专题 第1章图形的相似章末重点题型归纳（专项训练）数学青岛版九年级上册

第1章 图形的相似（章末重点题型归纳） 题型一 相似多边形的性质 1．下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 【答案】D 【分析】 本题考查了相似多边形的定义及性质，熟记相关结论是解题关键 【详解】解：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形， 所以相似多边形的边数相同、对应边成比例、对应角相等， 故A、B、C不符合题意； 所有的矩形不一定对应边成比例，故所有的矩形不一定都相似， 故D符合题意， 故选：D 2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 3．如图，已知五边形五边形，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键在于熟知相似多边形的面积之比等于相似比的平方． 【详解】解：∵五边形五边形，， ∴， 故选D． 4．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．    【答案】6 【分析】此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比． 根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果． 【详解】解：由两个枫叶图案相似， 可得， 解得， 即的值为6． 故答案为：6． 5．如图，四边形四边形．    (1)______． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，关键是熟知相似多边形的对应角相等，对应边成比例． （1）先利用相似多边形的对应角相等得到，，再利用四边形的内角和为求解即可； （2）根据相似多边形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得． 题型二 相似多边形的性质 6．在中，，，，则等于（　　） A．10 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴＝， 解得：， 故选：D． 7．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图1所示． ，是的平分线， ， ． 是中点，， ∴ ∴点F是的中点， 为的中位线， ． 故选：C． 8．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 9．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴, 解得， 故选：B． 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，直接利用平行线分线段成比例定理进而得出结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ，故②错误； ，故③正确； ，故④正确， 正确的个数3个， 故选：C． 12．如图，在中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且，，，，求EF和FC的长． 【答案】；． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得，可计算出，则，然后再由得到，可计算出，所以． 【详解】解：∵， ，即， ， ， ∵， ，即， ， ． 13．如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得； （2），， . ， ， 解得． 题型三 相似多边形的性质 14．如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵和分别是和的高，若， ∴其相似比为， ∴与的面积的比为． 故选：A． 15．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形． 先根据平行四边形的性质得到，则可判断，，于是根据相似三角形的性质和即可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ， ∴ ， ∴， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 16．如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，则可得，再证明推出，则由线段中点的定义可得． 【详解】解：∵D、E分别是边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）， ∴， 故选：B． 17．如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（    ） A．16 B．25 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：，与的面积分別是25和16 与的相似比为：， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是4， 故选：D． 18．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：由网格的特点知，、都是正方形的角平分线， 则，， 显然，选项A、D都不是直角三角形，不符合题意； 选项B中，夹直角的两边的比为，符合题意； 选项C中，夹直角的两边的比为，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，有一角相等及夹这角的两边对应成比例判定三角形相似的方法，本题中根据网格的特点求得，是解题的关键． 19．如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【答案】A 【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    综上：的值是2或， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键． 20．如图，在中，，连接，交于点，则的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键．根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：3 21．如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 22．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 23．图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线， (2)在图②中，在上找一点，使； (3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺在格点图中作图，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质等知识，掌握相关知识是关键． （1）取格点G、H，连接交于点，连接即可； （2）取格点P、F，连接交于点E，则点E满足条件，即为所作的点； （3）延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形． 【详解】（1）解：如图，取格点G、H，连接交于点，连接，则为所作的中线； （2）解：取格点P、F，连接交于点E，则； （3）解：如图，延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形． 24．如图，在中，，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握：有两个角相等的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据可得，即可求证； （2）先求出相似比以及，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（）可得， ∴， ∵， ∴，解得：． 25．如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ． ， ， ， ， ， 题型四 相似多边形的性质 26．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，， ∴．故A正确； ∵，， ∴．故B正确； ∵，， ∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误． 故选：C 27．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与相似． 故选：A． 28．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①、②有四个说法，其中正确的是（    ）    A．一定不相似 B．一定位似 C．一定相似，且相似比为 D．一定相似，且相似比为 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和勾股定理；先根据勾股定理计算两个三角形的边长，再判断即可得出答案． 【详解】解：①的三边长分别为 ②的三边长分别为 所以，三角形①、②三边对应成比例， 所以，关于三角形①、②一定相似，且相似比为1：2． 故选：C． 29．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵点D、E分别在边、上，， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴，故C正确； 与不一定相似，故D不正确； 故选：D． 30．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 故A不符合题意； B、，， ， 故B不符合题意； C、由图形可知，， ， ，， ， 又， ， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似， 故D符合题意， 故选：D． 31．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 32．如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）    【答案】 【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于的三边之比就是与相似的三角形． 【详解】解：∵的三边之比是， 的三边之比是 的三边之比是， 的三边之比是． ∴与相似， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键． 33．如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握作线段垂直平分线的方法． 作的垂直平分线交于点即可． 【详解】解∶如图，点即为所作． 如图，作的是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 34．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 35．如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得；再说明，最后根据两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到，最后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：是的中线，， ，即， ， ， ． （2）解：， ，即， ， 是的中线， ． 36．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 题型五 相似多边形的性质 37．如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键是由相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：A、B中的条件，又，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； C、，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故不符合题意； D、，两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故符合题意． 故选：D． 38．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分，②； 故选D． 39．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意． 故选：C． 40．如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有两个角相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边分别成比例的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理即可进行解答． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B不符合题意； C、由，不能判断和相似，符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 41．如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 42．如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似， 熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得：， ， ， ①∵， ∴， ∴， 故①能判定； ②∵， ∴， ∴， 故②能判定； ③∵， ∴， 即两组对应边的比相等且相应的夹角相等， ∴， 故③能判定； ④， 对应边成比例但无法得到其夹角相等， 故④不能判定； 故答案为：①②③． 43．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 44．如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)四边形的面积是，在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变（答案不唯一） (3)当经过秒或3秒时，与相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定及矩形动点问题，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． （1）根据题意得出，由于，列方程并解出即可； （2）根据计算即可得出结论； （3）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：厘米，厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动， ∴， ， ∴， 解得：； （2）解：在中， ∵，QA边上的高， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； （3）解：在矩形中， ， 分两种情况： 当时，即， 解得：（秒）； 当时，即， 解得：（秒）． 故当经过秒或3秒时，与相似． 题型六 相似多边形的性质 45．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 46．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，根据同一时刻物体与影长成比例得到对应线段成比例解题即可． 【详解】解：∵同一时刻物体与影长成比例， ∴，即：， 解得：； 故选B． 47．如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴且， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 48．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．证，根据相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， ，，， ， 解得：， 答：建筑物的高度为． 故答案为：． 49．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则， 解得． 故答案为：3． 50．如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 cm． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，先证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质可得，进而可得，然后再证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ，， ， ， ， ∵， ，， ， ， ， 解得：， 像高为， 故答案为：12． 51．如图，在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用；证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，，， 则， ， ， ， ， 即， （米）； 故答案为：12． 52．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 53．西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 【答案】鼓楼的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设，先证明得到，则，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由光的反射定律可知， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴鼓楼的高度为． 题型七 相似多边形的性质 54．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行 ∴①②③④能使得是位似图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键． 55．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，    故选D． 【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 56．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比等于相似比的平方，由此可解． 【详解】解：， ， 和的相似比为， 和的面积之比为， 故选C． 57．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则，再根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， ∵周长为8， ∴的周长为20． 故选C． 58．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴； 故答案为：． 题型八 相似多边形的性质 59．在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合图形，利用相似三角形△的性质解答． 【详解】∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， C点坐标为， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系的知识，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 60．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 61．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进行讨论． 【详解】解：与的位似比是， 当点在第三象限时，， 当点在第一象限时，， 故点的坐标为或， 故选：C． 62．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 63．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．连接，并延长交于一点，交点即为所求． 【详解】解：如图，      连接，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 题型九 相似多边形的性质 64．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； (3)点的坐标__________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)点的坐标为 【分析】本题考查了轴对称变化、位似变化，熟练掌握轴对称变化、位似变化的作图是解题的关键． （1）找到点A、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到△即可； （2）分别连接、、，并分别向、、方向延长两倍，得到点、、，连接点、、得到△； （3）根据图象得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，△即为所要求作的图形； （2）解：如图，△即为所要求作的图形． （3）解：由图可知点的坐标为． 65．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题： (1)画出向右平移6个单位长度后的图形，点坐标是______； (2)画出绕点顺时针方向旋转后的图形； (3)画出以为位似中心按放大后的图形． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，旋转与位似． （1）根据平移的规则，画出，写出点坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）根据位似图形的性质，画出即可． 掌握平移，旋转和位似图形的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知：； 故答案为：； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 图形的相似（章末重点题型归纳） 题型一 相似多边形的性质 1．下列说法错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．所有的矩形都相似 2．如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 3．如图，已知五边形五边形，若，则（    ） A． B． C． D． 4．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ．    5．如图，四边形四边形．    (1)______． (2)求的值． 题型二 相似多边形的性质 6．在中，，，，则等于（　　） A．10 B．8 C．9 D．6 7．如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 9．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 10．如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 11．如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且，，，，求EF和FC的长． 13．如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 题型三 相似多边形的性质 14．如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 15．如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）    A． B． C． D． 16．如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 17．如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（    ） A．16 B．25 C．5 D．4 18．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，则在下列选项中与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   19．如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 20．如图，在中，，连接，交于点，则的长为 ．    21．如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 22．已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 23．图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线， (2)在图②中，在上找一点，使； (3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上． 24．如图，在中，，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 25．如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型四 相似多边形的性质 26．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 27．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 28．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①、②有四个说法，其中正确的是（    ）    A．一定不相似 B．一定位似 C．一定相似，且相似比为 D．一定相似，且相似比为 29．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 30．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 32．如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）    33．如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 34．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 35．如图，在中，，是的中线，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 题型五 相似多边形的性质 37．如图，点、分别在、上，且与不平行，添加一个条件，可得，不正确的是（    ） A． B． C． D． 38．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 39．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 40．如图，下列条件中不能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 41．如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 42．如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 43．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 44．如图，在矩形中，厘米，厘米．点P沿边从A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当t为何值时，． (2)计算四边形的面积，并提出一个与计算结果有关的结论． (3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与相似？ 题型六 相似多边形的性质 45．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 46．如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，，垂足分别为A，B.若测得影长米，米，影长米，则楼高为（    ） A．10米 B．12米 C．15米 D．20米 47．如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 48．小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 ． 49．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 ． 50．如图，是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛高，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像高 cm． 51．如图，在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 米． 52．在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 53．西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼的高度．如图，测量小组在点F处直立一个高的标杆，随后小组成员沿直线移动测量．成员小王从点F后退到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得，小李眼睛与地面的距离．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且均垂直于，求鼓楼的高度（平面镜的大小忽略不计） 题型七 相似多边形的性质 54．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 55．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 56．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（    ） A． B． C． D． 57．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．50 58．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则 ． 题型八 相似多边形的性质 59．在直角坐标平面内，一点光源位于处，线段垂直于x轴，D为垂足，，则的长为（    ）． A． B．3 C．4 D． 60．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 61．如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 62．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 63．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    题型九 相似多边形的性质 64．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为； (3)点的坐标__________． 65．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格图中，建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，在网格中按要求解答下列问题： (1)画出向右平移6个单位长度后的图形，点坐标是______； (2)画出绕点顺时针方向旋转后的图形； (3)画出以为位似中心按放大后的图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$