6. 如图，红旗中学七年级（6）班就上学方式作出调查后绘制了条形图，那么乘车上学的同学人数占全班人数的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】乘车的同学占全班的比例为，计算即得答案． 【详解】解：由图中得乘车上学的人数是8人，全班人数为24+8+16＝48（人）， ∴乘车上学的同学人数占全班人数的， 故选：B． 【点睛】本题考查了条形统计图，熟练掌握观察条形统计图的方法来解答． 7. 根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意； B．点M不在直线上，故本选项不合题意； C．点M不在直线上，故本选项不合题意； D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线． 8. 以下是二元一次方程2x+3y＝8的正整数解有（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得：，而为正整数，可得为正偶数，从而排除A，B，D，再检验C，从而可得答案. 详解】解： 2x+3y＝8， 为正整数， 为正偶数， 所以A，B，D不符合题意， 当时，则 故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，把原方程化为再进行分析是解本题的关键. 9. 如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ） A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．由同旁内角互补两直线平行即可判定出，即可得到正确的选项． 【详解】解：当同旁内角互补两直线平行，即， 故选：B 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从A点出发，沿着A→B→C→D→A…长方形边线循环爬行，其中A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为，当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了点坐标规律探索问题，根据题意确定从A→B→C→D→A一圈的长度，即可求解 【详解】解：∵A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为， ∴， ∴从A→B→C→D→A一圈的长度为， ∵ ∴当蚂蚁爬了2024个单位时，它所处位置在距点A8个单位的位置，即与点D的位置相同， ∴此时的位置为， 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 的算术平方根是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的运算法则，直接计算即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：的算术平方根和16的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错． 12. 如图，直线、、相交于点，若，则______ 【答案】30 【解析】 【分析】根据平角的定义可以求出，再根据对顶角的性质求出即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，对顶角的性质：对顶角相等．邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 13. 某学校七年级三班有名学生，现对学生最喜欢的球类运动进行了调查，根据调查的结果制作了扇形统计图如图所示． 根据扇形统计图中提供的信息，给出以下结论： ①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人． 其中正确结论有______（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．利用各部分占总体的百分比，分别求出各部分的具体数量，即可作出判断． 【详解】①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人； 故答案为：①②③④ 14. 一张试卷有25道必答题，答对一题得4分，答错一题扣1分，某学生解答了全部试题共得70分，他答对了______道题． 【答案】19 【解析】 【分析】设他答对了道题，则答错了道题，根据得分70，列方程求解即可． 【详解】解：设他答对了道题，则答错了道题，由题意可得： 解得 即他答对了19道题， 故答案为：19 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是根据题意，正确列出一元一次方程． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行，若，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求点的坐标，理解平行于轴的直线上所有点的纵坐标均相同，再分情况讨论是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴平行， 点的纵坐标与点纵坐标相同， ，分两种情况讨论： ①若在点左侧，相当于将向左数个单位长度，得到； ②若在点右侧，相当于将向右数个单位长度，得到； 故答案为：或． 16. 已知实数，满足，并且，，则的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次方程和一元一次不等式的解法的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算；运用一次方程和一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 即， ， ， ， 即的最大值是 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： 【答案】5 【解析】 【分析】根据立方根的性质及算术平方根的性质分别化简，再计算加法． 【详解】解： =-2+5+2 =5． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握立方根的性质及算术平方根的性质是解题的关键． 18. 解二元一次方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由②得③， 将③代入①，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解是． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，最后根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 20. 为更好组织体育锻炼活动，随机抽取了我区部分七年级学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人） A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的扇形统计图 （1）求参与问卷调查的学生总人数； （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）我区共有七年级学生8000人，估算其中最喜爱“健身操”的人数． 【答案】（1）200人 （2）48人 （3）1600人 【解析】 【分析】本题考查调查统计，涉及扇形统计图、利用样本估计总体等： （1）用E组人数除以所占百分比可得参与问卷调查的学生总人数； （2）参与问卷调查的学生总人数乘以最喜爱“开合跳”的学生所占百分比可得答案； （3）用七年级学生总数乘以最喜爱“健身操”的人数所占比例可得答案． 【小问1详解】 解：（人）， 答：参与调查的学生总数为200人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：最喜爱“开合跳”的学生有48人； 【小问3详解】 解：最喜爱“健身操”的学生数为（人）， （人）， 答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人． 21 如图，两直线、相交于点，平分，如果， （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先依据，可求得、的度数，然后可求得的度数，依据角平分线的定义可求得的度数，最后可求得的度数； （2）先求得的度数，然后依据邻补角的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ，． ． ∵平分， ， ． 【小问2详解】 解：∵，， ， ． 【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义、对顶角、邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 22. 在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为． （1）若点M到x轴的距离是3，求m的值； （2）若点M在第二、四象限的角平分线上，求m的值； （3）判断点M是否可能在第三象限，如可能，求出m的取值范围；如不可能，请说明理由． 【答案】（1）1或4 （2） （3）不可能，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，点的坐标等知识点， （1）根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值可得：，然后进行计算即可解答； （2）根据第二、四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答； （3）根据若点M在第三象限，从而可得，然后进行计算即可解答； 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 由题意得，， ∴或， 解得或4； 【小问2详解】 ∵点M在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得； 【小问3详解】 不可能，理由如下： 若M在第三象限，则， 解得， ∴m无解， ∴M不可能在第三象限． 23. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们的新宠．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元． （1）问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少？ （2）若销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，该店正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），假如这些新能源汽车全部售出，问共有哪几种购买方案？其中最大利润是多少？ 【答案】（1）、两种型号的汽车每辆进价分别为万元、万元 （2）共有四种购买方案，分别为购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆；其中最大利润为万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键；（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意建立一元二次方程组，求解即可；（2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，利用总价单价数量，可得出二元一次方程，结合，为正整数，即可得出该公司的四种购买方案，比较方案利润即可求解． 【小问1详解】 设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 答：、两种型号的汽车每辆进价分别为万元、万元 【小问2详解】 设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，且，为正整数， 解得：或或或，共有四种购买方案： 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得的利润为：（万元）， 当，时，获得利润为：（万元）， 由上可得，最大利润为万元． 24. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式①2x－1＜0，②x≤2，③x－（3x－1）＜－5中，不等式x≥2的“云不等式”是 _________ ；（填序号） （2）若关于x的不等式x＋2m≥0不是2x－3＜x＋m的“云不等式”，求m的取值范围； （3）若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“云不等式”，求a的取值范围． 【答案】（1）②③；（2）m≤-1；（3）a＜-1或-1＜a＜4 【解析】 【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式x+2m≥0可得x≥-2m，解不等式2x-3＜x+m得x＜m+3，再根据云不等式的定义可得-2m＞m+3，解不等式即可求解； （3）分两种情况讨论根据云不等式的定义得到含a的不等式，解得即可． 【详解】解：（1）不等式不等式2x-1＜0和x≥2没有公共解，故①不是不等式x≥2的“云不等式”； 不等式不等式x≤2和x≥2有公共解，故②是不等式x≥2的“云不等式”； 不等式不等式x-（3x-1）＜-5和x≥2有公共解，故③是不等式x≥2的“云不等式”； 故答案为：②③； （2）解不等式x+2m≥0可得x≥-2m， 解不等式2x-3＜x+m得x＜m+3， ∵关于x的不等式x+2m≥0不是2x-3＜x+m的“云不等式”， ∴-2m≥m+3， 解得m≤-1， 故m的取值范围是m≤-1； （3）解不等式x＋3≥a，得到x≥a-3；解不等式ax－1＜a－x，得到（1+a）x＜a+1 ①当a+1＞0时，即a＞-1时，依题意有a-3＜1，即a＜4，故-1＜a＜4； ②当a+1＜0时，即a＜-1时，始终符合题意，故a＜-1； 综上，a的取值范围为a＜-1或-1＜a＜4． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 25. 如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，． （1）若，求的度数； （2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数． 【答案】（1）65°；（2）20°或160° 【解析】 【分析】1）作，如图1，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数； （2）作，如图2，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数；如图3，利用得到，然后根据三角形外角性质可计算出． 【详解】解：（1）作，如图1， 平分，平分， ，， ， ， ，， ； （2）作，如图2， 平分，平分， ，， ， ， ，， ． 如图3，平分，平分， ，， ， ， ， ． 如图4，平分，平分， ，， ， ， ， 而， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了平移的性质：解题的关键是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．也考查了平行线的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$